湘教版（2019）必修 第二册5.2 概率及运算教案

概率的运算

【教学目标】

1．掌握两个互斥事件的概率加法公式以及一般概率加法公式。

2．通过两个互斥事件的概率加法公式以及一般概率加法公式的关系、运算进行类比学习，培养学生的类比与归纳的数学思想．通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知数学与现实的联系，培养逻辑推理能力。

【教学重点】  两个互斥事件的概率加法公式和一般概率加法公式的应用．

【教学难点】  一般概率加法公式应用．

【教学方法】  教师启发讲授，学生探究学习．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学抽象，数学运算，逻辑推理．

【教学过程】

一、          创设情境，引入课题

课前布置任务：

将仅颜色不同而大小质地相同的7个红球，2个绿球，1个黄球放入一个盒子中。现从中任取一球，记事件A=“取出一个球是红球”，事件B=“取出一个球是绿球”，事件C=“取出一个球是红球或绿球” .

（1）      事件A和事件B有什么关系？

（2）      事件C与事件A和事件B有什么关系？

（3）      事件C的概率与事件A和事件B的概率又有什么关系？

事件作为集合经过并、交、差和补的运算后得到的结果还是事件，于是可以计算经过运算后的事件的概率。

上述问题中， 事件A，B互斥，且事件C=。那么事件C的概率如何来求呢？这是我们今天要研究的问题：两个互斥事件的概率加法公式 .

二、归纳探索，形成概念

样本空间有10个样本点，A和B分别有7个样本点和2个样本点，因此

  ，

又由于，事件A，B互斥，且事件C= ，C含有9个样本点。

猜测，对两个互斥事件，有如下的概率加法公式：

如果中的事件A，B互斥，则

下面，我们来证明上述公式。

设有 个样本点，A有 个样本点,B有个样本点.则

，

由于A,B互斥,所以

中样本点个数=A中样本点个数+B中样本点个数=  .

我们把概率加法公式称为概率的可加性, 可加的前提是两个事件互斥.

我们还可以将两个互斥事件的概率加法公式进行推广

如果事件A，A，…，A两两互斥，那么称A∪A∪…∪A发生（是指A，A，…，A中至少有一个发生）的概率. 等于这n个事件的概率的和，即

。

对于对立事件A与从集合的角度看，由事件所含的样本点组成的集合是全集中的事件A所含样本点组成集合的补集。因此，

对于对立事件，其概率之间有如下关系 ：

如果A是样本空间的事件，则 .

如果中的事件A，B不互斥，那么仍然成立吗？ 怎样求它们的和的概率呢？

先看一个具体实例。

同时抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚是红色的，一枚是蓝色的，若记事件A=“红骰子的点数是6”，事件B=“蓝骰子的点数是6”。那么事件A∪B=“至少有一枚骰子点数等于6”的概率是多少呢？

   事件A={} ，包含6个样本点。

事件B={} ，包含6个样本点。

可得

发现

分析事件A，B，可发现样本点（6，6）在P(A)与 P(B)中各算了一次，即 。

又

可发现

猜测有如下一般概率加法公式

可以在古典概型的情况下来推导这个公式。

设A，B是中的两个事件。

可以看出，A∪B中的样本点个数等于A中的样本点个数加上B中的样本点个数，并减去A∩B中的样本点个数。

即

当A∩B= ，即 则有

这就是说，概率的加法公式是一般加法公式的特殊情形。

三、掌握证法，适当延展

例1 若从一副52张扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，则事件A=“取到

红桃“的概率为 ，事件B=“取到方块”的概率为，试求：

（1）事件C=“取到红色牌”的概率；

（2）事件D=“取到黑色牌”的概率.

解：（1）由于事件A，B互斥，且事件C=A∪B，

因此 P（C）=P（A∪B）

=P（A）+P（B）

=+

=

（2）由于事件D与事件C是对立事件，

因此P（D）=1-P（C）

=1-

=

例2 某射箭运动员在一次射箭中命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,不够8环的概率是0.29,计算这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环(最高环数)的概率.

解 将该射箭运动员在一次射箭中“命中10环或9环”记为事件A，将其“命中10环” “命中9环” “命中8环” “命中不够8环”分别记为事件B，C，D，E。则P（C）=0.28，P（D）=0.19， P（E）=0.29。

因为事件C，D，E彼此互斥，

所以

P（C∪D∪E）= P（C）+ P（D）+ P（E）

=0.28+0.19+0.29

=0.76.

又因为事件B与事件C∪D∪E为对立事件，故

P（B）=1-P（C∪D∪E）

=1-0.76

=0.24

而事件B与事件C互斥，且A=B∪C,

因此

P（A）= P(B∪C)

=P（B）+ P（C）

=0.24+0.28

=0.52

故这名射箭运动员在一次射箭中命中9环或10环的概率为0.52.

例3 从1，2，3，…，30中任意选一个数，求这个数是偶数或能被3整除的概率。

解 设A=“选到偶数”，B=“选到能被3整除的数”，则

A={2，4，6，…，28，30}，共15个元素，

A={3，6，9，…，27，30}，共10个元素，

A∩B={6，12，18，24，30},共5个元素，

所以，这个数是偶数或能被3整除的概率

例4 某企业有三个分厂!现将男女职工人数统计如下：

若从中任意抽取一名职工，则该职工是女性或是第三分厂职工的概率是多少？

解 设A=“抽到女工”，B=“抽到第三分厂职工”，则

因此，该职工是女性或是第三分厂职工的概率为

练习：甲、乙两人各射击一次%命中概率分别为0.8和0.5两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙至少有一人命中的概率？

答案：0.9

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

作业

探究：在分别写有2,4,6,7,8,11,12,13的8张卡片中任取两张,将取的两张卡片上的两个数组成一个分数,试求所得分数是既约分数（分子与分母之间没有大于1的公因数）的概率。

答案：考虑奇偶配对,奇奇配对，5偶3奇，符合事件数18，总事件数28（不考虑分子分母）P=18/28=9/14