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2020-2021学年第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案
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这是一份2020-2021学年第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案，共6页。教案主要包含了活动方略，设计意图等内容，欢迎下载使用。
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考
通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题
培养学生准确快速的计算能力．
情感态度
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
【问题】
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
【说明】
这里 （）是一元二次方程的求根公式
【活动方略】
鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。
【思考】
利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）
（2）
（3）
【活动方略】
在教师的引导下，学生回答，教师板书
引导学生总结步骤：确定的值、算出的值、代入求根公式求解．
在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：
（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
反馈练习
教材P16 练习题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0
（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=1，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用方程有关的知识解题，进一步掌握公式法。
作业
教学内容
本节课主要学习用公式法解一元二次方程。
教学目标
知识技能
掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
数学思考
通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
解决问题
培养学生准确快速的计算能力．
情感态度
通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识；通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
重难点、关键
重点：求根公式的推导及 用公式法解一元二次方程．
难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
关键：掌握一元二次方程的求根公式，并应用求根公式法解简单的一元二次方程．
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生根据所学知识解答问题．
【设计意图】
复习配方法解一元二次方程，为继续学习公式法引入作好铺垫．
探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
【问题】
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根为x1=，x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+x=-
配方，得：x2+x+（）2=-+（）2
即（x+）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴≥0
直接开平方，得：x+=±
即x=
∴x1=，x2=
【说明】
这里 （）是一元二次方程的求根公式
【活动方略】
鼓励学生独立完成问题的探究，完成探索后，教师让学生总结归纳，由形式是一元二次方程的一般形式，得出一元二次方程的求根公式．
【设计意图】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容，导出一元二次方程的求根公式。
【思考】
利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？
（1）
（2）
（3）
【活动方略】
在教师的引导下，学生回答，教师板书
引导学生总结步骤：确定的值、算出的值、代入求根公式求解．
在学生归纳的基础上，老师完善以下几点：
（1）一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的；
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；
（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；
（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．
【设计意图】
主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
反馈练习
教材P16 练习题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0
（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对知识的掌握情况.
应用拓展
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①或②或③
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=1，x2=-
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生应用方程有关的知识解题，进一步掌握公式法。
作业
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