高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课时作业

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程课时作业
课时作业(十八)　曲线与方程一、选择题1．在点A(4,4)，B(3,4)，C(－3,3)，D(2,2eq \r(6))中，有几个点在方程x2－2x＋y2＝24的曲线上(　　)A．1个 B．2个C．3个　 D．4个2．方程x2＋2y2＋2x－2y＋eq \f(3,2)＝0表示的曲线是(　　)A．一个点 B．一条直线C．一个圆 D．两条线段3．已知0≤α＜2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)A.eq \f(π,3) B.eq \f(5π,3)C.eq \f(π,3)或eq \f(5π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(π,6)4．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线(　　)A．恒过定点(－2,3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2,3)和点(2,3)D．都是平行直线二、填空题5．已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．6．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．7．观察下列表格中的三组方程与曲线，说出它们之间的关系：(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________；(3)________________________________________________________________________．三、解答题8．已知曲线C的方程为x＝eq \r(4－y2)，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．9．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.[尖子生题库]10．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．课时作业(十八)　曲线与方程1．解析：点A，C，D都在方程的曲线上．答案：C2．解析：方程可化为(x＋1)2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,y－\f(1,2)＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(1,2)))它表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).故选A.答案：A3．解析：由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝eq \f(1,2).又0≤α＜2π，∴α＝eq \f(π,3)或α＝eq \f(5π,3).答案：C4．解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A5．解析：设M(x，y)，则|MA|＝eq \r(x－92＋y2)，|MB|＝eq \r(x－12＋y2).由|MA|＝3|MB|，得eq \r(x－92＋y2)＝3eq \r(x－12＋y2)，化简得x2＋y2＝9.答案：x2＋y2＝96．解析：由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝λ，整理得x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．答案：x2－eq \f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)7．答案：(1)曲线是方程所表示的曲线的一部分(2)方程所表示的曲线是图中曲线的一部分(3)方程是曲线的方程8．解析：由x＝eq \r(4－y2)，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝eq \r(4－y2)表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆．从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝eq \f(1,2)π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π.9．证明：①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．10．解析：方法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以点Q的轨迹方程是x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(9,4)(去掉原点)．方法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(9,4)(去掉原点)．方法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1,2)，,y＝\f(y1,2)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝2x，,y1＝2y，))又因为xeq \o\al(2,1)＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝9，即点Q的轨迹方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(9,4)(去掉原点)．序号(1)(2)(3)方程y＝xx＝eq \r(y)x2＋y2＝1曲线