2022年中考数学二轮热点题型演练专题06 几何的证明与计算

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专题06 几何的证明与计算目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29376" 一、考点归纳  HYPERLINK \l "_Toc17993" 【考点01】 三角形全等的判定与性质  HYPERLINK \l "_Toc26924" 【考点02】 三角形相似的判定与性质  HYPERLINK \l "_Toc17993" 【考点03】 圆的证明与计算  HYPERLINK \l "_Toc21895" 二、最新模考题组练 2【考点01】 三角形全等的判定与性质【典例分析】（2019·江苏苏州·中考真题）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.【提分秘籍】在苏州中考数学解答题中对几何的证明与计算的考查，主要表现在三角形全等与相似的判定与性质的运用。三角形全等的判定方法（1）边边边：三边分别相等的两个三角形全等。（2）边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（3）角边角：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（4）角角边：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。【变式演练】1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．（1）求证：；（2）若，，当四边形是菱形时，求的长．2.（2021·江苏苏州·二模）已知，如图，在四边形中，，对角线交于点O，过点C作交的延长线于点E，联结．（1）求证：；（2）如果平分，求证，四边形是菱形．3.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．（1）求证：．（2）若，求的度数．【考点02】 三角形相似的判定与性质【典例分析】（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．（1）求证：；（2）若，，求的长．【提分秘籍】1.相似三角形的判定定理判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似。2.相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。(2)相似三角形对应线段的比等于相似比。(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。【变式演练】1.（2021·江苏江苏·二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC；（2）若，且S△DBE＝2，求△ABC的面积．2.（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）如图，在四边形中，，，，，是边上一动点（点不与、重合），，交于点．（1）求证：；（2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．3.（2021·江苏苏州·一模）如图，在中，E是的延长线上一点，与交于点F，．（1）求证：；（2）若的面积为2，求四边形的面积．【考点03】 圆的证明与计算【典例分析】（2021·江苏苏州·中考真题）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．（1）求证：；（2）若，，，求的值．【提分秘籍】中考中一般会有一道有关圆的性质的解答题，难度中等。1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。同样还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3.推论：同弧或等弧所对圆周角相等：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。②在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。5.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。【变式演练】1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，中，，是的外接圆，的延长交边于点D．（1）求证：；（2）若，的半径为2，求劣弧的长．2.（2021·江苏·苏州高新区第二中学一模）如图，是半圆O的直径，D为的中点，延长交弧于点E，点F为的延长线上一点且满足．（1）求证：为的切线；（2）若．①求的半径；②求的值．（3）若四边形是平行四边形，求的值．3.（2021·江苏苏州·二模）如图，以线段为直径的交边于点D，连接，作平分线交于点F，交于点E，连接，作于点G，连接，．（1）求证：为切线；（2）求证：；（3）若，的面积为S，求的面积（用S的代数式表示）．【训练题组1】1．（2021·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．2．（2021·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、．求证：．3．（2021·江苏·苏州市振华中学校一模）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．4．（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校一模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．5．（2021·江苏·苏州市相城区春申中学一模）如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长．6．（2021·江苏苏州·二模）如图，在中，于点为上的点，．（1）求证：（2）若求的长．【训练题组2】1．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．（1）求证：；（2）若，，求的长．2．（2021·江苏苏州·九年级）已知如图，AD是ABC的中线，且，E为AD上一点，．（1）求证：；（2）若，，试求线段AD的长．3．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，为等腰直角三角形，点为直角顶点，四边形是正方形，与交于点．（1）求证：；（2）若于点，且，求的长．4．（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证△ADF∽△DEC；（2）若BE＝2，AD＝6，且DF=DE，求DF的长度．6．（2020·江苏·泰兴市西城初级中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．【训练题组3】1．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA＝，∠D＝30°．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，AC＝3，求BD的长．3．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，在中，以为直径的交边于点D，交边于点E．过点D作的切线，交于点F，交的延长线于点G，且，连接．（1）求证：是等腰三角形；（2）求证：；（3）若，，求的半径．4．（2021·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）若AB＝4，AC＝3，求d，h的值．5．（2021·江苏苏州·九年级开学考试）如图，中，，且，以为直径作，点D为上一点，且．连接并延长交的延长线于点E．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求的面积．6．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．（1）求证：；（2）若，求的值．专题06 几何的证明与计算目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29376" 一、考点归纳  HYPERLINK \l "_Toc17993" 【考点01】 三角形全等的判定与性质  HYPERLINK \l "_Toc26924" 【考点02】 三角形相似的判定与性质  HYPERLINK \l "_Toc17993" 【考点03】 圆的证明与计算  HYPERLINK \l "_Toc21895" 二、最新模考题组练 2【考点01】 三角形全等的判定与性质【典例分析】（2019·江苏苏州·中考真题）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）78°【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC【解析】解：（1）证明：，，，，；（2），，，，，．【提分秘籍】在苏州中考数学解答题中对几何的证明与计算的考查，主要表现在三角形全等与相似的判定与性质的运用。三角形全等的判定方法（1）边边边：三边分别相等的两个三角形全等。（2）边角边：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（3）角边角：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（4）角角边：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。（5）斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。【变式演练】1.（2021·江苏·苏州吴中区木渎实验中学一模）如图，已知中，，把绕点沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点．（1）求证：；（2）若，，当四边形是菱形时，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由旋转的性质得到AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，最后可根据“SAS”证得结论；（2）过点B作BM⊥EC于点M，然后证明∠MBC=45°，∠BFC=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【解析】解：（1）由旋转的性质得AE=AC，AD=AB，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，又∵AB=AC∴AE=AD=AB=AC∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）过点B作BM⊥EC于点M∵∠BAC=30°AB=AC∴∠ABC=∠ACB=75°∵当四边形ADFC是菱形时，AC∥DF∴∠FBA=∠BAC=30°，AC=CF=AB=2∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD=30°∴∠ACE=∠ADB=30°∴∠FCB=45°.∵BM⊥EC∴∠MBC=45°∴BM=MC ∵∠ABC＝75°，∠ABD＝30°，∠FCB=45°∴∠BFC＝180°-75°-45°-30°=30°∴BF=2BM设BM=CM=x，则BF=2x，FM=2-x∵∴解得（舍去负值）∴2.（2021·江苏苏州·二模）已知，如图，在四边形中，，对角线交于点O，过点C作交的延长线于点E，联结．（1）求证：；（2）如果平分，求证，四边形是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）如图，过点作于，由已知条件可得为的中点及，进而证明是的中位线，从而证明；（2）根据（1）的结论，证明，可知，则四边形是平行四边形，根据平分即平行关系，可得，进而可知，从而证明四边形是菱形．【解析】（1）如图，过点作于，，，，，，，是的中位线，，．（2），，在和中，，（ASA），，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形．3.（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且．（1）求证：．（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行得出，再根据ASA证明即可（2）根据全等得出，再计算∠DBC的度数，计算即可【解析】（1）∵，∴．∵，．∴．（2）∵，∴，．∵，∴，∴，∴．【考点02】 三角形相似的判定与性质【典例分析】（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.【解析】证明：（1）∵四边形是矩形，∴，．∴，∵，∴．∴，∴．解：（2）∵，∴．∵，是的中点，∴．∴在中，．又∵，∴，∴．【提分秘籍】1.相似三角形的判定定理判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定定理2：三边成比例的两个三角形相似。判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似。2.相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。(2)相似三角形对应线段的比等于相似比。(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。【变式演练】1.（2021·江苏江苏·二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC；（2）若，且S△DBE＝2，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）S△ABC＝18．【分析】（1）先说明∠BED＝∠C和∠B＝∠CEF，即可完成证明；（2）先说明四边形ADEF为平行四边形得到AF＝DE，再根据得到，再证△BDE∽△BAC，最后根据相似三角形的性质解答即可．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C，∵EF∥AB，∴∠B＝∠CEF，∴△BDE∽△EFC；（2）解：∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF＝DE，∵，∴，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝9S△BDE＝9×2＝18．2.（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学一模）如图，在四边形中，，，，，是边上一动点（点不与、重合），，交于点．（1）求证：；（2）请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）能；AP＝1或4【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABP＝∠EPD，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理、结合一元二次方程计算即可．【解析】解：（1）证明：∵∠A＝90°，∴∠ABP＋∠APB＝90°，∵PE⊥BP，∴∠EPD＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠EPD，∵AB∥CD，∠A＝90°，∴∠D＝90°，∴△ABP∽△DPE；（2）设，∵△ABP∽△DPE，∴，即，则，0＜x＜5；当四边形ABED为矩形时，DE＝AB＝2，即y＝2，则，解得，x1＝1，x2＝4，∴当AP＝1或4时，四边形ABED能构成矩形．3.（2021·江苏苏州·一模）如图，在中，E是的延长线上一点，与交于点F，．（1）求证：；（2）若的面积为2，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）16【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可．（2）首先证明，再证明，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即可求出的面积，由此即可解决问题．【解析】解：（1）四边形是平行四边形，（2）解：四边形是平行四边形，，平行且等于，，，，，，，．【考点03】 圆的证明与计算【典例分析】（2021·江苏苏州·中考真题）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．（1）求证：；（2）若，，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出．（2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果．【解析】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．（2）解：如图，过点作，垂足为．∵，，∴．由（1）知．∴．∴．∵，，∴．∴．∴．【提分秘籍】中考中一般会有一道有关圆的性质的解答题，难度中等。1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。同样还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3.推论：同弧或等弧所对圆周角相等：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。②在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。4.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。5.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。【变式演练】1.（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，中，，是的外接圆，的延长交边于点D．（1）求证：；（2）若，的半径为2，求劣弧的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接，等边对等角可得，O为的外心，可得进而可得，即可得（2）设，则，分别求得，根据求得，进而求得，根据圆周角定理求得，根据弧长公式即可求的劣弧的长．【解析】（1）连接，∵∴又∵O为的外心∴垂直平分又∵∴∴（2）连接，设，则∴∵∴∴∵∴在中，∴∴∴∴劣弧的长为．2.（2021·江苏·苏州高新区第二中学一模）如图，是半圆O的直径，D为的中点，延长交弧于点E，点F为的延长线上一点且满足．（1）求证：为的切线；（2）若．①求的半径；②求的值．（3）若四边形是平行四边形，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①2；②；（3）【分析】（1）欲证明为的切线， 只要证明即即可；（2）①设的半径为． 由且，可得，又，且，列出方程即可解决问题；②作于，求出、即可解决问题；（3） 设的半径为． 想办法用表示、即可解决问题．【解析】解：（1）连接．为的中点，且，，，，又，，，．．即，为的切线．（2）①设的半径为．且，，又，且，，解得：，②作于，在中，，．，，在中，，由勾股定理：．．（3） 设的半径为．、分别为、中点，，又四边形是平行四边形，，，，，，，解得：，在中，，，，在中，，由勾股定理：，．3.（2021·江苏苏州·二模）如图，以线段为直径的交边于点D，连接，作平分线交于点F，交于点E，连接，作于点G，连接，．（1）求证：为切线；（2）求证：；（3）若，的面积为S，求的面积（用S的代数式表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）18S．【分析】（1）根据根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠B，再根据直径所对的圆周角的直角、利用等角的余角相等推出∠CAB=90°，即可得到结论（2）连接OD，根据角平分线的性质，利用等角对等边得GD=GA，结合全等得到∠AOG=∠DOG，推出OG是∠AOD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到结论；（3）由题意根据相等的角的正切值相等推出边之间的关系，不妨设AD=2a，由直角三角形中的勾股定理推出线段OG=a，DE=，再根据圆周角定理和角之间的互余关系得到△FGO∽△ADE，最后根据相似三角形的性质求解即可．【解析】（1）证明：由题意可知在⊙O中，∠E=∠B，∵∠CAD=∠E，∴∠CAD=∠B，∵∠B+∠DAB=90°，∴∠CAD+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴CA⊥AB，∴AC为⊙O切线．（2）如图，连接OD，∵∠ADB=90°，DE平分∠ADB，∴∠ADF=∠BDF=45°，又∵AG⊥DE，∴△AGD是等腰直角三角形，在△OGA和△OGD中，，∴△OGA∽△OGD（SSS），∴∠AOG=∠DOG，∴OG是∠AOD的平分线，∴OG⊥AD．（3）如图，连接OD，由（2）可知OG⊥AD，令其垂足为M，∵∠BAD=∠C，∴tanC=tan∠BAD=2，不妨设AD=2a，则BD=4a，AB=，∴OA=OB=OD=，∵△AGD是等腰直角三角形，且OM⊥AD，∴AM=DM=MG=AD=a，∴AG=DG=AD=，∴MO=，∴OG=MOMG=a，由（1）可知在Rt△AGE和Rt△CAD中，∠E=∠CAD，∴∠GAE=∠C，∴tan∠GAE=tanC=2，∴EG=2AG=，∴DE=DG+EG=，由（2）可知OM⊥AD，BD⊥AD，∴OM∥BD，∴∠FOG=∠B，∠OGF=∠BDF又由（1）可知∠E=∠B，∠ADF=∠BDF=45°∴∠FOG=∠E，∠OGF=∠EAD，∴△FGO∽△ADE，∵，∴，∵S△OFG=S，∴S△DAE=18S．【训练题组1】1．（2021·江苏苏州·一模）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．【分析】（1）由条件可利用SAS证得结论；（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质可求得∠BDC．【解析】解：（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠DBC=90°，在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BCA=45°，∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC=∠AEB=75°．2．（2021·江苏苏州·一模）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、．求证：．【答案】见解析【分析】根据垂直平分线的性质得到EF⊥AC，AO=CO，结合矩形的性质，利用由AAS可证△AOE≌△COF，即可得AE=CF，从而可得BF=DE．【解析】解：证明：∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，AO=CO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE=CF，∴BF=DE．3．（2021·江苏·苏州市振华中学校一模）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．【答案】见解析【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．【解析】解：连接AC，∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．4．（2021·江苏·苏州市吴江区存志外国语学校一模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：CG＝FG．【答案】见解析【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．【解析】证明：∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，∴BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠DFE，∴CG＝FG.5．（2021·江苏·苏州市相城区春申中学一模）如图，已知Rt△ABD中，∠A＝90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠ABD＝30°，BE=3，求弧CD的长．【答案】（1）证明见解析；(2) 【分析】（1）由题意得两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出BC=BD，由AD∥BC推出∠ADB=∠EBC，即可证明△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性质得出AD=BE=3．根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD=6，根据平行线的性质求出∠DBC=60°，再代入弧长计算公式求解即可．【解析】（1）证明：∵∠A=90°,CE⊥BD   ∴∠A=∠BEC=90°∵BC∥AD ∴∠ADB=∠EBC∵旋转，∴BD=BC’∴ △ABD≌△ECB (2) ∵ △ABD≌△ECB∴AD=BE=3 ∵∠A=90°，∠ABD=30°∴BD=2AD=6 ∵BC ∥ AD ∴∠A+∠ABC=180°∴∠ABC=90, ∠DBC=60°.故答案为（1）证明见解析；(2) .6．（2021·江苏苏州·二模）如图，在中，于点为上的点，．（1）求证：（2）若求的长．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）由题意可得AD=DP，由“HL”可证Rt△ADB≌Rt△PDC，可得结论；（2）可求∠CPD=60°，∠PCD=30°，由直角三角形的性质可求PB的长．【解析】解：（1）∵BD⊥AC，∠PAC=45°，∴∠DPA=∠PAC =45°，∴AD=DP，且AB=CP，∴Rt△ADB≌Rt△PDC（HL），∴CD=BD；（2）∵，∠DPA=45°，∴∠CPD=60°，又∵BD⊥AC，∴∠PCD=30°，∵AB=CP，∴CP=2，∴PD=1，∴CD= ．∴BD=，∴PB=.【训练题组2】1．（2021·江苏·常熟市第一中学九年级开学考试）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；（2）根据中点的定义可求出，然后根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求得，进而求得．【解析】证明：（1）∵四边形是矩形，∴，．∴，∵，∴．∴，∴．解：（2）∵，∴．∵，是的中点，∴．∴在中，．又∵，∴，∴，．2．（2021·江苏苏州·九年级）已知如图，AD是ABC的中线，且，E为AD上一点，．（1）求证：；（2）若，，试求线段AD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CD=CE得到∠CED=∠EDC，则可根据等角的补角相等得到∠AEC=∠ADB，加上∠DAC=∠B，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ACE∽△BAD．（2）由∠DAC=∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比求AC，再由（1）的结论△ACE∽△BAD，利用相似比求AD．【解析】（1）证明：∵CD=CE，∴∠CED=∠EDC，∵∠AEC+∠CED=180°，∠ADB+∠EDC=180°，∴∠CEA=∠ADB，∵∠DAC=∠B∴△ACE∽△BAD．（2）∵AD是三角形ABC的中线，∴∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，，即∵△ACE∽△BAD，，即3．（2021·江苏·苏州市金阊实验中学校一模）如图，为等腰直角三角形，点为直角顶点，四边形是正方形，与交于点．（1）求证：；（2）若于点，且，求的长．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据“SAS”即可证明；（2）由△ABE≌△CBF，可得AE=4，AB=5，再证明，进而即可求解．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）解：∵，∴∠BFC=90°，∵，∴，∵△ABE≌△CBF，∴∠BEA=∠BFC=90°，AE=CF=4，AB=BC=5，又∵∠EBF＝90°，∴AE∥EF，∴，∴，即：，∴AG=．4．（2021·江苏·苏州湾实验初级中学一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上．（1）求证：△AED∽△DCG；（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2） .【分析】（1）利用等腰三角形的性质及正方形的性质可求得∠A=∠CDG，∠DEA=∠C，则可证得△AED∽△DCG；（2）设AE=x，利用矩形的性质及等腰三角形的性质可求得BF=FG=DE=AE=x，从而可表示出EF，结合矩形的面积可得到关于x的方程，则可求得x的值，即可求得AE的长．【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠B=∠A=45°，∵四边形DEFG是矩形，∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB，∴∠CDG=∠A，∵∠C=90°，∴∠AED=∠C，∴△AED∽△DCG；（2）设AE的长为x，∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴∠A=∠B=45°，AB=4，∵矩形DEFG的面积为4，∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°，∴BF=FG=DE=AE=x，∴EF=4-2x，即x（4-2x）=4，解得x1=x2=．∴AE的长为．5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证△ADF∽△DEC；（2）若BE＝2，AD＝6，且DF=DE，求DF的长度．【答案】（1）见解析；（2）DF=4【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠ADF＝∠DEC，∠C+∠B=180°，根据∠AFE＝∠B得到∠AFD=∠C，根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC∴∵四边形ABCD是平行四边形，AD=6，BE=2∴EC=BC-BE=AD-BE=4，又∵DF=DE∴DE=DF∴解得DF=4.6．（2020·江苏·泰兴市西城初级中学九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】试题分析：（1）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠2=∠3得到：BC=BE；（2）通过相似三角形△COD∽△EOB的对应边成比例得到，然后利用分式的性质可以求得.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠1=∠2．∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BC=BE，∴△EBC是等腰三角形；（2）∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴△COD∽△EOB，∴=．∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=7．∵BE=BC=5，∴==，∴=．【训练题组3】1．（2021·江苏·苏州市第十六中学九年级期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC．(1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据垂直平分线的性质证明AC＝AD＝CD即可（2）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可；（3）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．【解析】(1)证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，(2)△ACD是等边三角形，CF是AD的中垂线，＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；(3)解：在Rt△OCE中，AB=8 ∴OC＝AB＝4，又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝，∴CD＝2CE＝．2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA＝，∠D＝30°．（1）证明：BD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，AC＝3，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）连接OB，由cosA＝得∠A＝30°，则∠BOD＝2∠A＝60°，而∠D＝30°，可求得∠OBD＝90°，根据切线的判定定理即可证明；（2）由OD⊥AB，根据垂径定理得BE＝AE，则BC＝AC＝3，再证明△BOC是等边三角形，则OB＝BC＝3，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得OD＝2OB＝6，根据勾股定理即可求出BD的长．【解析】（1）证明：如图，连接OB，∵cosA＝，且cos30°＝，∴∠A＝30°，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠BOD＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线．（2）解：如图，∵OD⊥AB，∴EB＝AE，∴BC＝AC＝3，∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝3，∵∠OBD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2OB＝6，∴BD＝＝＝3，∴BD的长为3．3．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，在中，以为直径的交边于点D，交边于点E．过点D作的切线，交于点F，交的延长线于点G，且，连接．（1）求证：是等腰三角形；（2）求证：；（3）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【分析】（1）DF是⊙O的切线，得到∠ODF=90°，再求出∠C+∠FDC=90° ，∠C=∠BDO，由OB=OD，得∠BDO=∠ABC．∠C=∠ABC，即可求解．（2）因为AB是直径，得到,知道,,,推出，，得到即可求解；（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．【解析】（1）证明： ∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF．∴∠ODF=90°．又∵∠BDO+∠ODF+∠FDC=180°，∴∠BDO+∠FDC=90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠C+∠FDC=90°．∴∠C=∠BDO．∵OB=OD，∴∠BDO=∠ABC．∴∠C=∠ABC．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形；（2）连接AD，∵AB是直径,,,,在和中,（3）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r，∴AF=2r-2，∴r=3，经检验：是原方程的根，且符合题意，即⊙O的半径是3．4．（2021·江苏苏州·一模）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）若AB＝4，AC＝3，求d，h的值．【答案】（1）见详解；（2）12【分析】（1）连接OD，OB，OC，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得，由等腰三角形的性质可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论．【解析】解：（1）证明：如图1，连接OD，OB，OC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴∠BOD＝∠COD，又∵OB＝OC，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AH•AF＝d•h，∵AB＝4，AC＝3，∴dh＝12．5．（2021·江苏苏州·九年级开学考试）如图，中，，且，以为直径作，点D为上一点，且．连接并延长交的延长线于点E．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）24【分析】（1）连接OC，证明△COD≌△COB得到∠CDO=∠CBO=90°，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；（2）证明△OEB∽△CED，得到，设OE=x，根据DE的长得到关于x的方程，求出x值即OE，从而得到DE，根据三角形面积公式即可求出结果．【解析】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SSS），∴∠CDO=∠CBO=90°，∴OD⊥CD，∴CD为⊙O的切线；（2）∵∠OEB=∠CED，∠EBO=∠EDC，∴△OEB∽△CED，∴，∵AB=BC=CD=6，∴OD=OB=3，∴，∴CE=2OE，DE=2BE，设OE=x，则CE=2x，∴BE=CE-BC=2x-6，∴DE=2BE=4x-12，∵DE=OE+OD=x+3，则有4x-12=x+3，解得：x=5，即OE=5，∴DE=8，∴△CDE的面积为=24．6．（2021·江苏·苏州市吴中区碧波中学一模）如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．（1）求证：；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得，由得，根据等角对等边可得结论；（2）先证明，，由ASA证明，得，；再求，，再证明得，利用可得结论.【解析】解：（1）在中，∵与都是所对的圆周角，∴，∵，∴．∴．（2）∵是的切线，是的直径，∴．∵，，∴．又∵，∴．∵∴，∴，．在中，∵，，∴，即．∵，∴．在中，，∴．∵，且，∴，∴，即．∵与都是所对的圆周角，∴．在中，，∴，即．