2022年中考数学基础训练卷——轴对称

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2022年中考数学基础训练卷——轴对称一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D ， 交BC于点E ． 已知∠BAC＝5∠BAE ， 则∠C的度数为（    ） A.30°B.40°C.50°D.60°2.如图，点在的边上，把沿折叠，点恰好落在直线上，则线段是的（ ）A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线3.已知点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是（　　）A．（﹣5，4） B．（﹣5，﹣4） C．（5，4） D．（5，﹣4）4.如图，在△ABC中，．按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连结．若，则的长可能是（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．137.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．8.如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9.如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）A．1.5 B． C．2 D．10.如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（　　）A．（2022，2） B．（2022，﹣2） C．（2020，2） D．（2020，﹣2）11.如图，中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则的周长等于（ ）A．17 B．15 C．12 D．1112.如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（ ）A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④二、填空题13.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于________ cm． 14.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为______度．15.如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点D，则的度数为__________．16.如图：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为　 　．17.如图，在锐角中，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值是_______．18.四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为_____．19.如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为______．20.如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．三、解答题21.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P ， 过点P作AB ， AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M ， N ， 求证：BM＝CN ． 22.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数．23.如图，在边长为1个单位长度的10×8小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，点A、C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，3），直线l在网格线上．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（点A1，B1，C1分别为点A，B，C的对应点）（2）点D是△ABC内部的格点，其关于直线l的对称点是D1，直接写出点D，D1的坐标；（3）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，其关于直线l的对称点是P1，则点P1的坐标是　 　．24.已知点在内．（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.①若，则______；②若，连接，请说明当为多少度时，；（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．25.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．（1）求证：OB=DC；（2）求∠DCO的大小；（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．26.已知，在等腰中，于点D．以为边作等边△ACE，直线交直线于点F，连接．（1）如图1，与在直线的异侧，且交于点M．①求证：；②猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论：（2）当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论．27.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．2022年中考数学基础训练卷——轴对称参考答案一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D ， 交BC于点E ． 已知∠BAC＝5∠BAE ， 则∠C的度数为（    ） A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】 B 2.如图，点在的边上，把沿折叠，点恰好落在直线上，则线段是的（ ）A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线【答案】B3.已知点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是（　　）A．（﹣5，4） B．（﹣5，﹣4） C．（5，4） D．（5，﹣4）【答案】C．4.如图，在△ABC中，．按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连结．若，则的长可能是（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A．5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，直线MN垂直平分边AC，分别交AB，AC于点D，E，则∠BCD＝（　　）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B6.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C.7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将先沿轴翻折，再向上平移2个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】C8.如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD和△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D9.如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）A．1.5 B． C．2 D．【答案】C10.如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（　　）A．（2022，2） B．（2022，﹣2） C．（2020，2） D．（2020，﹣2）【答案】A．11.如图，中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MNBC，则的周长等于（ ）A．17 B．15 C．12 D．11【答案】C．12.如图，在中，，D是边上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点B，连接，，则下列结论：①；②点D为的中点；③是等边三角形；④若，则；⑤若，则，正确的是（ ）A．①②⑤ B．①②④⑤ C．②③④⑤ D．①③④【答案】B二、填空题13.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于________ cm． 【答案】 10 14.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为______度．【答案】15.如图，在中，，，尺规作图作出的垂直平分线与交于点D，则的度数为__________．【答案】75°．16.如图：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为　 　．【答案】15°、30°、75°、120°17.如图，在锐角中，，，平分，，分别是和上的动点，则的最小值是_______．【答案】4．18.四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为_____．【答案】70°19.如图，在钝角中，已知为钝角，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数为______．【答案】120°20.如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．【答案】三、解答题21.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P ， 过点P作AB ， AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M ， N ， 求证：BM＝CN ． 【答案】 解：连接PC，PB， ∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PM=PN，∠BMP=∠PNC=90° ∵PE垂直平分BC， ∴BP=CP 在Rt△BPM和Rt△CPN中 PM=PNBP=CP ∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL） ∴BM=CN 22.如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数．【答案】解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB=BE，AD=DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+EC+CD+AD=18，CD+EC+DE=CD+CE+AD=6，∴AB+BE=18-6=12，∴AB=6；（2）∵∠ABC=30°，∠C=45°，∴∠BAC=180°-30°-45°=105°，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED=∠BAC=105°，∴∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60°．23.如图，在边长为1个单位长度的10×8小正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC，点A、C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，3），直线l在网格线上．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（点A1，B1，C1分别为点A，B，C的对应点）（2）点D是△ABC内部的格点，其关于直线l的对称点是D1，直接写出点D，D1的坐标；（3）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，其关于直线l的对称点是P1，则点P1的坐标是　 　．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）D点坐标为（﹣2，2），D1的坐标为（4，2）；（3）点P1的坐标是为（﹣a+2，b）．故答案为（﹣a+2，b）．24.已知点在内．（1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、.①若，则______；②若，连接，请说明当为多少度时，；（2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．【答案】（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG=OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH=2∠MON=2×50°=100°，故答案为：100°；②，，、、三点其线，，，当时，；（2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接，、、，交、于点、，则，，此时周长的最小值等于的长.由轴对称性质可得，，，，，，由轴对称性质可得，．25.如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．（1）求证：OB=DC；（2）求∠DCO的大小；（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．【答案】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，∴∠DAC=∠OAB，在△AOB与△ADC中，，∴△AOB≌△ADC，∴OB=DC；（2）∵∠BOC=130°，∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，∵△AOB≌△ADC，∠AOB=∠ADC，∴∠ADC+∠AOC=230°，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴∠DAO=90°，∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；（3）当CD=CO时，∴∠CDO=∠COD==70°，∵△AOD是等腰直角三角形，∴∠ODA=45°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，又∠AOB=∠ADC=α，∴α=115°；当OD=CO时，∴∠DCO=∠CDO=40°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，∴α=85°；当CD=OD时，∴∠DCO=∠DOC=40°，∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，∴α=145°，综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．26.已知，在等腰中，于点D．以为边作等边△ACE，直线交直线于点F，连接．（1）如图1，与在直线的异侧，且交于点M．①求证：；②猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论：（2）当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论．【答案】证明：（1）①∵△AEC是等边三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF；②EF+AF=BF，理由如下：如图，在CF上取FG=FE，连接EG，由（1）得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，∵△AEC是等边三角形∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，∴∠FCA+∠ECF=60°，∴∠AEF+∠ECF=60°，∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，∴∠EFG=60°，∵FE=FG，∴△EFG为等边三角形，∴EG=EF，∠FEG=60°，∴∠AEF+∠AEG=60°，又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，∴∠FEA=∠GEC，∴△FEA≌△GEC（SAS），∴AF=GC，∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，∴EF+AF=BF；（2）BF+EF=AF，理由如下：如图，在AF上截取FH=FC，连接CH，∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD∵△ACE是等边三角形，∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，∴ ∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，∴∠AFE=60°，∴∠CFD=60°，∴∠EFC=120°，又∵FH=FC，∴△FHC是等边三角形，∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，∴∠ACH=∠ECF，∴△ACH≌△ECF（SAS），∴AH=EF，∴EF+CF=FH+AH=AF，∴BF+EF=AF．27.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．【答案】解：（1）四边形是平行四边形，，当从运动到时，，解得当秒时，四边形是平行四边形；（2）若点、分别沿、运动时，，即，解得（秒若点返回时，，则解得（秒．故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；（3）当时作于，则，，秒；当时，，，解得（秒，综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．