中考数学典例精做题集专题06 探索规律（1） 中考数学典例精做题集（教师版）

※知识精要

探索规律是根据已知的几个数据或几个图形中发现数据的变化规律，用代数式表示出来，它是数学中常见的类型之一，．探索规律体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．

探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．

※要点突破

1、探索规律的一般方法是：

(1)观察：从具体问题出发，观察各个数量的特点及变化规律；

(2)猜想：由此及彼，合理猜想；

(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；

(4)验证：总结规律，得出结论，并取特殊值验证结论的正确性．

2、需要掌握几种常见的规律题的解题方法和技巧：（1）等差 规律（2）循环规律（3）平方规律（4）等比规律等。

※典例精讲

例．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案．可以看作是第1个图案经过平移而得，那么(1)第4个图案中柯白色六边形地面砖____块，第n个图案中有白色地面砖____块

【答案】  18  4n+2

故答案为：18，4n+2．

※课堂精练

一、数与式型

1．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是(　　)

A． 100，011    B． 011，100    C． 011，101    D． 101，110

【答案】B

2．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（      ）

A． 38            B． 52            C． 66             D． 74

【答案】D

【解析】根据前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，据此解答.

观察每个正方形里的数字，发现前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，所以第四个正方形中左下角是8，右上角是10，则m为74.

故选D．

3．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（　　）

A． an    B． ﹣an    C． （﹣1）n+1an    D． （﹣1）nan

【答案】C

【解析】观察字母a的系数、次数的规律即可写出第n个单项式．

解：观察可知次数序号是一样的，奇数位置时系数为1，偶数位置时系数为-1，则有

a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，（﹣1）n+1•an．

故选C．

4．观察下列算式: ,  ,  ,  ,

,  , ,  …,

则…的未位数字是(    )

A． 8    B． 6    C． 4    D． 0

【答案】B

5．计算下列各式：

（x﹣1）（x+1）=　   　；

（x﹣1）（x2+x+1）=　   　；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　   　；

…

（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=　   　；

（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）=　   　（其中n为正整数）；

（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．

【答案】x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（1）x7﹣1；（2）xn﹣1；（3）236﹣1．

【解析】

（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，

（1）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；

（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）=xn﹣1；

（3）1+2+22+23+24+…+235

=（2﹣1）（235+234+233+…+2+1）

=236﹣1．

6．已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=_____.

【答案】109

7．阅读下列材料，并解答问题：

①；

②；

③；

④；……

(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；

(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；

(3)利用你探索的规律，求＋＋＋…＋的值．

【答案】（1）；（2）=；（3）.

【解析】（1）根据前4个式子的规律即可写第⑤个等式；

（2）观察可知第n个等式左边是，右边是，据此即可得；

（3）根据上面的规律进行计算即可得.

解：（1）观察前4个等式，可知第⑤个等式是，

故答案为：；

（2）观察可知等式左边是，右边是，

所以用含n的等式表示为： =；

（3）＋＋＋…＋

=+++…+

=

=.

二、循环型

1．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（　　）

A． A处    B． B处    C． C处    D． D处

【答案】A

2.若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是 ，-1的差倒数为 = ，现已知x1= ， x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2018=          ．

【答案】=

3. 如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份(每一份称为一段弧长)，把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5．若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．

如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．

（1）若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为        的点？

（2）2018次“移位”后，他到达编号为        的点？

【答案】

（1）若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为3号的的点。

（2）2018次“移位”后，他到达编号为1号的点。

4．已知，，，，，，…（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，），按此规律，__________.

【答案】

【解析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此题得解．

解：S1=，S2=-S1-1=--1=-，S3=，S4=-S3-1=-1=-，S5=，S6=-S5-1=（a+1）-1=a，S7=，…，

∴Sn的值每6个一循环．

∵2018=336×6+2，

∴S2018=S2=-．

故答案为：-．

三、数阵型

1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（　　）

A． 2    B．     C． 5    D．

【答案】B

2．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．

【答案】2018

【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；

解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，

∴第45行第一个数是2025，

∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，

故答案为2018．

3．下图是我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”

这个三角形给出了  的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含有项的系数是__________．

【答案】

4．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.杨辉法则：如图，两侧的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数.

（1）根据上面的规律，写出的展开式；

（2）利用上面的规律计算：.

【答案】（1）；（2）-32

【解析】（1）根据规律可知原式的系数为第六行的六个数：1、5、10、10、5、1， a和b的指数和相加为5，观察即可写出展开式;

（2）将原式化成(a+b)5的形式，即可求解.

解：（1）

（2）

.

点睛：本题考查的是探究规律，考查的是同学们的观察和归纳的能力，根据已知我们就不难发现塔形杨辉三角的特点：

①每行数字左右对称，且从左到右由1开始逐渐变大，然后变小，再回到1；

②第n行的数字个数为n个；③每个数字等于上一行的左右两个数字之和；

本题即是根据以上规律得到(a+b)5展开式中各项系数分别为1、5、10、10、5、1，从而使问题迎刃而解.

四、等差数列型

3、如图，搭一个梯形，需要5根火柴棒，若按图11所示方式，搭n个梯形需要(     )根火柴棒.

A.3n+1     B.4n+1    C.3n+4      D.4n+4

【答案】B

3、用完全一样的火柴棍按如图所示的方法拼成“金鱼”形状的图形，则按照这样的方法拼成第4个图形需要火柴棍__________根，拼成第n个图形（n为正整数）需要火柴棍__________根（用含n的代数式表示）．

【答案】30 

【解析】第一个图用9根火柴棒，每增加一图增加7根火柴棒。

      所以第n个图用［9+7（n-1）］根。

或第一个金鱼去掉两根尾巴，每个金鱼用7根火柴棒。

所以第n个图用（7n+2）根火柴棒。

第四个图即：当n=4时7×4+2=30根。

故答案为30    7n+2