高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.1 直线的倾斜角与斜率课堂检测

课时分层作业(十)　直线的倾斜角与斜率

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若直线经过O(0,0)，A(1，)两点，则直线OA的倾斜角为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

B　[由斜率与倾斜角的关系知(设直线OA的倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan α＝＝，∴α＝．]

2．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为(　　)

A．(2,3)   B．(3,2)

C．(1,5)   D．(－3,2)

A　[∵直线经过A(1,2)，B(3,5)，∴＝(3－1,5－2)＝(2,3)，∴直线l的一个方向向量为(2,3)．]

3．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)

A．5　　　　   B．8 

C．   D．7

C　[由斜率公式可得＝1，解得m＝．]

4．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为   (　　)

A．α

B．180°－α

C．180°－α或90°－α

D．90°＋α或90°－α

D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α．故选D．

]

5．若三点A(2,3)，B(3,2)，C共线，则实数m的值为(　　)

A．2   B． 

C．   D．

C　[根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝，

∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC，

∴＝－1，∴m＝．]

二、填空题

6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为        ．

45°　[由题意知，b≠a，

所以k＝＝1，

故倾斜角为45°．]

7．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为        ．

0　[如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0．

]

8．已知直线l上的两个点M(1,2)，N(5,4)，则直线l的一个法向量为        ．

(2，－4)(答案不唯一)　[∵直线经过M(1,2)，N(5,4)，∴＝(4,2)，∴是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，所以直线l的一个法向量为(2，－4)．]

三、解答题

9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°．

[解]　(1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，

∵A(1,2)，∴kPA＝＝．

又∵直线PA的倾斜角为60°，

∴tan 60°＝，解得a＝1－．

∴点P的坐标为．

(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)．

同理可得b＝2－，

∴点P的坐标为(0,2－)．

10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．

(1)求直线l的斜率k的取值范围；

(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

[解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1．

(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1．

(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．

11．(多选题)直线l过原点(0,0)且不过第三象限，那么l的倾斜角α可能是(　　)

A．0°   B．120° 

C．90°   D．60°

ABC　[当直线与x轴重合时α＝0°，与y轴重合时α＝90°，又直线l不经过第三象限，∴斜率k＜0，由斜率与倾斜角的关系知90°＜α＜180°，故B也正确．]

12．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．

C．∪(1，)   D．(1，)

C　[∵l1的倾斜角为45°，∴l2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a的取值范围为∪(1，)，故选C．]

13．(一题两空)若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为        ，斜率为        ．

30°或150°　或－　[如图所示直线AB与y轴的关系，若直线为l1，则直线的倾斜角为α1，α1＝90°＋60°＝150°，tan α1＝k1＝－，若直线为l2，则直线的倾斜角为α2，α2＝90°－60°＝30°，k2＝tan α2＝tan 30°＝．]

14．已知过点(－，1)和点(0，b)的直线的倾斜角为α，α满足30°≤α≤60°，则b的取值范围为        ．

[2,4]　[因为30°≤α≤60°，∴≤tan α≤，

∴≤k≤．

又k＝，所以≤≤，解得2≤b≤4．]

15．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图像上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．

[解]　＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．

∵点M在函数y＝－2x＋8的图像上，且x∈[2,5]，

∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，

设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB．

∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤．

∴的取值范围是．