数学选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算同步训练题

这是一份数学选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算同步训练题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(→))；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
2.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量eq \(AC1,\s\up6(→))的共有( )
①(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CC1,\s\up6(→))；
②(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→)))＋eq \(D1C1,\s\up6(→))；
③(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(→))；
④(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)).
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
二、填空题
5．化简eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝________.
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|a＋b|＝________.
7.
如图所示，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝________，|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(EF,\s\up6(→))|＝________.
三、解答题
8．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1)eq \(AB′,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(→))＋eq \(C′D′,\s\up6(→))；
(2)eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(A′A,\s\up6(→)).
9．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
[尖子生题库]
10.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．
课时作业(一) 空间向量及其运算
1．解析：当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定起点相同，终点也相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \(AC,\s\up12(→))与向量eq \(A1C1,\s\up12(→))的方向相同，模也相等，所以eq \(AC,\s\up12(→))＝eq \(A1C1,\s\up12(→))，故③正确；命题④显然正确．
答案：C
2．解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：
①(eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→)))＋eq \(CC1,\s\up12(→))＝eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(CC1,\s\up12(→))＝eq \(AC1,\s\up12(→)).
②(eq \(AA1,\s\up12(→))＋eq \(A1D1,\s\up12(→)))＋eq \(D1C1,\s\up12(→))＝eq \(AD1,\s\up12(→))＋eq \(D1C1,\s\up12(→))＝eq \(AC1,\s\up12(→)).
③(eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BB1,\s\up12(→)))＋eq \(B1C1,\s\up12(→))＝eq \(AB1,\s\up12(→))＋eq \(B1C1,\s\up12(→))＝eq \(AC1,\s\up12(→)).
④(eq \(AA1,\s\up12(→))＋eq \(A1B1,\s\up12(→)))＋eq \(B1C1,\s\up12(→))＝eq \(AB1,\s\up12(→))＋eq \(B1C1,\s\up12(→))＝eq \(AC1,\s\up12(→)).
所以，所给4个式子的运算结果都是eq \(AC1,\s\up12(→)).
答案：D
3．解析：∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，
即2|a||b|cs〈a，b〉＋|b|2＝0，而|a|＝|b|，
∴2cs〈a，b〉＋1＝0，∴cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2).
又〈a，b〉∈[0°，180°]，
∴〈a，b〉＝120°，选C.
答案：C
4．解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：B
5．解析：eq \(AB,\s\up12(→))－eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→))－eq \(BD,\s\up12(→))－eq \(DA,\s\up12(→))＝eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→))＋eq \(CA,\s\up12(→))＋eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(DB,\s\up12(→))＝eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(CA,\s\up12(→))＋eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(DB,\s\up12(→))＝eq \(AB,\s\up12(→)).
答案：eq \(AB,\s\up12(→))
6．解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×1×2×cseq \f(π,3)＋22＝7，
∴|a＋b|＝eq \r(7).
答案：eq \r(7)
7．解析：|eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→))|＝|eq \(AC,\s\up12(→))|＝2；
eq \(EF,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up12(→))，
eq \(BD,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝2×2×cs 60°＝2，
故|eq \(BC,\s\up12(→))－eq \(EF,\s\up12(→))|2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up12(→))－\f(1,2)\(BD,\s\up12(→))))2
＝eq \(BC,\s\up12(→))2－eq \(BC,\s\up12(→))·eq \(BD,\s\up12(→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up12(→))2＝4－2＋eq \f(1,4)×4＝3，
故|eq \(BC,\s\up12(→))－eq \(EF,\s\up12(→))|＝eq \r(3).
答案：2 eq \r(3)
8．解析：(1)eq \(AB′,\s\up12(→))＋eq \(B′C′,\s\up12(→))＋eq \(C′D′,\s\up12(→))＝eq \(AD′,\s\up12(→)).
(2)eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up12(→))－eq \f(1,2)eq \(A′A,\s\up12(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA′,\s\up12(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up12(→))＋eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(AA′,\s\up12(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up12(→)).
设M是线段AC′的中点，则eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up12(→))＝eq \(AM,\s\up12(→))，向量eq \(AD′,\s\up12(→))，eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up12(→))如图所示．
9．证明：∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(CD,\s\up12(→))＝0，eq \(AC,\s\up12(→))·eq \(BD,\s\up12(→))＝0.
∴eq \(AD,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝(eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BD,\s\up12(→)))·(eq \(AC,\s\up12(→))－eq \(AB,\s\up12(→)))
＝eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AC,\s\up12(→))＋eq \(BD,\s\up12(→))·eq \(AC,\s\up12(→))－|eq \(AB,\s\up12(→))|2－eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BD,\s\up12(→))
＝eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(AC,\s\up12(→))－|eq \(AB,\s\up12(→))|2－eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BD,\s\up12(→))
＝eq \(AB,\s\up12(→))·(eq \(AC,\s\up12(→))－eq \(AB,\s\up12(→))－eq \(BD,\s\up12(→)))＝eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(DC,\s\up12(→))＝0.
∴eq \(AD,\s\up12(→))⊥eq \(BC,\s\up12(→))，从而AD⊥BC.
10．解析：由题意知|eq \(PB,\s\up12(→))|＝eq \r(2)，
|eq \(CD,\s\up12(→))|＝eq \r(2)，eq \(PB,\s\up12(→))＝eq \(PA,\s\up12(→))＋eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(DC,\s\up12(→))＝eq \(DA,\s\up12(→))＋eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→))，
∵PA⊥平面ABCD，
∴eq \(PA,\s\up12(→))·eq \(DA,\s\up12(→))＝eq \(PA,\s\up12(→))·eq \(AB,\s\up12(→))＝eq \(PA,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝0，
∵AB⊥AD，∴eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(DA,\s\up12(→))＝0，
∵AB⊥BC，∴eq \(AB,\s\up12(→))·eq \(BC,\s\up12(→))＝0，
∴eq \(PB,\s\up12(→))·eq \(DC,\s\up12(→))＝(eq \(PA,\s\up12(→))＋eq \(AB,\s\up12(→)))·(eq \(DA,\s\up12(→))＋eq \(AB,\s\up12(→))＋eq \(BC,\s\up12(→)))
＝eq \(AB2,\s\up12(→))＝|eq \(AB,\s\up12(→))|2＝1，又∵|eq \(PB,\s\up12(→))|＝eq \r(2)，|eq \(CD,\s\up12(→))|＝eq \r(2)，
∴cs〈eq \(PB,\s\up12(→))，eq \(DC,\s\up12(→))〉＝eq \f(\(PB,\s\up12(→))·\(DC,\s\up12(→)),|\(PB,\s\up12(→))||\(DC,\s\up12(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴〈eq \(PB,\s\up12(→))，eq \(DC,\s\up12(→))〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.