陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2021-2022学年七年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2021-2022学年七年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了的光刻机．其中用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 已知与互为余角，若，则的补角的大小为

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是

A.  B.
C.  D.

5. 已知，，则的值等于

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在下列四组条件中，能判定的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列语句中：
   有公共顶点且相等的角是对顶角；
   直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
   两点之间直线最短；
   同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
   其中正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 若，，则与的关系为

A.  B.
C.  D. 与的大小由的取值而定

9. 已知，，，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

10. 我国宋代数学家杨辉所著详解九章算法中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是______ ．
     

12. 若，，则______．
13. 计算______．
14. 已知，，则 ______ ．
15. 代数式是一个完全平方式，则______．
16. 如果有理数，同时满足，那么的值为______．

三．计算题（本题共2小题，共10分）

17. 计算题
    ；
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中，．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共6小题，共42分）

19. 已知，．
    当时，求的值；
    求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于的多项式，当时，完成下列各小题．
    求多项式；
    若，求多项式的值；
    若，求多项式的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知代数式有最小值，请求出最小值，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，边长分别为，的两个正方形并排放在一起，请计算图中阴影部分的面积用含，的代数式表示．
    
     

23. 补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．
    如图，和相交于点，，．
    求证：．
    证明：，已知，
    又______ ，
    ______ ______
    ______
     

24. 【观察】如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图请你写出，，之间的等量关系：______．
    
    【应用】若，，则______；
    【拓展】如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则得到结果，即可作出判断；
C、原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】

解：由题意得，．
．
的补角的大小为．
故选：．
根据余角与补角的定义解决此题．
本题主要考查余角与补角，熟练掌握余角与补角的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
根据平方差公式的特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：、，含的项符号相同，含的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；
B、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误．
故选：．
 

5.【答案】

【解析】

解：，，
，
故选：．
根据完全平方公式进行计算即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式和完全平方公式，关键是掌握：．
 

6.【答案】

【解析】

解：、若，则，故本选项错误；
B、若，则，故本选项错误；
C、若，则，故本选项错误；
D、若，则，故本选项正确．
故选D．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：有公共顶点且相等的角是对顶角，错误，
直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离，错误，
两点之间线段最短，错误，
在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，
上列语句中，正确的个数有个，
故选：．
根据对顶角、线段的性质、点到直线的距离，垂线的定义逐一判断即可．
本题考查了线段性质、点到直线的距离、垂线的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上知识．
 

8.【答案】

【解析】

解：，
，
，
则．
故选：．
根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后利用作差法比较即可得到答案．
本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：，，，
，
，
故选：．
分别根据负整数次幂的运算，有理数的乘方的定义、零指数幂的性质化简后，再根据有理数大小比较的法则解答．
本题考查的是有理数大小比较，负整数次幂的运算，有理数的乘方的定义、零指数幂的性质，掌握有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：根据上面的规律，得，各项系数为：，，，，，
展开后的各项系数为：，，，，，，，
展开后的各项系数为：，，，，，，．
含项的是奇数次方，
含项的系数是．
故选：．
根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案．
本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度，
，且，
点到直线的距离是，
故答案为：．
根据点到直线的距离的概念确定出是哪条线段的长度即可得．
本题主要考查点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
 

12.【答案】

【解析】

解：，，
．
故答案为：．
，即，又，可求出的值．
本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．
 

13.【答案】

【解析】

解：




．
故答案为：．
利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与应用．
 

14.【答案】

【解析】

解：．
利用同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算可求结论．
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方．利用上述法则的逆运算和整体代入的方法可使运算简便．
 

15.【答案】

或
 

【解析】

解：代数式是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：或
利用完全平方公式的结构特征判断即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

16.【答案】

或
 

【解析】

解：已知等式变形得：，
整理得：，即，
则或，
故答案为：或
已知等式整理后，利用平方差公式计算即可求出的值．
此题考查了平方差公式，平方根，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

17.【答案】

解：

；



；



；



．
 

【解析】

直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、有理数的混合运算法则计算得出答案；
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
直接利用乘法公式计算得出答案；
直接利用乘法公式计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】

解：原式


当，时，
原式．
 

【解析】

先利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并，最后代入求得数值即可．
此题考查整式的化简求值，掌握计算公式和运算方法是解决问题的关键．
 

19.【答案】

解：，，
原式
，
当时，原式；
，，
，
原式

．
 

【解析】

根据同底数幂的乘法和幂的乘方化简，整体代入求值即可；
根据完全平方公式的变形得到，根据多项式乘多项式法则展开，整体代入求值即可．
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，完全平方公式，多项式乘多项式，掌握是解题的关键．
 

20.【答案】

解：，


；
，
，解得：，
原式

，
即多项式的值为；
，
，
，
即多项式的值为．
 

【解析】

根据“被减式差减式”列式，然后先算乘方和乘法，再合并同类项进行化简；
根据零指数幂的运算法则求得的值，代入求值即可；
利用整体思想代入求值．
本题考查整式的混合运算与化简求值，掌握完全平方公式的结构，利用整体思想代入求值是解题关键．
 

21.【答案】

解：，
，
，
即代数式的最小值为．
 

【解析】

利用配方法可得，再根据偶次方的非负数性质解答即可．
本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
 

22.【答案】

解：如图，两个正方形的总面积为：，



．
阴影部分的面积为．
 

【解析】

先计算两个正方形的总面积，再减去和的面积，即为阴影部分的面积．
本题主要考查了列代数式及整式的混合运算，根据题意列出代数式应用整式混合运算法则进行计算是解决本题的关键．
 

23.【答案】

对顶角相等    等量代换  内错角相等，两直线平行
 

【解析】

证明：，已知，
又对顶角相等，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
故答案为：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
由已知与对顶角相等，等量代换得到内错角相等，进而确定出与平行．
此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
 

24.【答案】

【解析】

解：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长宽分别为，的长方形面积，
，
故答案为：；
，
将，代入得：，
，
，
故答案为：；
正方形的边长为，
，，
，
设，，，
，


，
图中阴影部分的面积为．
根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长宽分别为，的长方形面积，可得答案；
将，代入中公式即可；
由正方形的边长为，则，，得，设，，，得，则，代入即可．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．