高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.1 圆的标准方程当堂达标检测题

课时分层作业(十四)　圆的标准方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(x＋1)2＋(y－2)2＝16的圆心与半径分别为(　　)

A．(－1,2)，4　　　 B．(1，－2)，4

C．(－1,2)，16   D．(1，－2)，16

A　[圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2是以(a，b)为圆心，r为半径的圆，对照可得A正确．]

2．已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,1)   

B．(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)   

D．{1，－1}

A　[由于(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，

所以点(1,1)到圆心(a，－a)的距离d＜2，

即：＜2，整理得：－1＜a＜1．

故选：A．]

3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1   B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1   D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1

B　[圆心坐标为，即(2，－1)，半径r＝＝1，

∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1．]

4．已知圆心在x轴上的圆经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的方程为(　　)

A．(x＋4)2＋y2＝50   B．(x＋4)2＋y2＝25

C．(x－4)2＋y2＝50   D．(x－4)2＋y2＝25

A　[设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－0)2＝r2．

圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－a)2＋1＝(a－1)2＋25，

解得a＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝CA＝＝，

则圆C的方程为(x＋4)2＋y2＝50．]

5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心， 为半径的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5

D．(x－1)2＋(y－2)2＝5

C　[直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0．

由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．]

二、填空题

6．已知圆C经过点A(1,5)，且圆心为C(－2，1)，则圆C的方程为        ．

(x＋2)2＋(y－1)2＝25　[由题意知，可得圆的半径r＝＝5．

又圆心坐标为C(－2,1)，∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．]

7．若点P在圆(x－1)2＋y2＝1上运动，Q(m，－m－1)，则PQ的最小值为        ．

－1　[由Q(m，－m－1)，设x＝m，y＝－m－1，得y＝－x－1．

即点Q在直线x＋y＋1＝0上，由点P在圆(x－1)2＋y2＝1运动．

则PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，

即－1＝－1．]

8．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为        ．

a>或a<－　[∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－．]

三、解答题

9．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程．

[解]　法一：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，

根据题意得，

解得

故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25．

法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，∵C∈l，

∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，

∴圆心为C(a,5－2a)．

由圆的定义得|AC|＝|BC|，

即＝．

解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5．

故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25．

10．求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．

[解]　圆＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝．

设所求圆的圆心为(m，n)，

∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，

∵解得

∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝．

∴对称圆的方程是(x＋2)2＋＝．

11．(多选题)若直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的周长，则mn的取值可能是(　　)

A．   B．－

C．   D．2

ABC　[可知直线mx＋2ny－4＝0过圆心(2,1)，

有2m＋2n－4＝0，即n＝2－m，则mn＝m·(2－m)＝－m2＋2m＝－(m－1)2＋1≤1．]

12．点M、N在圆＋(y＋1)2＝－3上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是(　　)

A．2   B．

C．1   D．3

C　[由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，即－＋1＋1＝0．

∴k＝4，r＝＝1．]

13．(一题两空)已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，△PAB面积的最大值是        ，最小值是        ．

(4＋)　(4－)　[点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)．]

14．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)到圆上的点的距离的最大值为        ．

5＋　[由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为＋5＝5＋．]

15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．

(1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆的方程．

[解]　(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3．

又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0．

(2)由解得点A的坐标为(0，－2)．

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)．

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又|AM|＝＝2，

从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．