2021-2022学年江苏省南通市港闸区北城中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年江苏省南通市港闸区北城中学九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年江苏省南通市港闸区北城中学九年级（下）第一次月考数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）如图，数轴上有，，，四个点，其中绝对值小于的数对应的点是
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点下列电视台标志中是轴对称图形的是A.  B.  C.  D. 估计的值在A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间下列说法错误的是A. 多边形的外角和为
B. 等边三角形的每一个内角都为
C. 五边形的内角和为
D. 正六边形的每一个外角都为如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为，，则的值为
A.  B.  C.  D. 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为A.  B.
C.  D. 如图，是的直径，弦于点如果，那么A.
B.
C.
D. 在平面直角坐标系中，点，，，的位置如图所示．若直线经过第一、三象限，则直线可能经过的点是A. 点
B. 点
C. 点
D. 点如图，在四边形中，，，，，动点沿路径从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为设点运动的时间为单位：，的面积为，则关于的函数图象大致是
A.  B.
C.  D. 如图所示，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，反比例函数图象经过点，则的值为
A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）今年两会政府工作报告中指出，过去的一年，中国交出一份人民满意、世界瞩目的答卷．其中城镇新增就业约为万人，将数用科学记数法表示为______．单项式与是同类项，则______．已知，，则 ______ ．若一个圆锥的底面半径为，侧面展开图面积为，则该圆锥的母线长是______．在平行四边形中，为上一点，，，，以为圆心，为半径画弧，与交于点，并刚好经过点，则阴影部分面积为______结果保留
关于的方程有两个实数根，，且，则 ______ ．若关于的不等式组有且仅有个整数解，且使得关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为______．如图，已知正方形的边长为，点是正方形内一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则长度的最小值为______ ．

    三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）计算：．
．






 如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连结并延长到点，使，连结并延长到点，使，连结量得的长为米，求池塘两端，的距离．






 “惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量从七、八年级中各随机抽取个班的餐厨垃圾质量的数据单位：，进行整理和分析餐厨垃圾质量用表示，共分为四个等级：，，，，下面给出了部分信息．
七年级个班的餐厨垃圾质量：，，，，，，，，，．
八年级个班的餐厨垃圾质量中等级包含的所有数据为：，，，，．
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差等级所占百分比七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中，，的值；
该校八年级共个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数；
根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由写出一条理由即可．






 现有、两个不透明的袋子，各装有三个小球，袋中的三个小球上分别标记数字，，；袋中的三个小球上分别标记数字，，这六个小球除标记的数字外，其余完全相同．
将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为______；
分别将、两个袋子中的小球摇匀，然后从、袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为的概率．






 如图所示，正方形的边长是，点是边上的一个动点且，交于点，交正方形外角平分线于点，点是的中点，连接．
求证：；
若为的中点，求证：；
点在何位置时线段最短，并求出此时的值．







 春季正是新鲜草莓上市的季节，甲、乙两家水果店，平时以同样的价格出售品质相同的草莓，“草莓节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，顾客的折后付款金额、单位：元与标价应付款金额单位：元之间的函数关系如图所示．
求、关于的函数关系式；
“草莓节”期间，如何选择甲、乙两家水果店购买草莓更省钱？







 已知关于的二次函数实数，为常数．
若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
若，当时，二次函数的最小值为，求的值；
记关于的二次函数，若在的条件下，当时，总有，求实数的最小值．






 如果一个直角三角形的两条直角边的比为：，那么把这个三角形叫做“完美三角形”．
如图，正方形网格中，已知格点，，在格点，，，中，与，能构成“完美三角形”的是点
如图，为“完美三角形”，为斜边的中点，为边上一动点，将射线绕点顺时针旋转，所得射线交边于点，连接求证：为“完美三角形”；
如图，是完美三角形的外接圆，将劣弧沿直线折叠，交斜边于点，求的值．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：点，，，表示的数分别是，，，，
其绝对值分别为，，，，
故选：．
根据数轴可得，点，，，表示的数分别是，，，，求出绝对值，即可解答．
本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确绝对值的定义．
 2.【答案】
 【解析】解：、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 3.【答案】
 【解析】解：，
，
，
估计的值在和之间，
故选：．
先估算出的值，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 4.【答案】
 【解析】解：多边形的外角和为，故此选项说法正确，不符合题意；
B.等边三角形的每一个内角都为，故此选项说法正确，不符合题意；
C.五边形的内角和为，不是，故此选项说法错误，符合题意；
D.正六边形的每一个外角都为，故此选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据多边形的内角和与外角和及等边三角形的性质求解判断即可．
此题考查了多边形的内角与外角及等边三角形的性质，熟记多边形的内角和公式及外角和是是解题的关键．
 5.【答案】
 【解析】解：两三角形关于原点位似，
，解得．
故选：．
利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律，点的横纵坐标都乘以得到点坐标，从而得到的值．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 6.【答案】
 【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 7.【答案】
 【解析】解：连接，

，过，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据垂径定理求出，求出，根据得出，再求出答案即可．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：直线经过第一、三象限，
直线平行直线，且经过，
观察图象可知直线不经过点、、，
直线经过点，
故选：．
根据直线的位置，利用排除法即可解决问题．
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 9.【答案】
 【解析】解：当点在上运动时，，则，，
，图象为二次函数；
当点在上运动时，如下图，

由知，，同理，
则，为一次函数；
当点在上运动时，
同理可得：，为一次函数；
故选：．
分别求出点在上运动、点在上运动、点在上运动时的函数表达式，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 10.【答案】
 【解析】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，
平分，平分，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
在和中，
，，，
≌，
，，
，，
∽，
，
又，
，
取正值，
故选：．
通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据∽，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出的面积是解决问题的前提．
 11.【答案】
 【解析】解：将数用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 12.【答案】
 【解析】解：因为单项式与是同类项，
所以，，
解得，，
所以．
故答案为：．
根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出、的值，再代入所求式子计算即可．
本题考查了同类项，熟记同类项的定义是解答本题的关键．
 13.【答案】
 【解析】解：原式
，
，，
原式

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用因式分解将代数式化简是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得，解得．
即该圆锥的母线长为．
故答案为．
设该圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 15.【答案】
 【解析】解：如图，作于，
在平行四边形中，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
作于，根据平行四边形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，
本题考查的是平行四边形的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 16.【答案】
 【解析】解：关于的方程有两个实数根，，
，解得，
，，
，即，
，
解得，，
经检验，不合题意，符合题意，
．
故答案为：．
根据根的判别式的意义得到，即，可得，根据根与系数的关系得到，，再将变形得到关于的方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．
 17.【答案】
 【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组有且仅有个整数解，
，
解得：，
分式方程去分母，得：，
解得：，
分式方程有整数解，且，
满足条件的整数可以取，，
其和为，
故答案为：．
解关于的不等式组，然后根据“该不等式组有且仅有个整数解”，确定的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合为整数，取所有符合题意的整数，即可得到答案．
本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的步骤和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
 18.【答案】
 【解析】解：

四边形是正方形，
，
，
，
，
，
点在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，
连接交于，交半圆于，则线段的长即为的长度最小值，，
，，
，
，
，
的长度最小值为，
故答案为：．
根据正方形的性质得到，推出，得到点在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，连接交于，交于，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 19.【答案】解：原式

；
原式

．
 【解析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 20.【答案】解：，，
，，
，
，
∽，
，
，
米，
答：池塘两端，的距离为米．
 【解析】根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 21.【答案】解：由题可知：，，．
八年级抽测的个班级中，等级的百分比是．
估计该校八年级共个班这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数为：个．
答：该校八年级共个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合等级的班级数为个．
七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数．
七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量等级的．
八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：
八年级各班餐厨垃圾质量的中位数低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数．
八年级各班餐厨垃圾质量的方差低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差．
 【解析】根据中位数，众数的定义即可求解．
用抽测的百分比乘总体即可求解．
从众数，中位数、等级的百分比、方差进行评论即可．
本题考查了中位数、众数、方差的意义，关键在于根据图中信息结合统计相关知识的意义进行分析即可．
 22.【答案】
 【解析】解：将袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为的结果有种，
摸出的这两个小球标记的数字之和为的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】解：正方形，
，，
，
，
，
证明：正方形，
，，
为的中点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
≌，
，
设，，
由知，，
，
∽，
，
，
，
，
当即为中点时，线段最短，
的最小值为．
 【解析】由正方形的性质得到，由，得，由同角的余角相等，即可证明；
首先由正方形的性质得到≌，进而得到，
首先证明∽，设，，利用已知边表示出关于的二次函数关系，进而求得的最小值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，考核了学生对于正方形性质的应用的能力，解题关键是要掌握正方形的性质，选择合适的性质来判断三角形的全等，来求解．
 24.【答案】解：设，把代入，
得，解得，
所以；
当时，设，
把代入，得，解得，
所以；
当时，设，
把，代入，得
，
解得，
所以；

当时，，到甲商店购买更省钱；
当时，若到甲商店购买更省钱，则，解得；
若到乙商店购买更省钱，则，解得；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，则，解得；
故当购买金额按原价小于元时，到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于元时，到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
 【解析】利用待定系数法即可求出，关于的函数关系式；
当时，显然到甲商店购买更省钱；当时，分三种情况进行讨论即可．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确求出函数解析式进行分类讨论是解题的关键．
 25.【答案】解：二次函数的图象经过点，
；
对称轴为直线：，
，
此二次函数的表达式为：．
当时，，此时函数的表达式为：，
根据题意可知，需要分三种情况：
当，即时，二次函数的最小值在处取到；
，解得，舍去；
，即时，二次函数的最小值在处取到；
，解得，舍去；
，即时，二次函数的最小值在处取到；
，解得舍去．
综上，的取值为或．

由知，二次函数的表达式为：，
设函数，
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，即有最小值，
，
，即的最小值为．
 【解析】由待定系数法，及对称轴为直线，可求出二次函数的表达式；
需要分三种情况：；；分别进行讨论；
根据二次函数图象的增减性可得结论．
本题考查二次函数的图象及其性质，根与系数关系等，解题的关键在于分类讨论求解，避免遗漏．
 26.【答案】解：设小正方形的边长是单位，
则，
，
又，，
，两点与，能构成“完美三角形”
故答案是：，；
证明：如图，

连接，
，
点、、、共圆，
，
，点是的中点，
，
，
，
为“完美三角形”，
，
，
为“完美三角形”；
解：连接，
，
，
，
如图，

连接，作于，
，
，
，
，
不妨设，则，设，则，
在中，，，，
，
舍去，，
，
．
 【解析】紧扣定义证明和计算满足两个条件：直角三角形和两条直角边的比值是：；
连接，由条件得出点、、、共圆，从而得出，根据直角三角形性质可进一步推出，从而得出，进一步命题得证；
由“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”可得出弧和弧相等，进而得出弦，进而解三角形，进一步可求得结果．
本题考查了直角三角形三角形性质，确定圆的条件，圆周角定理及圆中“弧、弦、角”之间关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，找出的条件．