2022渭南高三下学期二模考试数学（理）试题含答案

渭南市2022年高三教学质量检测（II）

数学（理科）试题

命题人：陈乾运王建

注意事项：

1. 本试题满分150分，考试时间120分钟

2. 答卷前务必将自己的姓名、学校，班级准考证号填写在答题卡上.

3. 将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定位置.

第1卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选中只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合或，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（）.

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知角的始边与轴非负半轴重合，若终边过点，则（）

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，若，则λ=（）

A.  B.  C. -1 D. 1

5. 函数的图象如图所示，则（）

A B.

C D.

6. 下列说法中，正确的个数为（）

①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；

②设有一个线性同归方程，变量x增加1个单位时，平均增加5个单位；

③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强；

④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

7. 公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过椭圆上任意一点（不同于，）作长轴的垂线，垂足为，则为常数，若，则该椭圆的离心率为（）

A.  B.  C.  D.

8. 设{}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，”的（）

A充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（）

A.  B.  C.  D.

10. 若圆O：上存在点P，直线上存在点Q，使得，则实数k的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

11. 设P为多面体M一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，，……，遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（）

A.  B.

C.  D.

12. 若对x，都有成立，则实数a的最小值是（）

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 2021年秋季，教育部明确要求在全国中小学全面推行课后延时服务，实行“5+2”服务模式．某校开设了篮球、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4个同学每人选择了其中的一门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为_________.（用数字作答）

14. 2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，

相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺.

15. 写出一个同时满足以下三个条件的函数___________.

①是偶函数；②的值域为；③在上递增

16. 已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，，平面PAD⊥平面ABCD，，且直线PB与CD所成角的正切值为，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为___________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17—21题为必考题.每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题：共60分

17. 如图，在中，角，D为边AC上一点，且，，

求：

（1）的值；

（2）边的长.

18. 如图，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，且.

（1）求证：EF⊥平面BCF；

（2）求平面FAB与平面FCB夹角的余弦值.

19. 已知圆和圆，若动圆C与圆A和圆B都外切

（1）求动圆C的圆心的轨迹E的方程；

（2）设圆O：，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当时，是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由.

20. 为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：

根据以上数据，绘制了散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：

西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为万元．已知该线路公交车票价为元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠．预计该车队每辆车每个月有万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？

参考数据：

其中其中，，

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

21. 已知函数

（1）当时，求f（x）的单调递增区间：

（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：.

（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．

（2）已知点，曲线与直线交于两点，求的值．

[选修4-5；不等式选讲】

23. 已知，．

（1）当时，求不等式的解集．

（2）求的取值范围．

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】C

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】C

【11题答案】

【答案】B

【12题答案】

【答案】B

【13题答案】

【答案】36

【14题答案】

【答案】84

【15题答案】

【答案】（答案不唯一）

【16题答案】

【答案】##

【17题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1详解】

在中, 由余弦定理的推论得
,
,
,
,
 

【小问2详解】

,
,
,



,
在中, 由正弦定理得
,
 

18小问1详解】

在梯形中，∥，，

∴梯形为等腰梯形，

∵，，，

，∴，即.

∵EF∥AC，∴EF⊥BC，又∵EF⊥CF，，

平面；

【小问2详解】

取BF中点为G，连接CG、AG，

∵BC＝FC，∴CG⊥BF，

∵BC＝FC，∠ACF＝∠ACB＝90°，

∴，

∴AF＝AB，∴AG⊥BF，

∴∠AGC为平面FAB与平面FCB夹角或其补角，

在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝，

∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，FC⊥AC，FC平面ACFE，

∴FC⊥平面ABCD，∵BC平面ABCD，∴FC⊥BC，

∴在Rt△BCF中，BF＝，CG＝，

∴在Rt△AGB中，，

∴在△ACG中，根据余弦定理得，.

∴平面FAB与平面FCB夹角的余弦值为.

19

【答案】（1），；

（2）是定值，定值为.

【小问1详解】

因为设动圆圆心，半径为，因为动圆C与圆A和圆B都外切，

所以，，

所以，

根据双曲线定义可知，的轨迹为双曲线的右支的部分，

其中,为双曲线的焦点，即，

，即，所以，

即，

联立方程组，易知圆A和圆B相交，且交点坐标为和，

所以，，

所以动圆C的圆心的轨迹E的方程为：，；

【小问2详解】

设，为轨迹E上的动点，

所以，即，

因为，且，

所以，

而，

则有，

所以，

所以是定值，定值为.

20

【答案】（1）（均为大于零的常数）适宜；（2）；活动推出第天使用扫码支付的人次为人；（3）需要年才能盈利．

【详解】（1）根据散点图判断，在推广期内，（均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型；

（2）根据（1）的判断结果，两边取对数得：，

其中，，，，，

，，

，．

当时，，

活动推出第天使用扫码支付的人次为人；

（3）设一名乘客一次乘车的费用为元，

由题意知：所有可能取值为：，，，，

，，，，

，

假设这批车需要年才能开始盈利，则，

解得：，需要年才能盈利.

21

【答案】（1）和；
 

（2）证明见解析.
 

【小问1详解】

函数的定义域为，

当时，，

，令或，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以函数的单调递增区间为和；

【小问2详解】

，

因为函数恰有两个极值点，

所以方程有两个不相等实根，设为且，

当时，函数图象关于直线对称，

则，即，

因为，所以，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以分别是函数的极大值点和极小值点，

即，，

于是有，

因为，所以，

所以，而，

所以，

设，，

则，令或，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以当时，函数有最小值，即，

因此有，即.

22

【答案】（1）；；（2）．

【详解】（1）直线参数方程消去参数，可得，整理得，

即直线的普通方程为；．

曲线化为直角坐标方程可得，整理得，即曲线的直角坐标方程为；．

（2）直线的参数方程可化为，令得到代入椭圆方程得，

，.

23

【答案】（1）或；（2）．

【详解】（1）当时，

，即解得或，所以不等式的

解集是或．

（2），

关于的分段函数在上单调递减，在上单调递增

所以当时，取最小值，无最大值，所以取值范围为.