人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理复习练习题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理复习练习题
课时分层作业(二)　空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a与b不共线且m＝a＋b，n＝a－b，p＝2a，则(　　)A．m，n，p共线　　　　 B．m与p共线C．n与p共线 D．m，n，p共面D　[p＝2a＝m＋n，即p可由m，n线性表示，所以m，n，p共面．]2．对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)A．eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))B．eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up7(→))C．eq \o(OP,\s\up7(→))＝－eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(OC,\s\up7(→))D．以上皆错B　[∵eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up7(→))，∴3eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))，∴eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→)))＋(eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→)))，∴eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→))＋eq \o(PC,\s\up7(→))，∴eq \o(PA,\s\up7(→))＝－eq \o(PB,\s\up7(→))－eq \o(PC,\s\up7(→))，∴P，A，B，C共面．]3．已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq \f(1,2)EF，则eq \o(AF,\s\up7(→))等于(　　)A．eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))B．eq \f(1,2)eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))C．eq \f(1,2)eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AD,\s\up7(→))D．eq \f(1,3)eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AD,\s\up7(→))D　[由条件AF＝eq \f(1,2)EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴eq \o(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \o(A′E,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)(eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(A′C′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)(eq \o(A′D′,\s\up7(→))＋eq \o(A′B′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \o(AA′,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(AB,\s\up7(→))．]4．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是(　　)A．a　　　　 B．bC．c　　　　 D．无法确定C　[∵a＝eq \f(1,2)p＋eq \f(1,2)q，∴a与p，q共面，∵b＝eq \f(1,2)p－eq \f(1,2)q，∴b与p，q共面，∵不存在λ，μ，使c＝λp＋μq，∴c与p，q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C．]5．对于空间一点O和不共线的三点A，B，C且有6eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋2eq \o(OB,\s\up7(→))＋3eq \o(OC,\s\up7(→))，则(　　)A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面B　[由6eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋2eq \o(OB,\s\up7(→))＋3eq \o(OC,\s\up7(→))得eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝2(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→)))＋3(eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→)))，即eq \o(AP,\s\up7(→))＝2eq \o(PB,\s\up7(→))＋3eq \o(PC,\s\up7(→))．∴eq \o(AP,\s\up7(→))，eq \o(PB,\s\up7(→))，eq \o(PC,\s\up7(→))共面，又它们有同一公共点P，∴P，A，B，C四点共面．]二、填空题6．(一题两空)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]7．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．x＝y＝z＝0　[若x≠0，则a＝－eq \f(y,x)b－eq \f(z,x)c，即a与b，c共面，由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0．同理y＝z＝0．]8．如图在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up7(→))＝c，则eq \o(B1M,\s\up7(→))＝________．(用a，b，c表示)－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－c　[eq \o(B1M,\s\up7(→))＝eq \o(AM,\s\up7(→))－eq \o(AB1,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→)))－(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AA1,\s\up7(→)))＝－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))－eq \o(AA1,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－c．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up7(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)eq \o(AP,\s\up7(→))；(2)eq \o(AM,\s\up7(→))；(3)eq \o(AN,\s\up7(→))；(4)eq \o(AQ,\s\up7(→))．[解]　连接AC，AD′，AC′(图略)．(1)eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(AA′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AA′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)．(2)eq \o(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(AD′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋2eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AA′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c．(3)eq \o(AN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC′,\s\up7(→))＋eq \o(AD′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)[(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AA′,\s\up7(→)))＋(eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AA′,\s\up7(→)))]＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋2eq \o(AD,\s\up7(→))＋2eq \o(AA′,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)a＋b＋c．(4)eq \o(AQ,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(CQ,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(4,5)(eq \o(AA′,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,5)eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(4,5)eq \o(AA′,\s\up7(→))＝eq \f(1,5)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,5)eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(4,5)eq \o(AA′,\s\up7(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(1,5)b＋eq \f(4,5)c．10．已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量eq \o(OE,\s\up7(→))＝keq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OF,\s\up7(→))＝keq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(OG,\s\up7(→))＝keq \o(OC,\s\up7(→))，eq \o(OH,\s\up7(→))＝keq \o(OD,\s\up7(→))，求证：点E，F，G，H共面．[证明]　∵eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))，∴keq \o(OA,\s\up7(→))＋keq \o(AB,\s\up7(→))＝keq \o(OB,\s\up7(→))，而eq \o(OE,\s\up7(→))＝keq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OF,\s\up7(→))＝keq \o(OB,\s\up7(→))，∴eq \o(OE,\s\up7(→))＋keq \o(AB,\s\up7(→))＝k(eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→)))＝keq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OF,\s\up7(→))．又eq \o(OE,\s\up7(→))＋eq \o(EF,\s\up7(→))＝eq \o(OF,\s\up7(→))，∴eq \o(EF,\s\up7(→))＝keq \o(AB,\s\up7(→))，同理eq \o(EH,\s\up7(→))＝keq \o(AD,\s\up7(→))，eq \o(EG,\s\up7(→))＝keq \o(AC,\s\up7(→))．∵ABCD是平行四边形，∴eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))，∴eq \f(\o(EG,\s\up7(→)),k)＝eq \f(\o(EF,\s\up7(→)),k)＋eq \f(\o(EH,\s\up7(→)),k)，即eq \o(EG,\s\up7(→))＝eq \o(EF,\s\up7(→))＋eq \o(EH,\s\up7(→))，又它们有同一个公共点E，∴点E，F，G，H共面．11．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB．M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则eq \o(OG,\s\up7(→))等于(　　)A．eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(OC,\s\up7(→))　　 B．eq \f(1,4)(eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→)))C．eq \f(1,3)(eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))) D．eq \f(1,6)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up7(→))B　[如图，eq \o(OG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OM,\s\up7(→))＋eq \o(ON,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)eq \o(OM,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)(eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→)))．]12．(多选题)如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，则用向量eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(OC,\s\up7(→))表示eq \o(OQ,\s\up7(→))，不正确的是(　　)A．eq \o(OQ,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OC,\s\up7(→))B．eq \o(OQ,\s\up7(→))＝eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OC,\s\up7(→))C．eq \o(OQ,\s\up7(→))＝eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OC,\s\up7(→))D．eq \o(OQ,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OC,\s\up7(→))BCD　[∵M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点(Q靠近点M)，∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))，∴eq \o(MN,\s\up7(→))＝eq \o(MA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(→))＋(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→)))＝－eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(OC,\s\up7(→))，∴eq \o(OQ,\s\up7(→))＝eq \o(OM,\s\up7(→))＋eq \o(MQ,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(MN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \f(1,6)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,6)eq \o(OC,\s\up7(→))．]13．(一题两空)在空间四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up7(→))＝a－2c，eq \o(CD,\s\up7(→))＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则eq \o(EF,\s\up7(→))＝________．向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))，eq \o(EF,\s\up7(→))________(填“能”或“否”)构成一组基底．3a－eq \f(5,2)b＋3c　否　[eq \o(EF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(ED,\s\up7(→))＋eq \o(EB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)(eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→)))＋eq \f(1,4)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(CD,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \o(DB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→)))＝3a－eq \f(5,2)b＋3c．假设eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))，eq \o(EF,\s\up7(→))共面，则eq \o(EF,\s\up7(→))＝λeq \o(AB,\s\up7(→))＋μeq \o(CD,\s\up7(→))＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－eq \f(5,2)b＋3c．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋5μ＝3，,－5μ＝－\f(5,2)，,8μ－2λ＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2).))∴eq \o(EF,\s\up7(→))，eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(CD,\s\up7(→))共面，∴不能构成一组基底．]14．在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，eq \o(AC,\s\up7(→))＝λeq \o(AE,\s\up7(→))＋μeq \o(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．eq \f(4,3)　[设eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up7(→))＝a＋b，eq \o(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋b，eq \o(AF,\s\up7(→))＝a＋eq \f(1,2)b，∴λeq \o(AE,\s\up7(→))＋μeq \o(AF,\s\up7(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))b，∴a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))b，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))∴λ＋μ＝eq \f(4,3)．]15．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：eq \o(A1O,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))；(2)设E是棱DD1上的点，且eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(DD1,\s\up7(→))，若eq \o(EO,\s\up7(→))＝xeq \o(AB,\s\up7(→))＋yeq \o(AD,\s\up7(→))＋zeq \o(AA1,\s\up7(→))，试求实数x，y，z的值．[解]　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)eq \o(A1O,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(A1O,\s\up7(→))－eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→)))＝eq \o(A1O,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(A1O,\s\up7(→))－eq \o(AO,\s\up7(→))＝eq \o(A1O,\s\up7(→))＋eq \o(OA,\s\up7(→))＝eq \o(A1A,\s\up7(→))．(2)∵E是棱DD1上的点，且eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(DD1,\s\up7(→))，∴eq \o(OE,\s\up7(→))＝eq \o(OD,\s\up7(→))＋eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(DD1,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→)))＋eq \f(2,3)eq \o(AA1,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(AA1,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(AA1,\s\up7(→))，∴eq \o(EO,\s\up7(→))＝－eq \o(OE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \o(AA1,\s\up7(→))．又eq \o(EO,\s\up7(→))＝xeq \o(AB,\s\up7(→))＋yeq \o(AD,\s\up7(→))＋zeq \o(AA1,\s\up7(→))，∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－eq \f(2,3)．