数学湘教版（2019）第5章 概率5.1 随机事件与样本空间教案

事件的运算

【教学目标】

1．掌握事件的包含、相等、交、并、差的概念，以及互斥事件和对立事件的概念。

2．通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类比与归纳的数学思想．通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知数学与现实的联系，培养逻辑推理能力。

【教学重点】  事件的关系与运算．

【教学难点】  事件的关系与运算．

【教学方法】  教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学抽象，数学运算，逻辑推理．

【教学过程】

一、          创设情境，引入课题

课前布置任务：

抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件A={2，4，6}，事件B={2，5，6}，事件C={1，3，5}，事件D={1，2，4，6}。各个事件分别表示什么意思？各事件之间有什么关系？

对于随机试验而言，它的样本空间可以包含很多随机事件，概率论的任务之一就是研究随机事件的规律，通过对较简单事件规律的研究再掌握更复杂事件的规律，为此需要研究事件之间和事件之间的关系与运算。

由于随机事件是样本空间的子集，于是我们可以用集合的语言来描述事件间的关系与运算。

二、归纳探索，形成概念

前面问题中，如果事件A发生，那么事件D一定发生。

若事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称事件A包含于B，或称B包含了A，记作 或 。

显然,对任何事件A 都有

比如A={球的标号为2}，这一事件就导致了事件B={球的标号为偶数}的发生，因为摸到标号为2的球意味着偶数的球出现了，所以.

对于事件A,B，如果AB且BA，则称A与B等价，或称A与B相等，记作A=B。

等价的事件是同一个事件，只是有时表达不同。在同一样本空间中两个事件相等意味着它们含有相同的样本点。

例如，抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件A={2，4，6} 与事件B=“掷出偶数点”等价。

如果某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称该事件为事件A 与B的交（或积），记作（或AB）。

事件由属于事件A且属于事件B 的所有样本点组成，显然有。

例如，抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件A={2，4，6} 与事件B={2，5，6}，则={2，6}

如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称该事件为事件A 与B的并（或和），记作。

事件由至少属于事件A或B之一的样本点组成。 容易得。

例如，抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件A={2，4，6} 与事件B={2，5，6}，则A∪B={2，4，5，6}。

如果事件为不可能事件，即则称事件A，B互斥（或互不

相容）。 

例如，抛掷一枚骰子，若用A={1，3，5}表示掷出奇数点，用A={2，4，6}表示掷出偶数点，则事件A，B为互斥事件。

一般地，如果事件中任意两个都互斥，则称它们两两互斥。

如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差，记作A\B。

显然A\B由属于事件A但不属于事件B的样本点组成.

例如，抛掷一枚骰子，若事件A={2，4，6} ，事件B={1，2，3} ，则事件A\B={4，6}

如果某事件发生当且仅当事件A 不发生,则称该事件为A 的对立事件,记作或 .

例如，抛掷一枚骰子，若事件A={2，3，4} ，事件={1，5，6} 。

显然，若事件A发生，则事件不发生，反之亦然，由对立事件的定义可得。

概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的主要包括这些内容。

三、掌握证法，适当延展

例1 抛掷两枚骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的，若记A=“红骰子的点数是2”，B=“蓝骰子的点数是3”

（1）写出样本空间,并用样本点表示事件A,B.

（2）计算；

（3） 计算.

解 （1）

根据事件的定义，可得

A={}

B={}

（2）=“ 红骰子是2点，蓝骰子是3点”

}=“红骰子是2点或蓝骰子是3点”

例2  袋中有三个球编号为1,2,3，从中任意摸出一球，观察其号码，记A＝{球的号码小于3}，　B＝{球的号码为奇数}　，C＝{球的号码为3}.

（1）A与B，A与C，B与C是否互斥？

（2）A的对立事件是什么？

（3）求事件A\B.

解：（1）A与B不互斥，A与C互斥，B与C不互斥；

   （2）A对立事件是C；

（3）A\B={2}.

例3 文具盒中有圆珠笔3支，钢笔2支，从中无放回地任取3支。

（1）用集合A表示事件“3支都是圆珠笔”；

（2）用集合B表示事件“恰有2支是圆珠笔”；

（3）用集合C表示事件“恰有1支是圆珠笔”；

（4）用A，B，C表示

（5）解释事件，，A\B，的含义。

解 将3支圆珠笔分别编号1，2，3，将2支钢笔分别编号1，2。用 分别表示取出的是号圆珠笔和号钢笔，则表示取出的是1号，2号和3号圆珠笔，表示取出的是1号，2号圆珠笔和1号钢笔 

按照事件的定义，可得

（1） .

（2） .

（3）.

（4）因为必有事件A，B，C之一发生，所以样本空间.

（5）由事件A，B的定义可知，=“至少有2支圆珠笔”，“不

可能事件”，A\B=“3支都是圆珠笔”，=“至少有1支钢笔” .

练习：

抛掷3枚硬币，观察结果：

（1）用集合A表示事件“至少1个反面朝上”；

（2）用集合B 表示事件“至少2个反面朝上”；

（3）用集合C表示事件“恰好2个反面朝上”；

（4）计算 ，并解释含义。

答案：（1）A={反正正，正反正，正正反，反反正，反正反，正反反，反反反}

（2）B={反反正，反正反，正反反，反反反}

（3）C={反反正，反正反，正反反}

（4）有3个样本点，即{反反正，反正反，正反反}；有1个样本点，即{ 正正正}

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

作业

甲，乙两人玩一个游戏，每次各出1～5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢。

(1)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C 是否为互斥事件?为什么?

(2)这个游戏规则公平吗? 试说明理由.

答案：（1）与不是互斥事件，因为事件与可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件，即符合题意.

（2）这种游戏规则不公平，甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为25，和为偶数的基本事件数为13个.

所以甲赢的概率为 ，乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平.