初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件课前预习ppt课件

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1.平行线分线段成比例.2.利用角的关系判定两个三角形相似.3.利用边角关系判定两个三角形相似.4.利用三边关系判定两个三角形相似.5.三角形的重心.
新知一 平行线分线段成比例
1. 平行线分线段成比例的基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言 如图6.4-1 所示，∵ l3∥ l4∥l5，
要点解读 ：①一组平行线(如图6.4-1l3、l4、l5)两两平行，被截直线(如图6.4-1l1、l2)不一定平行；②所有的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关；③利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.
2. 平行线法判定两个三角形相似：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.符号语言 如图6.4-2 所示，∵ DE∥BC，∴△ ADE ∽△ ABC.
[一模·淮安] 如图6.4-3，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n 所截，交点分别为A、B、C 和D、E、F，且AB ＝ 3，BC ＝ 4，EF ＝ 4.8，则DE的长为__________．
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解决问题即可．
解法提醒:在题目中，如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息：一是角之间的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例.
解：∵ a ∥ b ∥ c，∴ (两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例)．∵ AB ＝ 3，BC ＝ 4，EF ＝ 4.8，∴ ．解得DE ＝ 3.6．
新知二 利用角的关系判定两个三角形相似
1. 相似三角形的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似.2. 符号语言如图6.4-4 所示，在△ ABC 和△ DEF 中，∵∠A= ∠D，且∠B= ∠E，∴△ ABC ∽△ DEF.
3. 常见的相似三角形的类型(1)平行线型：如图6.4-5 ①，若DE ∥ BC，则△ ADE ∽△ ABC.(2)相交线型：如图6.4-5 ②，若∠ AED= ∠ B，则△ AED ∽△ ABC.
(3)“子母”型：如图6.4-5 ③，若∠ACD= ∠ B，则△ ACD ∽△ ABC.(4)“K” 型： 如图6.4-5 ④， 若∠A= ∠D= ∠BCE=90 °， 则△ ACB ∽△ DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.
特别提醒：由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
[ 期末·淮安] 如图6.4-6，在矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥ EC 交AB 于F，连接FC．求证：△ AEF ∽△ DCE．
解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”，由于 一对直角相等，因此只需利用图形的性质说明∠DEC＝∠AFE(或∠DCE ＝∠AEF)即可证明．
思路点拨：当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时,应注意挖掘公共角、对顶角、同角(等角)的余角( 补角) 等隐含条件.
证明：∵ EF ⊥ EC，∴∠ FEC ＝ 90°．∴∠ AEF+ ∠ DEC ＝ 180°－90°＝ 90°．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ A ＝∠ D ＝ 90°．∴∠ AFE+ ∠ AEF ＝ 90°．∴∠ DEC ＝∠ AFE．在△ AEF 和△ DCE 中，∵∠ A ＝∠ D，∠ DEC ＝∠ AFE．∴△ AEF ∽△ DCE(两角分别相等的两个三角形相似)．
新知三 利用边角关系判定两个三角形相似
1. 相似三角形的判定定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2. 符号语言 如图6.4-7 所示，在△ ABC 和△ DEF 中，∵ ，且∠ B= ∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.
特别提醒：运用该定理判定两三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS 的方法.
如图6.4-8， 在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点， 且BP=3PC，Q 是CD的中点. 求证：△ ADQ ∽△ QCP.
解题秘方：紧扣“利用边角关系判定两个三角形相似的定理”证明即可.
技巧点拨:利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例,则两个三角形相似，否则不相似.
证明：设正方形ABCD 的边长为4a，则AD=CD=BC=4a.∵ Q 是CD 的中点，BP=3PC，∴ DQ=CQ=2a，PC=a. ∴ =2在△ADQ和△QCP中， ，∠D= ∠C=90°，∴△ADQ∽△QCP.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
新知四 利用三边关系判定两个三角形相似
1. 相似三角形的判定定理 三边成比例的两个三角形相似.2. 符号语言 如图6.4-9 所示，在△ ABC 和△ DEF 中， ，∴△ ABC ∽△ DEF.
特别提醒:应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路找对应边.
图6.4-10、图6.4-11 中小正方形的边长均为1，则图6.4-11 中的哪一个三角形(阴影部分)与图6.4-10 中的△ ABC 相似？
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.
解：易知AC= ，BC=2，AB= .图6.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， ，2 ；图6.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， ， ；图6.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 ， ，3；图6.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， ， .∵ ，∴图6.4-11 ②中的三角形与△ ABC相似.
解法提醒:利用三边成比例判定两三角形相似的方法：先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大三组对应边的比;最后看三组比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.
新知五 利用三边关系判定两个三角形相似
1. 定义 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心；2. 符号语言 如图6.4-12，在△ ABC 中，AD、BE、CF 分别是△ ABC 的三条中线，且它们相交于点G，则点G 是△ ABC的重心．反之，也成立．
3. 特别解读(1)根据三角形相似的性质能得出：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1：2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍.(2)重心是一个物理学概念，在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成支点的重力的合力都通过的那一点. 形状规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心. 不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定. 物体的重心，不一定在物体上.
特别提醒：一般情况下，如果题目告诉我们两条中线的交点，则应认识到可以运用重心的性质解决问题，同时要注意是哪两条线段的比等于1：2. 填空、选择题直接运用，解答题可以通过相似得到.
如图6.4-13，已知点M 是△ ABC 的重心，AB ＝ 18，MN ∥ AB，则MN ＝___________．
解题秘方：紧扣三角形重心的性质，结合相似三角形的知识列式计算求解．
解：∵点M 是△ ABC 的重心，∴ AD ＝ DB ＝ AB ＝ 9， ．根据MN ∥ AB，可得△ CMN ∽△ CDB． 解得MN ＝ 6．
特别提醒：三角形重心的性质与“由平行，得相似”的结论在填空、选择题中可以直接应用，而在证明题中不能直接应用，需要增加适当的说理．