2022绵阳高三下学期第三次诊断性考试数学（理）含答案

绵阳市高中2019级第三次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

DBCADABBABDC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．2 4． 15．9116．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）∵，

 由正弦定理得，

 即．……………………………………………………………………2分
∵tanC=-3，A+B+C=π，

  ∴，

 解得tanB=1或-2．

  ∵tanC=-3，

  ∴C为钝角，B为锐角，

  ∴tanB=1，即．……………………………………………………………………6分

 （2）∵tanC=-3，

 ∴，．……………………………………………………8分

 ∵A+B+C=π，∴A =π-(B+C)，

 ∴

 ．………10分

 由正弦定理，得．

 ∵c=3，

 ∴． 

 ∴△ABC的面积．……………………………12分

18．解：（1）∵，∴，

∴．…………………………………………………3分

又，∴．

∴y关于x的线性回归方程为．…………………………………………5分

（2）若利用线性回归模型，可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为

（万辆）．…………………………………………………………7分

若利用模型，则，

即．

∴2022年我国新能源乘用车的年销售量的

预测值为（万辆）．…………………………………………9分

（3）∵0.71<0.87，且越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，

∴用模型得到的预测值更可靠．……………………………………12分

19．解：（1）证明：设点M为BC的中点，连接PM，MA．

 ∴，且PM=1．

 在△ABM中，可得，且，

 又//AD，且，

 ∴四边形AMCD为矩形，

 ∴//CD．…………………………………………………………………………2分

 在△PAM中，可得，

 ∴，即．

 又，，直线PM，BC均在平面PBC内，

 ∴．……………………………………………………………………4分

又平面PBC，

∴，

 又，，

 ∴．……………………………………………………………………6分

（2）以M为坐标原点，分别以MA，MC，MP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz．

由题意得M(0，0，0)，A(，0，0)，

P(0，0，1)，B(0，，0)，D(，1，0)，

∴(，0，)，(0，，)，

设平面PAB的一个法向量为n1=(x，y，z)．

不妨设，则n1=(，，3)．………………………………9分

同理可得平面PAD的一个法向量为n2=(，0，3)．

∴cos<n1，n2>=．…………………………………………11分

由图可知，所求二面角的平面角为钝角，

∴二面角B-PA-D的平面角的余弦值为．……………………………………12分

20．解：（1）∵，，∴．…………………………………2分

 ∴，由题意得点A的坐标为．

 代入椭圆方程得．

联立解得，．

 ∴椭圆E的方程为．………………………………………………………5分

 （2）联立消y整理得．

 由，解得．

由韦达定理得，①．②…………………………7分

 若存在点P，使得，，则．

 且直线AP的斜率为，即．③………………9分

 联立①②③得，解得或．

 ∴存在点P满足题意，此时或．………………………………………12分

21．解：（1）．

 令，解得，，解得．

 ∴函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．…………3分

 当时，f(x)；当时，f(x)=x[lnx-(a+1)]+1．

 ∴要使得f(x)有2个零点，则，

 解得a>0．………………………………………………………………………………5分

 （2），．

 i)当a≤0时，恒成立，函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，

 ∴m= f(e)=1-ae，n= f(1)=-a．∴m-n=(1-e)a+1．

令p(a)= (1-e)a+1，则函数p(a)在区间上单调递减，

∴函数p(a)最小值为h(0)=1．…………………………………………………………7分

 ii) 当a≥1时，恒成立，函数f(x)在区间[1，e]上单调递减．

 ∴m= f(1)=-a，n= f(e)=1-ae，∴m-n=(e-1)a-1．

令h(a)=(e-1)a-1，则函数h(a)在区间上单调递增，

∴函数h(a)最小值为h(1)=e-2．………………………………………………………9分

 iii) 当0<a<1时，由，解得，由，解得．

 ∴函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．

 ∴n= f(ea)=1-ea．

 ①当时，f(1)-f(e)= (e-1)a-1≥0，此时m= f(1)=-a．

 ∴m-n= f(1)- f(ea)=ea-a-1．

 令q(a)=ea-a-1，则>0．

 ∴函数q(a)在区间上单调递增，

 ∴函数q(a)的最小值为，

 ∴．………………………………………………11分

 ②当时，由f(1)- f(e)= (e-1)a-1<0，∴m= f(e)=1-ae．

 ∴m-n= f(e)- f(ea)=ea-ae．

 令(a)=ea-ae，则<0．

 ∴函数在区间(0，1)上单调递减，

 ∴．

 综上，m-n的最小值为．………………………………………………12分

22．解：（1）将直线l的参数方程消参，得直线l的普通方程为．

∵

 又，∴，

 ∴曲线C的极坐标方程为．……………………………………5分

（2）联立解得

 ∴点B的坐标为．…………………………………………………7分

由题意得直线l的极坐标方程为．

联立解得

∴点A的坐标为．………………………………………………8分

∴．

∵∴∴，

∴，∴．

∴，即的取值范围是．……………………………………10分

23．解：①当x≤1时，不等式等价于，解得，综合，；

 当1<x<2时，不等式等价于1≥x+1，解得x≤0，综合，无解；

 当x≥2时，不等式等价于2x-3≥x+1，解得x≥4，综合，x≥4；

 综上，不等式的解集为．…………………………………………5分

 （2）证明：不等式等价于，

 要证，只要证，

 只要证，只要证，

 上式显然成立，所以原不等式成立．…………………………………………………10分