中考数学典例精做题集专题03 定义新运算 中考数学典例精做题集(教师版)
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这是一份中考数学典例精做题集专题03 定义新运算 中考数学典例精做题集(教师版),共11页。试卷主要包含了14]=3,[﹣7等内容,欢迎下载使用。
※知识精要1.定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,是可以深刻理解数学本源的题型,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、△、⊙,等。2. 熟练掌握有理数的运算,整式的化简和分式的化简,方程、不等式的解法。※要点突破解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算、方程、不等式等,再进行运算. ※典例精讲例1.对于有理数 a、b定义一种运算: ,计算(-2)*3+1.【答案】-6【解析】∵a*b=2a-b,∴(-2)*3+1=2×(-2)-3+1=-4-3+1=-6.例2.对于任意有理数a、b、c、d,我们规定符号(a,b)⊗(c,d)=ad﹣bc,例如:(1,3)⊗(2,4)=1×4﹣2×3=﹣2.(1)求(﹣2,3)⊗(4,5)的值为_____;(2)求(3a+1,a﹣2)⊗(a+2,a﹣3)的值,其中a2﹣4a+1=0.【答案】﹣22式的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.※课堂精练一、单选题1.我们定义一种新运算,例如,则式子的值为 A. B. C. D. 【答案】B 2.设a,b,c,d代表四个有理数,规定=ad-bc,则计算的正确结果是( )A. -25 B. -10 C. 10 D. 26【答案】B【解析】 根据规定=ad-bc,可得,然后根据有理数的乘法和加法,减法法则计算即可. 【详解】因为规定=ad-bc,所以,故选B.3.对,定义一种新运算“※”,规定:(其中,均为非零常数),若,.则的值是( ).A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据新定义的运算律可得,解方程即可得到m、n的值,再带入到.中,求解即可.根据题意可得方程组解得,则=5×2+(-1)×1=9,故选:C4. 对于任意非零实数a,b,定义运算“※”如下:“a※b”=,则1※2+2※3+3※4+…+2017※2018的值为( )A. B. C. D. -【答案】D二、填空题5.小亮在电脑上设计了一个有理数运算的程序:输入a,※键,再输入b,得到运算a※b=a2-ab,则(-2)※3=____.【答案】10【解析】(-2)※3=(-2)2-(-2)×3 =4+6=10.6.现定义两种运算“⊕”与“”,对于任意两个整数a,b,a⊕b=a+b-1,ab=ab-1,则68+(-3)⊕(-5)=______【答案】38 ;【解析】∵a⊕b=a+b-1,ab=ab-1,∴68=6×8-1=47,(-3)⊕(-5)=-3-5-1=-9,∴68+(-3)⊕(-5)=47-9=38,故答案为:38.7.如果表示运算x+y+z,表示运算a-b+c-d,那么的结果是 。【答案】12【解析】由题意,此图表示的算式是[(-1)+(-2)+(-3)]×(2 010-2 011+2 012-2 013)=(-6)×(-2)=12.8.对于三个5.对于有理数x、y定义新运算x☆y=ax+by-1,其中a、b是常数,已知1☆2=8,(-3)☆3=-1,则4☆(-5)=___________。【答案】-4 9.a是不为1的有理数,我们把称为的差倒数。如:2的差倒数是, -1的差倒数是.已知, 是的差倒数, 是的差倒数, 是的差倒数,…,依此类推,则___________.【答案】【解析】a1=-,a2==,a3==4,a4 ==-,a5=,····,三个一循环. 2018÷3=672……2,所以a2018=a2=。10.对于数x,符号[x]表示不大于x的最大整数,例如[3.14]=3,[﹣7.59]=﹣8,则关于x的方程[]=2的整数解为_____.【答案】6,7,8三、解答题11.用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数a和b,规定a ☆. 如:1☆.(1)求(﹣2)☆5的值;(2)若☆3=8,求a的值;【答案】(1)-32(2)3【解析】(1)求(﹣2)☆5=-252-2-2=-32.(2)由题意得,,解得a=3.点睛: 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,是可以深刻理解数学本源的题型,它使用的是一些特殊的运算符号,如:*、△、⊙,等,解答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算程序,将数值代入,转化为常规的四则运算算式进行计算. 12.对于有理数a,b,定义运算:a⊕b=ab-2a-2b+1.(1)计算5⊕4的值;(2)计算[(-2)⊕6]⊕3的值;(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立?请写出你的探究过程.【答案】(1)3;(2)-24;(3)成立. 13.对任意4个有理数a、b、c、d,定义新运算.(1)求= .(2)若,求x的值.(3)若,求x的值.【答案】(1)-7;(2)x=7;(3)x=5【解析】解:(1)原式=1×5-3×4=5-12=-7;(2)根据题意化简得:3x+2x=35,合并得:5x=35,解得:x=7;(3)根据题意化简得:2(x+1)﹣3(x﹣1)=2x﹣10,去括号得:2x+2﹣3x+3=2x﹣10,移项合并得:3x=15,解得:x=5.14.对于任意实数a,b,定义关于@的一种运算如下:a@b=2a﹣b,例如:5@3=10﹣3=7,(﹣3)@5=﹣6﹣5=﹣11.(1)若x@3<5,求x的取值范围;(2)已知关于x的方程2(2x﹣1)=x+1的解满足x@a<5,求a的取值范围.【答案】(1)x<4;(2)a>﹣3. 15.对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我们规定:(a,b)★(c,d)=bc-ad.例如:(1,2)★(3,4)=2×3-1×4=2.根据上述规定解决下列问题:(1)有理数对(2,-3)★(3,-2)=_______;(2)若有理数对(-3,2x-1)★(1,x+1)=7,则x=_______;(3)当满足等式(-3,2x-1)★(k,x+k)=5+2k的x是整数时,求整数k的值.【答案】(1)-5;(2)1;(3)k=1,﹣1,﹣2,﹣4.【解析】解:(1)﹣5……………………..(2)1 ……………………..4分(3)∵等式(-3,2x-1)★(k,x+k)=5+2k的x是整数,∴(2x﹣1)k﹣(﹣3)(x﹢k)=5﹢2k,∴(2k﹢3)x=5,∴,∵k是整数,∴2k+3=±1或±5,∴k=1,﹣1,﹣2,﹣4..16.我们称使得成立的一对数为“相伴数对”,记为.(1)若是“相伴数对”,求的值.(2)若是“相伴数对”,用的式子表示.(3)若是“相伴数对”,求代数式的值.【答案】(1) ;(2) ;(3)2 17.我们已经学习了“乘方”运算,下面介绍一种新运算,即“对数”运算.定义:如果(a>0,a≠1,N>0),那么b叫做以a为底N的对数,记作.例如:因为,所以;因为,所以.根据“对数”运算的定义,回答下列问题:(1)填空: , .(2)如果,求m的值.(3)对于“对数”运算,小明同学认为有“(a>0,a≠1,M>0,N>0)”,他的说法正确吗?如果正确,请给出证明过程;如果不正确,请说明理由,并加以改正.【答案】(1)1,4;(2)m=10 ;(3)不正确,改正见解析.18.观察下列两个等式: , ,给出定义如下:我们称使等式成立的一对有理数, 为“共生有理数对”,记为(, ),如:数对(, ),(, ),都是“共生有理数对”.(1)判断数对(, ),(, )是不是“共生有理数对”,写出过程;(2)若(, )是“共生有理数对”,求的值;(3)若(, )是“共生有理数对”,则(, ) “共生有理数对”(填“是”或“不是”);说明理由;(4)请再写出一对符合条件的 “共生有理数对”为 (注意:不能与题目中已有的“共生有理数对”重复)【答案】(1)(, );(2)(3)是(4)(, )或(, )【解析】(1)-2-1=-3,(-2) ×1+1=-1,-3≠-1,故(, )不是共生有理数对;
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