高中数学湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.5 向量的数量积教案

数量积的定义及计算

【教学目标】

1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；

2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

3．掌握数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

4．通过以物理中功的相关知识为背景学习平面向量数量积的过程，提高观察、猜想、类比、迁移的能力；

5．通过对平面向量数量积的探究过程，养成善于观察、敢于猜想的探索精神和严谨的科学态度。

【教学重点】  平面向量数量积的概念及其物理意义．

【教学难点】  平面向量数量积的几何意义．

【教学方法】  教师启发引导，学生合作探究．

【教学手段】  计算机、投影仪．

【核心素养】  数学运算，数学抽象，直观想象．

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

预案：向量的加法、减法及数乘运算；其运算结果还是向量。 

问题2：我们是怎么如何向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？

预案：物理模型→概念→性质→运算律→应用。

本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算——数量积的定义及计算。

〖设计意图〗通过复习向量的运算，引出本节课所学内容也是关于向量的运算；通过回忆向量加法的研究方法，类比引出本节课所学内容。

问题3：如图1，在物理中，我们知道，一辆小车在拉力的作用下会产生位移。若拉力的大小为N，其方向与小车位移方向的夹角为，位移的大小为m。如何计算拉力所做的功？

图1

教师活动：引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。我们发现，拉力与小车位移都是向量。因此，我们可以用从同一点出发的两条有向线段表示它们，两条有向线段的夹角就是这两个向量与的夹角，有向线段的长度分别等于这两个向量的大小。

学生回答问题3有难度，教师应提示学生通过分类讨论，考虑夹角的大小。

而在计算功的时候，我们有必要考虑拉力与位移的方向。

预案：分为两种情况，

（1）若拉力与位移方向相同，则功等于力和位移大小的乘积，即。

（2）但一般情形下，拉力与位移方向不相同，即功不等于力的大小和位移大小的乘积，但我们知道功仍是力与位移这两个向量的某种类型的乘积，我们将它记作。

那这样的式子如何来计算呢？由力学知识我们知道，可分解为水平和垂直两个方向的分力，之和，即。合力所做的功等于各分力所做的功之和：。

这说明这种乘积满足对向量加法的分配律。

那我们就将问题转化为求与的问题。对于，由力学的知识可知，与位移垂直的力做的功为，因此，。

也就是说，合力做的功等于水平分力做的功。

在计算时，有必要考虑拉力与小车位移之间夹角，此时分为三种情况，（1）当时，与方向相同，，由图3可知，，所以；

（2）当时，与方向相反，，其中，，因而，；

（3）当时，，，，因而仍成立。

综上所述，在所有情形下都有。

问题4：根据以上分析，填写下表。

〖设计意图〗通过具体物理情形的分析，为数量积的得出奠定基础。

二、归纳探索，形成概念

1.数量积的概念：

问题5：利用力和位移来计算功的公式，能否推广到任意两个向量呢？

我们设为任意两个向量，是它们的夹角，则定义为，的数量积。

问题6：的取值范围是什么？

预案：由平面向量夹角的定义可知，的取值范围为；

问题7：满足什么条件时，？

预案：由数量积的定义可知，；

①当时，如图所示，

②当时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有。

因此，对所有情形均成立。

由数量积的定义进一步可得，两个向量的数量积是一个实数，这个实数可以是正数，负数或零，与的数量积是正数还是负数完全由决定。

2.数量积的几何意义（投影）：

为了更好地理解数量积的几何意义，引入“投影”的概念。

投影的概念：如图所示，作向量，两个向量的夹角为，过点B作于点则，其中，共线。

把，称为在方向上的投影向量，投影向量的长度，称为投影长。

问题8：设是方向上的单位向量，则，,填写下表。

因此，所有情况下，

几何意义：刻画了投影向量的大小和方向，称为在方向上的投影。

由于共线，于是

一般地，与的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积。

由此，得到利用数量积计算在方向上的投影的公式：

3.数量积的运算律：

问题9：在小学，我们学习过数与数相乘，它们满足那些运算律呢？

预案：1.交换律：

2.结合律：

3.分配律：

问题10：那向量的数量积是否也具有类似于数量乘法的运算律呢？首先，我们验证一下向量的数量积是否具有交换律，即设，是任意向量，能否得到？

预案：根据向量的数量积的定义，我们知道，，，因此，.

问题11：在结合律中，我们只考虑数乘运算（不做解释），是否成立呢？

预案：根据向量的数量积的定义，我们知道，

，因此，.

问题12：同样的，向量是否也满足分配律呢？

预案：首先，我们要考虑的情况，（1）当存在时，等式显然成立；

（2）当都为非零向量时，如图，我们可以通过数量积的定义来加以证明，首先以为起点，作向量的终点在或其延长线上的投影分别为点,记与的夹角分别为，与的夹角为。

由于点四点在同一条直线上，并且，因此，在上的投影等于在上的投影之和，即：

上式的两边同时乘以，得

即：

三、掌握证法，适当延展

〖设计意图〗通过具体例题，巩固本节所学。

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．课堂小结

（1）本节课我们学习的主要内容是什么？

（2）平面向量的数量积有哪些应用？

（3）本节课主要采用了什么研究方法？

（4）类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

2.  课后作业