人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程当堂达标检测题

课时分层作业(十五)　圆的一般方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为(　　)

A．(1，－1)　　　　　　　 B．

C．(－1,2)   D．

D　[将圆的方程化为标准方程，得＋(y＋1)2＝，所以圆心为．]

2．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示的图形是(　　)

A．一个点   B．一个圆

C．一条直线   D．不存在

A　[方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．]

3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是(　　)

A．D＝E＝0，F≠0   B．D＝F＝0，E≠0

C．D＝E≠0，F≠0   D．D＝E≠0，F＝0

D　[∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0．]

4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是(　　)

A．π   B．π

C．3π   D．不存在

B　[所给圆的半径为r＝＝，

所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是π．]

5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2＝25(y≠0)

B．x2＋y2＝25

C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)

D．(x－2)2＋y2＝25

C　[线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]

二、填空题

6．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是        ．

　[因为E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，所以

解得＜k＜1．]

7．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线Dx＋Ey＋2F＋8＝0对称，则该圆的半径为        ．

2　[圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，

由题意有－－＋2F＋8＝0，则D2＋E2－4F＝16．

∴圆的半径为r＝＝×4＝2．]

8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝        ．

－2　[由题意可得圆C的圆心在直线

x－y＋2＝0上，将代入直线方程得

－1－＋2＝0，解得a＝－2．]

三、解答题

9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．

[解]　圆心C，

因为圆心在直线x＋y－1＝0上，

所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，  ①

又r＝＝，所以D2＋E2＝20，  ②

由①②可得或

又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，

所以所以圆的一般方程为

x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

[解]　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为．

由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而

又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4．因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．

11．(多选题)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．圆M的圆心为(4，－3)

B．圆M被x轴截得的弦长为8

C．圆M的半径为25

D．圆M被y轴截得的弦长为6

ABD　[圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x＝0，则y2＋6y＝0，∴|y1－y2|＝6；令y＝0，x2－8x＝0，|x1－x2|＝8．]

12．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)

A．π　　　　B．4π  C．8π　　　　D．9π

B　[设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π．]

13．(一题两空)若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A、B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝        ，圆的面积为        ．

－3　8π　[设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，

由根与系数的关系及判别式得

又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，

即·＝－1，

即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，

代入上面的结果得m－2＋1＝－4，

∴m＝－3，符合m<1的条件．

r＝＝2，

∴圆的面积为πr2＝π×(2)2＝8π．]

14．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(1，)，则△ABC外接圆的圆心到坐标原点的距离为        ．

1　[因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x＝上，可设圆心P，由PA＝PB得＝，解得b＝．故圆心坐标为，所以圆心到原点的距离|OP|＝＝1．]

15．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0．

(1)求此圆的圆心与半径；

(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．

[解]　(1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，

∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3．

(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组

即2a＋b＝2．

∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．