人教版八年级上册13.2.2 用坐标表示轴对称教学设计

用坐标表示轴对称

    教学目标

    （一）教学知识点

    1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．

    2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．

    （二）能力训练要求

    1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识．

    2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

    （三）情感与价值观要求

    在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．

    教学重点

    1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

    2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．

    教学难点

    用坐标表示轴对称．

    教学方法

    探索发现法．

    教具准备

    课件，坐标纸．

    教学过程

    Ⅰ．提出问题，创设情境

    [活动1]

1．如图：

    （1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

    （2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．

    你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？

    2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．

    （1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？

    （2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？

    设计意图：

    通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究．

    师生行为：

    [生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称．

    （2）我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），嘴角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A1关于y轴对称，则A1到y轴的距离和A到y轴的距离相等，A1、A到x轴的距离也相等，∵A1在第二象限，∴A1的坐标为（-2，3）．

    同理，B1、C1、D1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）．

    2．师生共同完成

[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4）．

    （1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），C1（-4，4），D1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的．

    （2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-2），C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的．

    [师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y轴对称，

    B（4，2）与B1（-4，2）关于y轴对称，

    C（4，4）与C1（-4，4）关于y轴对称，

    D（2，4）与D1（-2，4）关于y轴对称．

    那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？

    A（2，2）与A2（2，-2）关于x轴对称，

    B（4，2）与B2（4，-2）关于x轴对称，

    C（4，4）与C2（4，-4）关于x轴对称，

    D（2，4）与D2（2，-4）关于x轴对称．

    那么关于x轴对称的点有何规律呢？

    这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律．

    Ⅱ．导入新课

    [活动2]

    在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．

    已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）．

    关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C′（_____，_____）D′（____，_____）E′（_____，_____）．

    关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（_____，_____）D″（____，_____）E″（_____，_____）．

    设计意图：

    通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．

    师生行为：

    教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．

[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）点．

    我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，M点的坐标为（2，0）．在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x轴，即AA′∥y轴，所以A′的横坐标为2，即A′的坐标为（2，3）．

同理可求得B，C，D，E关于x轴的对称点B′，C′，D′，E′的坐标分别为B′（-1，-2），C′（-6，5），D′（，-1），E′（4，0）．列表如下：

续表

    [师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？

    [生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．

    [师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？

    学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律．

    [师生共析]

    关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．

    接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标．

    [生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标．

过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，-5），D″（-，1），E″（-4，0）．列表如下：

续表

    [师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？

    [生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．

    Ⅲ．随堂练习

    [活动3]

    练习：（教科书P41练习）

    1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：

    （-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．

2．如图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．

    3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形．

    设计意图：

    巩固关于x轴、y轴对称的每对对称点的坐标规律．根据已知点，能求出关于x轴、y轴对称的点的坐标，并能利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，作出与已知图形关于坐标轴对称的图形．

    师生行为：

    学生练习，教师巡视，师生共评．

    [生]1．解：根据关于x轴对称的点的坐标的特点求得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于x轴对称的点的坐标分别为（-2，-6），（1，2），（-1，-3），（-4，2），（1，0）．

    根据关于y轴对称的点的坐标的特点可得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于y轴对称的点的坐标分别为（2，6），（-1，-2），（1，3），（4，-2），（-1，0）．

    2．△ABC关于x轴对称，则A、B为关于x轴的一对对称点，已知A的坐标为（1，-2），则B的坐标为（1，2）．

    3．分析：要作出与△ABC关于x轴、y轴的对称图形，只需把A、B、C关于x轴、y轴的对称点找到即可．

    解：△ABC各顶点的坐标：A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于x轴对称的点的坐标为A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）．在同一直角坐标系中描出A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1就是△ABC关于x轴对称的图形（如图）．

A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于y轴对称的点的坐标为A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2）．在同一坐标系中描出A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2），连结A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2就是△ABC关于y轴对称的图形（如图）．

    [活动4]

    补充练习：

    1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：

    （1）纵坐标不变，横坐标分别加2．

    （2）横坐标不变，纵坐标分别加1．

    （3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍．

    （4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍．

    （5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．

    （6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．

（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？

    设计意图：

    进一步让同学们亲身经历点的坐标的变化与图形变换之间的关系．

    师生行为：

    学生练习，教师指导．

    精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，在平面直角坐标系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．

精解：（1）纵坐标不变，横坐标分别加2得三个点依次为（4，1），（7，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（1）所示，与原图形相比三角形的形状、大小不变，整个三角形向右平移了2个单位长度．

（2）横坐标不变，纵坐标分别加1，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，6）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（2）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形向上平移了1个单位长度．

（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（4，1），（10，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（3）所示，与原图形相比，整个三角形被横向拉长为原来的2倍．

（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，10）．将各点依次用线段连结起来，所得图形如图（4）所示，与原图形相比，整个三角形被纵向拉长2倍．

（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，1），（-5，1），（-2，5）．将各点依次用线段连结起来，如图（5）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于y轴对称．

（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（2，-1），（5，-1），（2，-5）．将各点用线段连结起来，如图（6）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于x轴对称．

（7）横纵坐标都分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，-1），（-5，-1），（-2，-5）．将各点用线段依次连结起来，如图（7）所示，与原图形相比，整个三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于O点对称．

    Ⅳ．课时小结

    本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：

    1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．

    2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．

    Ⅴ．课后作业

    教科书习题12．2─2、3、4题，第6题、第7题（学有余力的同学做）．

    Ⅵ．活动与探究

1．如下图，以树干为对称轴，画出树的另一半．

分析：要画出树的另一半，根据轴对称图形的性质，关于对称轴对称的对应点的横坐标是互为相反数，纵坐标不变，因此需要在图中先建立直角坐标系，写出对称轴左侧某些点的坐标，然后对称地写出右侧的对应点的坐标，再进行连结．

    解：如上图所示建立直角坐标系，对称轴为y轴，y轴左侧的点A、C两点的坐标为（-4，0）、（-3，4），对称点A′、C′的坐标为（4，0）、（3，4），O、B、D三点都在对称轴上，然后用线段连结起来．

2．A、B、C、D、E各点的坐标如下图所示，确定△ABE、△EBD、△ABC的面积，你是怎样做的？你发现了什么规律？

    解：A、B、C、D、E各点的坐标分别为A（0，6），B（0，3），C（6，1），D（-2，-2），E（-8，0）．

    △ABE的面积为（8×6-8×3）=12．

    △EBD的面积为8×5- ×8×3- ×2×5- ×6×2=17．

    △ABC的面积为（6×5-2×6）=9．

    规律为可以将每个三角形的面积看成边与坐标轴平行的矩形的一半．

    板书设计

    §12．2．2  用坐标表示轴对称

    一、探索关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律．

    （1）关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数．

    （2）关于y轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．

    二、利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．

    备课资料

    （一）参考练习

    1．已知A点坐标为（-1，3）．

    （1）与点A关于y轴对称的点坐标．

    （2）与点A关于x轴对称的点坐标．

    2．已知△ABC的顶点坐标分别为（3，3），（2，1），（4，1）．请你在同一坐标系中作出：

    （1）关于x轴对称的图形．

    （2）关于y轴对称的图形．

3．描出图中的枫叶图案关于x轴的轴对称图形的简图．