高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.5 几种简单几何体的表面积和体积教案

棱柱和棱锥的体积

【教学目标】

1、理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；体会祖暅原理中由“面积相等”推出“体积相等”的微积分思想；

2、在推导棱柱、棱锥体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法，掌握棱柱、棱锥的体积公式，并会利用棱柱、棱锥的体积公式解决实际问题。

3、通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神。培养与他人交流、合作的意识。通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】祖暅原理和棱柱、棱锥体积公式的推导。

【教学难点】祖暅原理的理解

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习

【教学手段】计算机、投影仪

【核心素养】直观想象，逻辑推理，数学抽象，数学运算，

【教学过程】

课前任务：

阅读教材P185，认识柱体、椎体和台体的高，上课开始，请学生汇报学习成果。

（1）锥体的高：我们把椎体（棱锥、圆锥）的顶点到地面的距离称为椎体的高，即图中PO即为棱锥P-ABCD的高，MN便是圆锥的高

（2）柱体和台体的高：台体或柱体（棱柱、圆柱）的两底面之间的距离称为台体或柱体的高，图中O’O即为棱台ABCD-A’B’C’D’的高，CC’为棱柱ABC-A’B’C’的高，MN是圆柱的高

〖设计意图〗一来培养学生阅读教材，自主获得知识的学习能力，二来培养学生数学阅读能力与习惯。以课堂汇报的形式激发学生的学习自觉性与学习热情。

一、        创设情境，引入课题

青藏铁路是西部大开发的标志工程，计划投资约262亿元，铁路全长1142公里，是世界上海拔最高，线路最长，穿越冻土里程最长的高原铁路。针对不同情况的多年冻土，有不同的解决办法与技术，比如埋设热棒或者通风管，就是在路堤中埋设直径30厘米左右的金属或混凝土横向通风管，可以有效降低路基温度；也可以采用抛石路基，即用碎块石填筑路基，利用填石路基的通风透气性，阻隔热空气下移，同时吸入冷量，起到保护冻土的作用；在少数极不稳定冻土地段修建低架旱桥，工程效果有保证，但造价高。

假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫，已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？

〖设计意图〗从生活实际出发，通过分析可知可以将路基看作是一个底面积为等腰梯形的直四棱柱，所以该问题的解决需要知道棱柱体体积公式，进而引入本节新课。激发学生学习兴趣。

问题1：请你谈谈对体积的理解

〖预案〗几何体占空间部分的大小叫做它的体积

〖设计意图〗本节是几何体体积部分的学习，学生首先要对“体积”这一概念形成正确的理解，在此基础上才能更好的理解问题2，理解祖暅原理，理解本节课其它活动内容。

问题2取一摞A4纸放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，改变前后这摞纸的体积发生变化了吗？

〖预案〗体积不变

〖设计意图〗激发学生思考，提高学习兴趣，根据对“体积”这一概念的理解，学生不难得出体积没有发生改变的结论。这为提出祖暅原理做准备。

二、探究棱柱体积公式

1、祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，意思是：夹在平行平面之间的两个不同的几何体，被平行于的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。在数学上已经证明了这一结论是正确的。

问题3：你能根据祖暅原理解释问题2中纸张的例子吗？

〖设计意图〗先从具体到一般，让学生借助感知经验接受并理解祖暅原理，再从一般到具体，让学生更好的在数学原理的指导下解释生活中的问题。

2.利用祖暅原理推导棱柱体积公式

问题4 ：如果利用祖暅原理推导棱柱体积公式，我们需要构造一个几何体，你认为构造的这个几何体要满足什么条件？

〖预案〗满足两个条件①该几何体的体积计算公式已知②它符合祖暅原理的条件，即该几何体与棱柱能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的面积总相等。所以可以构造一个与棱柱等底面积等高的长方体。根据祖暅原理，这个棱柱体积等于长方体体积，所以，。

〖设计意图〗教师不直接利用等底面积等高的长方体体积求棱柱体积，而是引导学生思考如何利用祖暅原理将已知与未知之间联系起来，引导学生进一步思考需要构造一个满足什么条件的几何体，通过提问，激发学生有效思考，提升学生数学思维。

问题5 回到最开始的生活问题，每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？

〖预案〗根据台体体积公式=Sh可知，

,所以V=Sh=3×1000=3000

3.探究棱锥体积公式

问题6想一想，任意两个等底面积等高的棱锥体积之间有什么关系？

〖预案〗从特殊到一般，先探究两个等底面积等高的三棱锥体积之间的关系，再从特殊到一般，得到任意两个等底面积等高的棱锥体积之间的关系

〖设计意图〗渗透先具体再一般的数学研究方法。

问题7任意两个等底面积等高的三棱锥体积之间什么关系？

〖预案〗三棱锥P-ABC,Q-MNR底面积相等，高相等。当用同一个平面截两个三棱锥时，根据三角形相似，可知截面积，再根据祖暅原理可知这两个三棱锥体积相等。

问题8：任意两个等底面积等高的棱锥体积之间什么关系？

〖预案〗因为等底面积，所以当用同一个平面截两个棱锥时，根据图形相似知识可知截面积相等，再根据祖暅原理可知这两个棱锥体积相等。所以，等底面积等高的两个棱椎体积相等。

问题9：如图所示三棱锥，将其分割为三个棱锥A’-ABC,C-A’B’B,A’-B’C’C，三个棱锥体积之间有什么关系？

〖预案〗①三个棱锥体积之和等于三棱柱体积，②三个棱锥体积均相等。

〖设计意图〗学生可以发现变换顶点之后，三个棱锥具有等底面积等高的关系，根据问题7可知，这三个棱锥体积相等。问题5/6/7/8环环相扣，需要学生积极思考，增加数学问题探究的乐趣。

问题10：三棱锥A’-ABC体积是多少?

〖预案〗

问题11：根据上面的探究过程，你能得出任意一个棱锥的体积公式吗？

〖预案〗棱锥的体积公式是 （其中S是棱锥底面积，h是棱锥的高）

〖设计意图〗引导学生从特殊到一般，进而得到任意一个棱锥的体积公式。

三、掌握方法，适当延展

练习1、 如图，三棱柱ABC-A’B’C’中，BC⊥AC，BC=5cm，CA=12cm，AA’=20cm，A’H⊥平面ABC，垂足为H，∠A’AH=60°.求这个三棱柱的体积

〖预案〗

〖设计意图〗及时巩固棱柱体积公式

练习2、如图（1），埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥。已知该金字塔高约146.5m，底面边长约232m，求这座金字塔的侧面积和体积（分别精确到0.1和0.1）。

〖预案〗

〖设计意图〗及时巩固棱锥体积公式

四、归纳小结，提高认识

问题12：通过本节课的学习，你有哪些收获？

〖预案〗

（1）       这节课我们首先认识了几何体（包括柱体、椎体和台体）的高

（2）       学习了祖暅原理，根据祖暅原理探究了棱柱的体积公式，以及任意两个棱锥体积之间的关系。割补思想方法的指导下，得到了三棱柱与三棱锥体积之间的关系，进而得到棱锥的体积公式。

（3）       学习了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学研究方法。探究一个一般性的问题，我们往往先将其具体化，在具体问题的探究过程中找到一般性情况的研究思路及研究方法，再推广到一般得到相应的结论。

〖设计意图〗同学们畅所欲言，分享自己的学习体会，在分享中反思自己的学习过程，观察别人的学习行为，提高学生对本节课所学知识的认识，培养学生归纳总结能力。

作业：

1.如图，有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm，问约有毛坯多少个？（铁的密度是7.8g/,内孔体积为250）

〖预案〗：

,,所以毛坯的体积,所以一个的质量为2.96×2.8=23.1（g），5800÷23.1252（个）所以毛坯大约有252个。

〖设计意图〗通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学模型的思想。

2.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为BC、CC1的中点，若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥B1-AEF的体积

〖预案〗：

∵三棱锥所有的棱长均为2

∴AE=，

∴，

可证AE⊥平面,

∴