人教版八年级上册11.2.1 三角形的内角课后复习题

与三角形有关的角

1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．

2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（  ）

    A．锐角三角形     B．直角三角形    C．钝角三角形     D．不能确定

3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，则∠A=______度．

4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（  ）

    （1）最小内角是20°；    （2）最大内角是100°；

    （3）最大内角是89°；    （4）三个内角都是60°；

    （5）有两个内角都是80°．

    A．（1）、（2）、（3）、（4）    B．（1）、（3）、（4）、（5）

    C．（2）、（3）、（4）、（5）    D．（1）、（2）、（4）、（5）

5．如图1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．

          (1)                      (2)                       (3)

6．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度．

7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范围．

8．如图2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度数．

9．（综合题）如图3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．

10．（应用题）如图7-2-1-4是一个大型模板，设计要求BA与CD相交成30°角，DA与CB相交成20°角，怎样通过测量∠A，∠B，∠C，∠D的度数，来检验模板是否合格？

11．（创新题）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE与∠AEC的度数．

12．（2005年，福建厦门）如图，已知，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．

（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

13．（易错题）在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度数．

14．（探究题）（1）如图，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，求∠BDC的度数．

（2）在（1）中去掉∠A=42°这个条件，请探究∠BDC和∠A之间的数量关系．

15．（开放题）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC边上的高AD，图中出现多少个直角三角形？又作△ABD中AB边上的高DD1，这时，图中共出现多少个直角三角形？按照同样的方法作下去，作出D1D2，D2D3，…，当作出Dn-1Dn时，图中共出现多少个直角三角形？

数学世界

推门与加水

    爱迪生成名以后，去拜访他的人很多，但客人们都感到爱迪生家的大门很重，推门很吃力．后来，一位朋友对他说：“你有没有办法让你家的大门开关起来省力一些？”爱迪生边笑边回答：“我家的大门做得非常合理，我让那个门与一个打水装置相连接，来访的客人，每次推开门都可以往水槽加20升水．”

    不仅如此，爱迪生还在想，如果每次推门能向水槽加入25升水的话，那么比原来少推12次门，水槽就可以装满了．

    你能算出爱迪生家水槽的容积吗？

答案:

1．70°

2．B  点拨：设这个三角形的三个内角分别为x°、2x°、3x°，

则x+2x+3x=180，解得x=30．

    ∴3x=90．

    ∴这个三角形是直角三角形，故选B．

3．90  点拨：由三角形内角和定理知∠A+∠B+∠C=180°，

又∠B+∠C=∠A，∴∠A+∠A=180°，∴∠A=90°．

4．C

5．280  点拨：由三角形内角和定理知，

∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°．

    ∴∠1+∠2+∠3+∠4=140°×2=280°．

6．60；60

7．解：设∠B=x，则∠A=x．

由三角形内角和定理，知∠C=180°-x．

而∠A≤∠C≤∠B．所以x≤180°-x≤x．即80°≤x≤120°．

8．解：设∠ABC=∠C=x°，则∠BAC=4x°．

    由三角形内角和定理得4x+x+x=180．

    解得x=30．

    ∴∠BAC=4×30°=120°．

    ∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°．

    ∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．

点拨：∠ABD是Rt△BDA的一个锐角，若能求出另一个锐角∠DAB．

就可运用直角三角形两锐角互余求得．

9．132°  点拨：因为∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，

且AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠DAC=30°．

在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°．

在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°．

又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．

故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°．

10．

解：设计方案1：测量∠ABC，∠C，∠CDA，

若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，

则模板合格；否则不合格．

设计方案2：测量∠ABC，∠C，∠DAB，

若180°-（∠ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，

则模板合格；否则不合格．

设计方案3：测量∠DAB，∠ABC，∠CDA，

若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同时成立，

则模板合格；否则不合格．

设计方案4：测量∠DAB，∠C，∠CDA，

若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同时成立，

则模板合格；否则不合格．

    点拨：这是一道几何应用题，借助于三角形知识分析解决问题，对形成用数学的意识解决实际问题是大有益处的．

11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，

∴∠BAC=60°．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×60°=30°．

∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．

在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°．

解法2：同解法1，得出∠BAC=60°．

∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°．

∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，

∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=45°-30°=15°．

∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，

∴∠AEC+30°+45°=180°，∴∠AEC=105°．

    答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．

    点拨：本节知识多与角平分线的定义，余角的性质，平行线的性质，三角形高的定义综合应用，有时也结合方程组、不等式等代数知识综合应用．求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系求解，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．

12．（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，

    ∴∠ABC=60°．

    又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°．

    ∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD．

  （2）解法1：∵∠C=90°，

    ∴∠BAC+∠ABC=90°．

    ∴（∠BAC+∠ABC）=45°．

    ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，

    ∴∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC；

    即∠BAP+∠ABP=45°，

    ∴∠APB=180°-45°=135°．

    解法2：∵∠C=90°，

    ∴∠BAC+∠ABC=90°．

    ∴（∠BAC+∠ABC）=45°．

    ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，

    ∴∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，

    ∴∠DBC+∠PAD=45°．

    ∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°．

13．解：由∠A=∠B=∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A．

    设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°．

    由三角形内角和定理得x+3x+5x=180．

    解得x=20．

    ∴3x=60，5x=100．

    ∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．

    点拨：解此类题，一般设较小的角为未知数．

14．解：（1）∵∠A=42°，

    ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°．

    ∵BD、CD平分∠ABC、∠ACB的平分线．

    ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB．

    ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×138°=69°．

    ∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-69°=111°．

  （2）∠BDC=90°+∠A．

    理由：∵BD、CD分别为∠ABC、∠ACB的平分线，

    ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB．

    ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A．

    ∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）

    =180°-（90°-∠A）

    =90°+∠A．

    点拨：欲求∠BDC，只要求出∠DBC+∠DCB即可．

15．解：作出BC边上的高AD时，图中出现3个直角三角形；

    作出△ABD中AB边上的高DD1时，图中出现5个直角三角形；

    作出Dn-1Dn时，图中共出现（2n+3）个直角三角形．

数学世界答案:

    设原来推门x次可把水槽装满水，由题意，得20x=25（x-12）．

    解得x=60．

    则水槽容积为20×60=1200（升）．