人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量达标测试

课时分层作业(四)　空间中的点、直线与空间向量

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知点A(2,3,4)，B(1,2,1)，＝3，且O为坐标原点，则C点的坐标为(　　)

A．(6,8,9)　　　　　　 B．(6,9,12)

C．(7,11,13)   D．(－7，－11，－13)

C　[设C(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－1)，＝(2,3,4)，∴3＝(6,9,12)，

由＝3，

得∴∴C(7,11,13)．]

2．已知空间向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，若a⊥b，则实数x的值是(　　)

A．－1　　　B．0  C．1　　　D．2

C　[向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，

若a⊥b，则－1×3＋0×(－2)＋3x＝0，

解得x＝1．故选C．]

3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面   (　　)

A．xOy平行   B．xOz平行

C．yOz平行   D．yOz相交

C　[因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz．]

4．设向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，若a⊥b，则角α＝(　　)

A．30°　　　B．60°  C．120°　　　D．150°

B　[∵向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，a⊥b，

∴a·b＝2cos α－1＝0，∴cos α＝，

∵0°＜α＜180°，

∴角α＝60°．故选B．]

5．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)

A．   B．

C．   D．

A　[以D为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则＝(－1,1,1)，＝(－1,0,2)，

∴||＝，||＝，·＝3，

∴cos〈，〉＝＝＝．]

二、填空题

6．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且＝，则C点坐标为________．

　[设C(x，y，z)，＝(x－1，y－1，z＋4)，＝(1，－5,6)，

由＝得

∴∴C．]

7．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．

0　[由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0．]

8．长方体ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是________．

　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M，

D(0,0,0)，N，

＝，＝，

设向量与的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝．

故向量与的夹角的余弦值为．]

三、解答题

9．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．

求证：MN∥平面A1BD．

[证明]　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，

可求得M，N，

D(0,0,0)，A1(1,0,1)，

于是＝，

＝(1,0,1)．

得＝2，∴∥，∴DA1∥MN．

而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，

∴MN∥平面A1BD．

10．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．

(1)求cos〈，〉的值；

(2)求证：A1B⊥C1M．

[解]　(1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，

∴cos〈，〉＝＝＝．

(2)证明：A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，M，＝(－1,1，－2)，＝，

又·＝0，

∴A1B⊥C1M．

11．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1,3,5)，则b的坐标可以是(　　)

A．(5,0，－1)   B．

C．(5，－3，－1)   D．(8，－1，－1)

ABD　[a＝(1,3,5)，a⊥b，∴a·b＝0．

在A中，a·b＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A正确．

在B中，a·b＝(1,3,5)·＝1×(－2)＋3×3＋5×＝0，B正确．

在C中，a·b＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C错误．

在D中，a·b＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D正确．]

12．向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则x－y＝(　　)

A．4　　　　 B．2 

C．1　　　　 D．

B　[向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，

若a∥b，则＝＝，

解得

所以x－y＝－2－(－4)＝2．]

13．(一题两空)已知向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝________；向量a与b的夹角是________．

　60°　[向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，

则|a|＝＝；

cos〈a，b〉＝＝＝，

∴向量a与b的夹角是60°．]

14．设向量a＝(1,2，λ)，b＝(2,2，－1)，若cos〈a，b〉＝，则实数λ的值为________．

－或2　[向量a＝(1,2，λ)，b＝(2,2，－1)，

∴a·b＝2＋4－λ＝6－λ，

|a|＝＝，

|b|＝＝3，若cos〈a，b〉＝，

则＝＝，

化简得7λ2＋108λ－244＝0，

解得λ＝－或λ＝2，

则实数λ的值为－或2．]

15．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，E为PD的中点．以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系O­xyz．

(1)求的模；

(2)求〈，〉，异面直线AE与CD所成的角；

(3)设n＝(1，p，q)，满足n⊥平面PCD，求n的坐标．

[解]　(1)由已知可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，

∵E为PD的中点，∴E(0,1,1)．

∴||＝＝．

(2)＝(0,1,1)，＝(1，－1,0)．

∴cos〈，〉＝＝－＝－，

∵〈，〉∈[0，π]，

∴〈，〉＝，

即异面直线AE与CD所成的角为．

(3)∵n⊥平面PCD，∴n⊥PD，n⊥CD，

又n＝(1，p，q)，＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)，

∴n·＝2p－2q＝0，n·＝－1＋p＝0，

解得p＝1且q＝1，即n＝(1,1,1)．