2022年江苏省淮安市淮阴区中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

2022年江苏省淮安市淮阴区中考数学质检试卷（3月份）

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 新冠病毒平均直径约为纳米，即米．用科学记数法可以表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 下面二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

5. 估计的值应在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

6. 我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是

A.  B.
C.  D.

7. 已知是方程组的解，则的值是

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当的值最大时，连结，的面积是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 的算术平方根是______．
10. 因式分解：______．
11. 某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．王老师买了一件商品，花了元，那么他购买的这件商品的标价为______元．
12. 将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为______．
     

13. 数据、、、、、、、的众数是______ ，方差是______ ．
14. 根据如图所示的计算程序，若输入的值，则输出的值为______．

15. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球，个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______．
16. 如图，中，，，，且边在直线上，将绕点顺时针旋转到位置可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；，其中、、、都在直线上，按规律继续旋转，直至得到点为止，则______．

三．计算题（本题共2小题，共18分）

17. 计算：
    解方程：
    
    
    
    
    
    
     
18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

四．解答题（本题共9小题，共84分）

19. 已知：如图，点，在上，，，求证：．

20. 小敏上午：从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程米和所经过的时间分之间的函数图像如图所示．请根据图像回答下列问题：
    小敏去超市途中的速度；
    求线段的函数表达式．

21. 为了解中考体育科目训练情况，某地从全区八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试把测试结果分为四个等级：级优秀，级良好，级及格，级不及格，并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
    
    本次抽样测试的学生人数是______；
    图中的度数是______，并把图中的条形统计图补充完整；
    该区九年级有学生名，如果全部参加本次中考体育科目测试，请估计不及格的人数？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为和度．如果这时气球的高度为米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离．
    
    
    
    
    
    
     
23. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：

以车速为轴，以刹车距离为轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？






 

24. 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．
    请用列表或画树形图的方法只选其中一样，表示两次摸出小球上的标号的所有结果；
    规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，是直径，为上一点，平分交于点，过作的垂线交的延长线于点．
    求证：为的切线；
    若半径为，，求的长．
     

26. 如图，在直角三角形纸片中，，，．
    数学活动
    将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点顺时针方向旋转得到，点、的对应点分别是点、，直线与边交于点点不与点重合，与边交于点．
    
    数学思考
    折痕的长为______；
    在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
    数学探究
    如图，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时，求的长；
    问题延伸
    如图，若直角三角形纸片的两直角边，在点从点开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为，则的最小值为______．
    
    
    
    
    
    
     
27. 如图，已知抛物线交轴于点，交轴于点，点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，再过点作的垂线，垂足为，连接．
    ______；
    在轴右侧的抛物线上是否存在一点，使？若存在，请求出符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由．
    如图，当点位于抛物线的对称轴的右侧时，若将沿翻折，点的对应为点，请直接写出当点落在坐标轴上时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】

解：
故选：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】

解：、错误．应该是；
B、错误．应该是；
C、错误．．
D、正确．
故选：．
根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方一一判断即可．
本题考查同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，积的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
 

4.【答案】

【解析】

解：、不是最简二次根式，错误；
B、不是最简二次根式，错误；
C、是最简二次根式，正确；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：．
根据最简二次根式的概念进行判断即可．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

5.【答案】

【解析】

解：，，
的值应在和之间，
故选：．
先进行二次根式的性质得到，再估算出的值即可解答．
此题考查了无理数的估算，正确估算出的值是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：设绳索长尺，则竿长尺，
依题意，得：．
故选：．
设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：是方程组的解，
，
得，，
故选：．
将代入后再将方程组中的两个方程相加即可求解．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：把，代入反比例函数得：，，
，，
在中，由三角形的三边关系定理得：，
延长交轴于，当在点时，，
即此时线段与线段之差达到最大，
设直线的解析式是，
把、的坐标代入得：，
解得：，，
直线的解析式是，
当时，，
即，
，
，
故选：．
求出、的坐标，设直线的解析式是，把、的坐标代入求出直线的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交轴于，当在点时，，此时线段与线段之差达到最大，求出直线于轴的交点坐标即可根据三角形面积公式求得的面积．
本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定点的位置，题目比较好，但有一定的难度．
 

9.【答案】

【解析】

解：，
的算术平方根是．
故答案为：．
本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
算术平方根的概念易与平方根的概念混淆．弄清概念是解决本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：．
故答案为：．
利用平方差公式，把写成的形式即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键，是一道基础题，比较简单．
 

11.【答案】

【解析】

解：设这件商品的原价为元，则他购买这件商品花了元，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
设这件商品的原价为元，则他购买这件商品花了元，根据题意可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：根据三角板的度数知，，，
，
故答案为：．
直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．
 

13.【答案】

；
 

【解析】

解：、、、、、、、中，出现了四次，次数最多，故为众数；
、、、、、、、的平均数为，
则．
故填；．
根据众数的概念，找出数据中出现次数最多的数即为所求；先求平均数，然后根据方差公式计算．
此题考查了众数和方差的意义：众数是一组数据中出现次数最多的那个数据．方差是各变量值与其均值的差的平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
 

14.【答案】

【解析】

解：当时，
由程序图可知：．
故答案为：．
根据程序图代入相应的算式即可求出的值．
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解程序图，本题属于基础题型．
 

15.【答案】

【解析】

解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有种结果，
摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

16.【答案】

【解析】

解：由题意可得，，，，，，
故每旋转次为一个循环，
，
，
故答案为：．
找出规律，即可求解．
本题考查了旋转的性质，找出规律是解题的关键．
 

17.【答案】

解：原式

；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解．
 

【解析】

原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】

解：，
解不等式得，，
解不等式，，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
 

【解析】

先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

19.【答案】

证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】

根据证明≌，由全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
 

20.【答案】

解：小敏去超市途中的速度是米分，
小敏去超市途中的速度为米分；
设段与的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
段函数解析式为．
 

【解析】

根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；
根据函数图象可设段函数解析式为，然后用待定系数法求函数解析式即可．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获取信息是解题关键．
 

21.【答案】

【解析】

解：人
故本次抽样测试的学生人数是人；
故答案为：；

的度数是，
级人数为人，
把条形统计图补充完整，如图所示：

故答案为：．

人．
故不及格的人数约有人．
由级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
用乘以级人数所占比例，由四个等级人数和等于总人数求出级人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中不及格人数所占比例即可．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

22.【答案】

解：由已知，得，，，
，于点．
，．
在中，，，
．
在中，，，
．
．
答：建筑物、间的距离为米．
 

【解析】

在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
解决本题的关键是利用为直角斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出与的长．
 

23.【答案】

解：描点、连线为：

设抛物线的解析式为，由题意，得
，
解得：．
故函数的解析式为：；
当时，
；
解得：舍去，．
，
推测刹车时的速度是，汽车是正常行驶．
 

【解析】

通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；
由函数图象，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；
将代入的解析式求出其值，再与作比较即可．
本题考查点的坐标的运用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键．
 

24.【答案】

解：列表得：

所有等可能的情况数有种；

可能出现的结果共种，它们出现的可能性相同，
两次摸出小球标号相同的情况共种，分别为；；，
则．
 

【解析】

列表得出所有等可能的情况数即可；
找出两次摸出小球标号相同的情况数，即可求出中奖的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

25.【答案】

证明：连接，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
为的切线；

解：过作于，则为中点，
又，
，
四边形为矩形，
，
，
又，
在中，，
．
 

【解析】

连接，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得，为的切线；
证明四边形为矩形，求得的长，在直角中，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．
 

26.【答案】

【解析】

解：由折叠可知：，，
，
，
，
是的中位线，
，
故答案为：；
，证明如下：
连接，

由旋转知，，，
在和中，
，
≌，
；
，
，
，
，
，
设，
在中，，
即，
解得，
；
设交边于，根据旋转过程中的面积逐渐变大，故当旋转角为时的面积最大，此时有最小值，
如下图所示：

，
，，
此时是等腰直角三角形，
即，
，
故答案为：．
通过证明是中位线，可得；
连接，根据证≌，即可得出结论；
根据角相等得出，设，根据勾股定理求出的值，根据求出的值即可；
设交边于，根据旋转过程中的面积逐渐变大，故当旋转角为时的面积最大，此时有最小值，求出此时的值即可．
本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．
 

27.【答案】

【解析】

解：把分别代入得，解得，
故答案为：．
存在，理由如下：
如图，作点关于点的对称点，连接，
由对称性可知，，即．
过点作于点，
，，
，．
，即，
解得，
在中，，，
由勾股定理可得，
．
，即，
设，则，
，
点在抛物线上，
，解得舍去或．

作点关于直线的对称点，则直线与抛物线的交点即为点，
由上可知，，，
直线的解析式为：，
令，
解得．
综上，点的横坐标为或．
设，
当点落在轴上，延长交轴于，如图，

则，
沿对折，点的对应点为点，
，，，
，
∽，
，即，解得，
，
在中，，
整理得，解得，，此时点坐标为或；
当点落在轴上，则点、、、所组成的四边形为正方形，
，
即，
解方程得舍去，，此时点坐标为；
解方程得舍去，，此时点坐标为，
综上所述，点的坐标为或或．
利用待定系数法求抛物线解析式即可；
先利用特殊三角形函数值求出的正切值，再利用背景图形求点的横坐标；作点关于点的对称点，直线与抛物线的交点即可点，联立即可求解；
设，当点落在轴上，延长交轴于，如图，则，证明∽，利用相似比得到，则，在中，利用勾股定理得到方程，然后解方程求出得到此时点坐标；当点落在轴上，易得点、、、所组成的四边形为正方形，利用得到，然后解方程和方程得此时点坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质进行几何计算．