2022届高中数学新人教B版选择性必修第一册模块综合测评二作业

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这是一份2022届高中数学新人教B版选择性必修第一册模块综合测评二作业，共15页。

模块综合测评(二)
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　)
A．(2,0)或(0，－4)　　 B．(2,0)或(0，－8)
C．(2,0) D．(0，－8)
B　[设点B的坐标为(0，y)或(x,0)．
∵A(3,4)，
∴kAB＝＝4或＝4，
解得y＝－8，x＝2．
∴点B的坐标为(0，－8)或(2,0)．]
2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
C　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C．
]
3．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为A(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
C　[由已知可得交点A(3,4)到原点O的距离为圆的半径，
则半径r＝＝5，故c＝5，
所以a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点A(3，4)，
故3b＝4a．联立
解得故选C．]
4．若圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0截直线x－y－3＝0所得弦长为6，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．－2
C．－4 D．－31
C　[由圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，
∴圆心为(1，－2)，∴圆心在直线x－y－3＝0上，
∴此圆直径为6，则半径为3，
∴5－m＝32，∴m＝－4，
故实数m的值为－4．]
5．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)
C　[∵点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，
∴＝(－x,1，－z)，＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，
∵PA⊥平面ABC，
∴，
解得x＝－1，z＝2，
∴点P的坐标为(－1,0,2)．]
6．如图，在四面体ABCD中，点M是棱BC上的点，且BM＝2MC，点N是棱AD的中点．若＝x＋y＋z，其中x，y，z为实数，则xyz的值是(　　)

A．－ B．－
C． D．
C　[∵BM＝2MC，点N是棱AD的中点．
∴＝－，＝AD，
又＝－，
∴＝＋＋＝－(－)－＋＝－－＋， ①
又＝x＋y＋z， ②
比较①②两式，则其中x＝－，y＝－，z＝，
∴xyz＝·×＝．]
7．两点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值为(　　)
A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2
C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2
D　[A、B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝，
即＝， ①
且AB中点在已知直线上，代入得
2(b＋2)＋3＝11， ②
解①②组成的方程组得]
8．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若∠FBD＝30°，△ABD的面积为8，则p＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
D　[设l与x轴交于H(图略)，且F，l：x＝－，
因为∠FBD＝30°，在直角三角形FBH中，
可得|FB|＝2|FH|＝2p，
所以圆的半径为|FA|＝|FB|＝|FD|＝2p，
|BD|＝2|BH|＝2p，
由抛物线的定义知，点A到准线l的距离为d＝|FA|＝2p，
所以△ABD的面积为|BD|·d＝·2p·2p＝8，
解得p＝2．]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的可能取值是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
AD　[∵直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，
∴＝≠，
解得a＝2或a＝－1，
∴实数a的取值是－1或2．]
10．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是(　　)
A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6
B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为
C．存在点P，使PF1⊥PF2
D．PF1的取值范围是[1,3]
ABD　[由椭圆方程可知，a＝2，b＝，
从而c＝＝1．
据椭圆定义，PF1＋PF2＝2a＝4，
又F1F2＝2c＝2，
所以△PF1F2的周长是6，A项正确．
设点P(x0，y0)(y0≠0)，因为F1F2＝2，
则S△PF1F2＝F1F2·y0＝y0．
因为0＜y0≤b＝，则△PF1F2面积的最大值为，B项正确．
由椭圆可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．
此时，PF1＝PF2＝a＝2，又F1F2＝2，
则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2＝60°，
所以不存在点P，
使PF1⊥PF2，C项错误．
当点P为椭圆C的右顶点时，PF1取最大值，此时PF1＝a＋c＝3；
当点P为椭圆C的左顶点时，PF1取最小值，此时PF1＝a－c＝1，
所以PF1∈[1,3]，D项正确，
故选：ABD．]
11．设有一组圆C：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列四个命题正确的是(　　)
A．存在k，使圆与x轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
ABD　[对于A：存在k，使圆与x轴相切⇔k＝k2(k∈N*)有正整数解⇔k＝0或k＝1，故A正确；
对于B：因为圆心(1，k)恒在直线x＝1上，故B正确；
对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；
对于D：将(0,0)代入得1＋k2＝k4，即1＝k2(k2－1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．]
12．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B．·(－)＝0
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··|
AB　[由向量的加法得到：＋＋＝，
∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，所以A正确；
∵－＝，AB1⊥A1C，
∴·＝0，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，
又A1B∥D1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，
但是向量与向量的夹角是120°，
故C不正确；∵AB⊥AA1，∴·＝0，
故|··|＝0，因此D不正确．]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．平面向量a＝(x,2)，b＝(x，x－1)，若a∥b，则x＝；若a⊥b，则x＝．(第一空2分，第二空3分)
0或3　－1±　[若a∥b，则x(x－1)－2x＝0，
得x(x－1－2)＝x(x－3)＝0，得x＝0或x＝3，
若a⊥b，则x2＋2(x－1)＝0得x2＋2x－2＝0，
则x＝＝＝－1±．]
14．如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为．

　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则A1(6,0,6)，E(6,3,0)，F(3,6,0) ，C1(0,6,6)．设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得
令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)．
同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，
由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝．]
15．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是．
　[x＝⇔x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝．又kBQ＝3，∴所求范围是．]

16．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别 F1，F2，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点．若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点 F1，则椭圆的离心率为．
　[可设△PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点，

可得△PF2Q为等腰三角形，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m＋n＝2a，
由切线的性质可得m＝n，
解得m＝，n＝，
设|QF1|＝t，|QF2|＝2a－t，
由t＝2a－t－，解得t＝，
则△PF2Q为等边三角形，
即有2c＝·，
即有e＝＝．]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0．
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
[解]　(1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为，故圆心距为＝2，又0<2<2，故两圆相交．
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0．
18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°．

(1)证明：AD⊥PB；
(2)若PB＝，AB＝PA＝2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：取AD中点O，连结PO，BO，BD，
∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∴BO⊥AD，
∵PA＝PD，∴△PAD是等腰三角形，
∴PO⊥AD，
∵PO∩BO＝O，∴AD⊥平面PBO，
∵PB⊂平面PBO，∴AD⊥PB．
(2)∵AB＝PA＝2，

∴由(1)知△PAB，△ABD都是边长为2的正三角形，则PO＝，BO＝，
∵PB＝，
∴PO2＋BO2＝PB2，即PO⊥BO，
又由(1)知，BO⊥AD，PO⊥AD，
∴以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(－1,0,0)，P(0,0，)，C(－2，，0)，B(0，，0)，＝(0，，－)，＝(1,0，)，＝(1，－，0)，设n＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，
∴，取y＝1，得n＝(，1，－1)，
设直线PB与平面PDC所成角为θ，
则sin θ＝＝＝，
∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为．
19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0．
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标；
(2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3，0)，求圆M的方程．
[解]　(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC边所在直线的方程为x＝0，
又CD边所在直线的方程为2x－2y－1＝0，
所以C，
设B(b,0)，
则AB的中点D，
代入方程2x－2y－1＝0，
解得b＝2，
所以B(2,0)．
(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①
由圆M与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y＋x＋3＝0， ②
①②联立可得，M，
半径|MA|＝＝，
所以所求圆方程为＋＝．
20．(本小题满分12分)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
[解]　(1)依题意知F1坐标为(－c,0)，
设M点坐标为(－c，y)．
若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，
则直线AB的斜率k＝．
(A点坐标为(a,0)，B点坐标为(0，b)时，同样有k＝－)
则有＝，∴y＝． ①
又∵点M在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1． ②
由①②得＝，∴＝，
即椭圆的离心率为．
(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2＝0，
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，|设|QF1|＝m，
|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c．
在△F1QF2中，cos θ＝
＝＝－1
≥－1＝0．
当且仅当m＝n时，等号成立，
∴0≤cos θ≤1，又∵θ∈(0，π)，
∴θ∈．
即∠F1QF2的取值范围是．
21．(本小题满分12分)如图1，梯形ABCD中，AB∥CD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．AB＝AE＝2，CD＝5，已知DE＝1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图2．
　
图1　　　　　　图2
(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；
(2)若DE∥CF，CD＝，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为，求AP的长．
[解]　(1)证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，连接BE（图略），AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD＝B，
∴AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF＝A，∴DE⊥平面ABFE．
(2)在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF＝E，
即AE⊥平面DEFC，在梯形DEFC中，
过点D作DM∥EF交CF于点M，连接CE，
由题意得DM＝2，CM＝1，由勾股定理可得DC⊥CF，则∠CDM＝，CE＝2，
过点E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1，)，
D，
＝(－2,1，)，＝，
设平面ACD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由
得
取x＝1得n＝(1，－1，)，
设AP＝m，则P(2，m,0)，(0≤m≤2)，
得＝(2，m－1，－)，
设CP与平面ACD所成的角为θ，
sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝⇒m＝．
所以AP＝．
22．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝4y的焦点F是椭圆C的一个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线FA与FB的斜率之和为－1，证明：l过定点．
[解]　(1)抛物线E：x2＝4y的焦点F(0,1)是椭圆C的一个顶点，
可得b＝1，由e＝＝＝，
解得a＝2，
则椭圆方程为＋y2＝1．
(2)证明：①当斜率不存在时，设l：x＝m，
A(m，yA)，B(m，－yA)，
∵直线FA与直线FB的斜率的和为－1，
kFA＋kFB＝＋＝＋＝－1，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，
不存在两个交点，故不满足；
②当斜率存在时，设l：y＝kx＋t，(t≠1)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
联立，整理，得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝， ①
∵直线FA与FB直线的斜率的和为－1，
∴kFA＋kFB＝＋
＝
＝＝－1 ②
①代入②得＝－1，
∴t＝－2k－1，此时Δ＝－64k，存在k，
使得Δ＞0成立，
∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，
当x＝2时，y＝－1，
∴l过定点(2，－1)．