中考数学典例精做题集专题06 探索规律（2） 中考数学典例精做题集（教师版）

五、等比数列型

1．如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到________条折痕．

【答案】(22018－1)

2．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.

【答案】 

【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.

根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.

点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.

3．在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形．

请你利用这个几何图形求的值．

【答案】

4．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：

         ……

（1）填写下表:

（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式表示)；

（3）若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1，求fn+1-fn

【答案】（1）40；（2）fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n

（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；

（3）∵fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1，

fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1

∴fn+1−fn=3n．

点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

六、正整数平方型

1．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1  ， 第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an， 计算a1+a2， a2+a3， a3+a4，…由此推算a2015+a2016=________ ．

【答案】20162

2．观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数 为（     ）

A． 1016个     B． 11025个     C． 11236个     D． 22249个

【答案】C

【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解．

解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，

第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，

第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，

…，

第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．

当n=105时，（105+1）2=11236，

故选：C．

七、正整数求和型

1．观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（　　）

A． 171              B． 190            C． 210              D． 380

【答案】B

2．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；

（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；

（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？

请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.

【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．

（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，

以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，

以点D为左端点的线段有线段DB，

∴共有3+2+1=6条线段；

（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，

则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，

∴x=m（m﹣1）；

（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，

直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，

因此一共要进行×45×（45﹣1）=990次握手．

3．细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.

12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;….

(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;

(2)推算出OA10的长;

(3)求出+…+的长.

【答案】（1）O=n;Sn=.（2）OA10=.（3）

4．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an.

(1)请写出29后面的第一个数；

(2)通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3，…由此推算a100－a99的值；

(3)根据你发现的规律求a100的值．

【答案】(1) 37；(2) a100－a99＝100；(3)5 051.

八、平面直角坐标系

1．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为　　

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】

从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．

解：

在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，

并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，

所以奇数列的坐标为；

偶数列的坐标为，

由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．

代入上式得，即．

故选D．

2．如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是　　

A．     B．     C．     D．

【答案】C

3．如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（    ）

A． （0，9）    B． （9，0）    C． （0，8）    D． （8，0）

【答案】C

∵当n=8时，n2+n=82+8=72，

∴当质点运动到第72秒时到达（8，8），

∴质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，

∴此时质点的横坐标为8-8=0，

∴此时质点的坐标为（0，8），

∴第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），

故选C.

4．如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_____．

【答案】（21010﹣2，21009）

由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…

观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，

下标为偶数的点在直线y=x+1上，

∵点O2018的纵坐标为21009，

∴21009=x+1，

∴x=21010﹣2，

∴点O2018的坐标为（21010﹣2，21009），

故答案为：（21010﹣2，21009）．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，，这样依次得到l上的点，，，，，记点的横坐标为，若，则______；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是______．

【答案】0、-1

即当时，，，，，

，，，，，

，

；

点不能在y轴上此时找不到，即，

点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，

解得：；

综上可得不可取0、．

故答案为：；0、．

九、其它型

1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子……，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是________________________（用含n的代数式表示）．

【答案】n（n+2）

2．观察下列方程的特征及其解的特点．

①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；

②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；

③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4.

解答下列问题：

(1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；

(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；

(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．

【答案】  x＋＝－9  x1＝－4，x2＝－5  x＋＝－(2n＋1)  x1＝－n，x2＝－n－1

【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解

（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；

（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可.

3．对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：

两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数、、，有，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数， ， ， ．把这个表一直写下去，可以找到和更多的中间分数．

（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：

①上表中括号内应填的数为              ；

②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的和的中间分数是          ；

（2）写出分数和（a、b、c、d均为正整数， ， ）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；

（3）若与（m、n、s、 t均为正整数）都是和的中间分数，则的最小值为            ．

【答案】（1）①；②（2）证明见解析（3）1504

（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：

结论： ．

∵a、b、c、d均为正整数， ， ，

∴，

．

∴．

（3）根据排列可知和的中间分数有， ， ， 等，由此可得mn的最小值为1504，

故答案为：1504.