宁夏中卫市2020届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

2020年中卫市高考第二次模拟考试

文科数学

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

1.设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据复数的乘法运算，求得，再求其共轭复数即可.

【详解】因为，

故可得.

故选：A.

【点睛】本题考查集合的乘法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.

2.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解不等式求出集合A、B，然后再根据集合的交运算即可求解.

【详解】由，

，

所以.

故选：C

【点睛】本题考查了集合的交运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.

3.已知向量，，则（    ）

A. 1 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量加减的坐标运算求出，，再根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】由，，

两式联立，可得，，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.

4.已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（　　　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.

【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,

或时，则 不成立.

则，，均为假.

故选:B

【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.

5.已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知函数是以为周期的函数，从而可得，再根据函数为奇函数可得，将代入表达式即可求解.

【详解】由满足，

所以函数的周期，

又因为函数为奇函数，且当时，，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查了利用函数的周期性、奇偶性求函数值，属于基础题.

6.已知抛物线的焦点为，是上一点，，则（   ）

A. 4 B. 2 C. 1 D. 8

【答案】C

【解析】

点A到抛物线的准线：的距离为：，

利用抛物线的定义可得：，

求解关于实数的方程可得：.

本题选择C选项.

7.已知,,则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由,代入已知式子中,可求出,再结合即可求解.

【详解】解: ,

即.又

,

故选:D.

【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号.

8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. 10 B. 5 C. 20 D. 30

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三视图画出几何体的直观图：三棱柱截去一个三棱锥，利用棱柱与棱柱的体积公式即可求解.

【详解】由几何体的三视图可得几何体的直观图：

三棱柱截去一个三棱锥，如图：

该几何体的体积：.

故选：C

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、棱柱的体积公式、棱锥的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

9.设F1、F2是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线的离心率为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

因为，根据双曲线的几何定义可得，，所以．在中，因为，所以，即，所以，则，故选B．

10.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的内切圆半径（，为直角边，为斜边），求出圆的面积，再利用几何概型-面积比即可求解.

【详解】由题意两直角边为，斜边，

所以内切圆半径，

所以落在其内切圆内的概率：

，

故选：A

【点睛】本题考查了几何概型的概率计算公式-面积型，属于基础题.

11.函数在区间上是单调函数，且的图像关于点对称，则（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数的单调区间，解得的取值范围，结合对称中心，即可求得结果.

【详解】因为在区间上是单调函数，

则由，可得，

则，解得.

又因为的图像关于点对称，

故可得，即，

解得.

结合的取值范围，即可得或.

故选：B.

【点睛】本题考查由余弦型函数的单调区间以及对称中心，求参数范围的问题，属基础题.

12.函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论的根的情况，结合根的分布求解.

【详解】，令，得或，

当时，，函数在上单调递增，且;

当时，，函数在上单调递减;

当时，，函数在上单调递增.

所以极大值，极小值，作出大致图象：

令，则方程有两个不同的实数根，

且一个根在内，另一个根在内，

或者两个根都在内.

因为两根之和为正数，所以两个根不可能在内.

令，因为，所以只需，即，得，即的取值范围为.

故选：D

【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数图象特征，结合二次方程根分布知识求解.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.

【答案】甲.

【解析】

【分析】

甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高

【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，

而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．

从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．

故答案为甲

【点睛】画茎叶图时的注意事项

（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；

（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．

（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．

（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．

14.已知，则曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】

分析】

求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.

详解】由，则，

当时，，解得，

所以，，

即，，

所以曲线在点处的切线方程为：，

即为.

故答案为：

【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.

15.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．

【答案】

【解析】

由已知，

所以，，

由余弦定理得，

,故（海里），

该货船的船速为海里/小时．

考点：三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．

16.已知三棱锥中，三点在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积为，则球的表面积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用面积公式求出的面积，再利用余弦定理求出的长度，利用正弦定理求出的外接圆半径，根据勾股定理求出球的半径，由球的表面积公式即可求解.

【详解】的面积，

设球心到平面的距离为，

则，解得，

在中，由余弦定理

，

设的外接圆半径为，由正弦定理

则，解得，

设球的半径为，则，

所以球的表面积为.

故答案为：

【点睛】本题考查了球的表面积公式、三棱锥的体积公式、三角形的面积公式以及余弦定理解三角形，正弦定理解三角形的外接圆半径，属于中档题.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.等差数列的前项和为，已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和为；

（Ⅱ）设为数列的前项的和，求证：.

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据等差数列公式直接计算得到答案.

（Ⅱ），根据裂项求和法计算得到得到证明.

【详解】（Ⅰ）等差数列的公差为，由，得，，

即，，解得，.

∴，.

（Ⅱ），∴，

∴，即.

【点睛】本题考查了等差数列的基本量的计算，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.

18.某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表：

（1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数；

（2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；

（3）如果该校以学生对老师评分的平均数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1）

【答案】(1)人；（2）；（3）乙可评为年度该校优秀教师

【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图求出70分以上的频率，总频率之和为可得70分以下的频率，由频率即可求解.

（2）根据频数分布表有3人，有3人，分别进行标记，利用列举法求出随机选出2人的基本事件个数，然后再求出评分均在范围内的基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

（3）利用平均数小矩形的面积小矩形底边中点横坐标之和，求出甲的平均分，再利用平均数的公式求出乙的平均分即可得出结果.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，70分以上的频率为，

70分以下的频率为，

所以对甲教师的评分低于70分的人数：.

（2）由频数分布表有3人，有3人，

记的3人为A、B、C，的3人为、、，

随机选出2人：，，，，，，

， ，，， ，，，

 ，，共种；

评分均在的抽取方法：， ，，共3种；

所以2人评分均在范围内的概率.

（3）由频率分布直方图可得的频率为：

甲教师的平均数为：

，

乙教师的平均数为：

，

由于乙教师的平均数大于80分，故乙可评为年度该校优秀教师.

【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、频数分布表、古典概型的概率计算公式，考查了学生的数据分析处理能力，属于基础题.

19.如图1，在中, 分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2.

（1）求证：；

（2）线段上是否存在点，使平面？说明理由.

【答案】（1）见解析（2）线段上存在点，使平面.

【解析】

【详解】试题分析：（1）由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；
（2）取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．

试题解析：

（1）证明：由已知得且，

，又，

平面，面平面，

，

又平面，

.

（2）线段上存在点，使平面.

理由如下：如图，分别取的中点，则.

平面即为平面.

由（1）知平面，

又是等腰三角形底边的中点，

平面，从而平面，

故线段上存在点，使平面.

点睛：

证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

20.如图,椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.

【答案】（1）（2）存在定点,使得为定值.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，结合性质  ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得结果；（Ⅱ）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去可得关于的一元二次方程，表示为，利用韦达定理化简可得，令可得结果.

【详解】（Ⅰ）由题设得,又,解得,∴.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）,当直线的斜率存在时,设此时直线的方程为,

设,,把代入椭圆的方程,消去并整理得,

,则,,

可得.设点,

那么,

若轴上存在定点,使得为定值,则有,解得,

此时,,

当直线的斜率不存在时,此时直线的方程为,把代入椭圆方程解得,

此时,,, ,

综上,在轴上存在定点,使得为定值.

【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.已知函数．

（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）对原函数求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出的取值范围；

（2）问题转化为即在时恒成立，令，求导后分和求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．

【详解】解：（1）函数在，上单调递增，

在， 上恒成立，

，

当时，有最小值，

；

（2），

（1），

函数在处的切线平行于轴，

，

，

不等式在时恒成立，

在时恒成立，

即在时恒成立，

令，，

，

当时，在上恒成立，即在上单调递增，

（1），则，矛盾，

当时，令，解得，

令，解得：，

令，解得：，

在单调递减，在，单调递增，

，

令，，

，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

，

不存在整数使得恒成立，

综上所述不存在满足条件的整数．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数的几何意义，还运用分离参数法和函数构造法解决恒成立问题，同时考查了数学转化思想方法以及推理能力和运算能力，属难题．

选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）

22.已知直线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为常数，且），直线与曲线交于两点.

（1）若，求实数的值；

（2）若点的直角坐标为，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）将直线的参数方程化为为普通方程，曲线C的极坐标方程化为普通方程，再利用直线与圆的弦长公式求解.

（2）直线的参数方程与圆的普通方程联立，根据参数的几何意义，则有求解.

【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，

化为直角坐标系下的普通方程为：，即.

直线的普通方程为：，

而点到直线的距离为，

所以，即，

又因为，所以.

（2）显然点在直线上，把代入

并整理可得，

设点对应的参数分别为.

则，解得或.

则，解得或.

而，实数m的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与普通方程间的转化以及直线与圆的弦长，参数的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

23.已知，且.

（1）求的取值范围；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

分析】

（1）由条件等式将用表示，再从，进一步求出的范围，将问题转化为求二次函数的取值范围，二次函数配方，即可求解；

（2）根据已知条件转化证明，利用基本不等式即可得证.

【详解】（1）依题意，，故.

所以，

所以，即的取值范围为.

（2）因为，

所以

，

当且仅当时，等号成立，

又因为，

所以.

【点睛】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，解题中注意应用条件等式，属于中档题.