人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案

这是一份人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案，共8页。

教学反思
课题
垂直于弦的直径（第一课时）
课型
新授课
教
学
目
标
知识与技能
研究圆的对称性, 掌握垂径定理及其推论.
学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题。
过程与方法
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度价值观
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点
垂径定理及其推论的运用。
教具
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件

教
学
过
程
问题与情境
师生行为
备注与修改
创设情境导入新课
将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？
将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论。
后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。
合作交流探究新知
圆的对称性
（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？
垂径定理
（思考）如图 ：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。
这个图形是对称图形吗
你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
你能用几何方法证明这些结论吗？
你能用符号语言表达这个结论吗？
3．垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB则
直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）
如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。
教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。
学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。
学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。
教师明确定理中的条件和结论，初步理解“知二得三”口诀的含义。
教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。
学生尝试得出垂径定理和推论，教师规范并板书。
教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。
垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。
本节课主要探讨垂径定理及第1条推论，还有它们的应用。
而其它推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。
灵活应用
提高能力
简单应用
如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于C，则下列结论错误的是（ ）
AC=BC B、AN=BN C、OC=CN D、AM=BM
典型应用
如图。在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O的半径为 cm
连结什么可得到一个直角三形？
利用什么知识可以解得半径。
从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？
生活中的应用
如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?
提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。
利用垂径定理进行的几何证明
教材第82练习第2题。
简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.
在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。
此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。
教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。
本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。
小结升华与作业
小结升华
本节课你学到了哪些数学知识？
在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
这些方法中你又用到了哪些数学思想？
作业布置
（1）教材82页练习第1题 88页第11题
分层作业
如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是多少？
（2）家庭作业 练习册
教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。
课题
垂直于弦的直径(第2课时)
课型
习题提高课
教
学
目
标
知识与技能
进一步探索和掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三”的意义.
利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题
过程与方法
经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论。
在利用垂径定理解决数学问题的过程中，注意运用迁移和数形结合等数学思想与方法。
情感态度价值观
学生在探索的过程中，体会学习的快乐，进一步体会数学的应用性，培养学生的创新意识。
教学重点
垂径定理的推论
教学难点
垂径定理及推论的应用
教具

教
学
过
程
问题与情境
师生行为
备注
创设情境导入新课
上节课学习的垂径定理及推论的内容是什么？你能结合图形利用符号语言来说明吗？
在垂径定理及其推论中，条件有几个，结论有几个？你知道知二得三的含义吗？
如图，若AB是⊙O中的一条弦，而另一条弦CD是它的垂直平分线，则CD过圆心，即是否是这个圆的直径？如何说明。
问题1复习上节课所学，主要由教师提出问题，学生回顾后进行回答。
问题2由学生思考后进行总结和体会。
问题3由教师提出，学生思考，教师并不急于得到答案，只是作为问题情境，引出本节课的内容。
合作交流探究新知
垂径定理的其它推论
如上图，若弦CD垂直平分另一条弦AB，则是否可以根据圆的对称性得到，BC是圆的直径？且CD是否平分弦所对优弧和劣弧？
如果条件为CD平分AB所对的优弧和劣弧，则CD是直径吗？CD平分且垂直于弦AB吗？
根据“知二得三”规律，你还能变化出其它推论吗？它们是否都成立？
观察和思考若直线CD具备了以下五个条件中的两个，是否都可以得到其它三个结论？①过圆心（即CD是直径）②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。
你能总结和概括“知二得三”意义吗？
结合刚才得出的问题，教师引导学生利用圆的对称性来解决问题1。
可以继续利用对称性来解释问题2。
教师循序渐进提出问题3，引导学生进行思考。
进一步引导学生理解“知二得三”的含义。
老师总结和板书结论。
灵活应用
提高能力
垂径定理在作图方面的应用
如图，有一段弧AB，你能用尺规将其平分吗？四等分呢？
垂径定理在计算方面的应用
（1）已知，若⊙O中有两条平行的弦分别分8cm和6cm，且圆的半径为5cm，求两条弦之间的距离。
（提示学生一定要考虑两条弦的两种位置关系）
（2）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”
垂径定理在生活中的应用
如图，你能用什么方法确定这个残缺的圆的圆心？
教师出示问题，并引导学生利用垂径定理的推论来解决。
教师引导学生画出图形，考虑两种位置关系，利用勾股定理解决计算问题。
先让学生多读题，弄清题意和条件，画出图形。
以此问题激发学生学习的积极性，培养学生的爱国情。
小组讨论，进行思考，教师巡视并进行提示的指导。
小结升华与作业
小结升华
你从本节课中学到了哪些数学知识？
学习中你掌握了哪些方法？
你还有什么疑问？
作业
课堂作业
P88 8、9、10家庭作业
练习题一份
让学生回顾总结，反思提高。