2022青海省海南藏族自治州高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题含答案

海南州高级中学2021~2022学年度第一学期期末考试

高二数学（文科）

―､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 设函数，则（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【1题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.

【详解】,

故，

故选：D.

2. 双曲线：的实轴长为（    ）

A.  B.  C. 4 D. 2

【2题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.

【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线中，，所以其实轴长为．

故选：A

3. 命题“若，则”的否命题是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据原命题的否命题是条件结论都要否定．

【详解】解：因为原命题的否命题是条件结论都要否定．

所以命题“若，则”的否命题是若，则；

故选：B

4. 下列命题正确的是（    ）

A. 经过三点确定一个平面

B. 经过一条直线和一个点确定一个平面

C. 四边形确定一个平面

D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由平面的基本性质结合公理即可判断.

【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；

对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；

对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；

对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.

故选：D

5. 设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：因为时，夹角为钝角或平角；而当夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件．故选B．

考点：1向量的数量积；2充分必要条件．

6. 下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有（    ）

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③菱形的直观图是菱形；④正方形的直观图是正方形.

A. ① B. ①② C. ③④ D. ①②③④

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据斜二侧直观图的画法法则，直接判断①②③④的正确性，即可推出结论．

【详解】由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以①正确；

根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以②正确；

根据两轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不再是菱形，所以③错误；

根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不再是正方形，所以④错误.

故选：B.

7. 曲线与曲线的（    ）

A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等

【7题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.

【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，

离心率为 ,焦距为8,

曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，

短轴长为 ，离心率为 ,焦距为 ,

故选：D

8. 圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【8题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，设圆心为坐标为，，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线的距离，解得的值，即可得答案．

【详解】根据题意，设圆心为坐标为，，

圆的半径为4，且与直线相切，

则圆心到直线的距离，

解得：或13（舍，

则圆的坐标为，故所求圆的方程为，

故选：A

9. 曲线在处的切线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，再求出并借助导数的几何意义求解作答.

【详解】由求导得：，则有，

因此，曲线在处的切线的斜率为，

所以曲线在处的切线的倾斜角是.

故选：D

10. 已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的方程求出离心率，的表达式，再计算判断作答.

【详解】因椭圆的离心率为，则有，

因双曲线的离心率为，则有，所以.

故选：D

11. 函数在上的最大值是

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求出的最大值即可．

【详解】函数的导数．

令可得，

可得在上单调递增，在单调递减，

函数在上的最大值是．

故选D．

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．

12. 设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.

【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，

则，且，

又是的中点，则是的中位线，

则，且，

由双曲线定义可知，

由勾股定理知，，，

即，渐近线方程为，

所以渐近线方程为．

故选C.

【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________.

【13题答案】

【答案】17.

【解析】

【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17.

考点：双曲线的定义.

14. 设命题：，，则为______ .

【14题答案】

【答案】，

【解析】

【分析】由全称命题的否定即可得到答案．

【详解】根据全称命题的否定，可得

为，

【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题．

15. 已知直线l1：（1）x+y﹣2=0与l2：（1）x+ay﹣4=0平行，则a=_____.

【15题答案】

【答案】2

【解析】

【分析】根据两直线平行的充要条件求解．

【详解】因为已知两直线平行，所以，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线平行的充要条件是，或，在均不为0时，用表示容易理解与记忆．

16. 如图，某河流上有一座抛物线形的拱桥，已知桥的跨度米，高度米（即桥拱顶到基座所在的直线的距离）．由于河流上游降雨，导致河水从桥的基座处开始上涨了1米，则此时桥洞中水面的宽度为______米．

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，则根据点在抛物线上，可得抛物线的方程，设水面与桥的交点坐标为，求出，进而可得水面的宽度.

【详解】以桥的顶点为坐标原点，水平方向所在直线为x轴建立直角坐标系，

则抛物线的方程为，因为点在抛物线上，

所以，即

故抛物线的方程为，

设河水上涨1米后，水面与桥的交点坐标为，则，得，

所以此时桥洞中水面的宽度为米．

故答案为：．

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点坐标为，且经过点；

（2）焦点在坐标轴上，经过点.

【17~18题答案】

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.

（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.

【小问1详解】

因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，

则有

，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，

所以所求双曲线的标准方程为.

【小问2详解】

依题意，设双曲线的方程为：，

于是得，解得：，

所以所求双曲线的标准方程为.

18. 已知三角形三个顶点，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．

【18题答案】

【答案】；．

【解析】

【分析】根据两点式方程和中点坐标公式求解，并化为一般式方程即可.

【详解】解：过的两点式方程为，整理得．

即边所在直线的方程为，

边上的中线是顶点A与边中点M所连线段，

由中点坐标公式可得点M的坐标为，即．            

过，的直线的方程为，即．

整理得．

所以边上中线所在直线的方程为．

19. 如图，已知正四棱锥中，O为底面对角线的交点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【19~20题答案】

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理作答.

（2）利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的判定推理作答.

【小问1详解】

在正四棱锥中，由正方形得：，而平面，平面，

所以平面.

【小问2详解】

在正四棱锥中，O为底面对角线的交点，则O是AC，BD的中点，

而，，则，，因，平面，

所以平面.

20. 已知函数.

（1）当时，求函数的极大值与极小值；

（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.

【20题答案】

【答案】（1）的极大值为0,的极小值为（2）2

【解析】

【分析】（1）先求导可得，再利用导函数判断的单调性，进而求解；

（2）由（1）可得在上的最小值为，由，，可得的最大值为，进而根据求解即可.

【详解】解:（1）当时，，

所以，令，则或，

则当和时，；当时，，

则在和上单调递增，在上单调递减,

所以极大值为；的极小值为.

（2）由题,，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值即为的极小值；

因为,,所以，

因为，则，

所以.

【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力.

21. 已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求曲线过点的切线方程.

【21题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;

（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点求解，最后写出切线方程即可.

【详解】（1）.

，.

所以曲线在处的切线方程为，

即.

（2）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，

代入点得，，.

所以曲线过点的切线方程为，

即.

22. 已知椭圆的左、右顶点坐标分别是，，短轴长等于焦距.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点，线段中点为，求.

【22题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由椭圆顶点可知，又短轴长等于焦距可知，求出，即可写出椭圆方程（2）根据“点差法”可求直线的斜率，写出直线方程，联立椭圆方程可得，，代入弦长公式即可求解.

【详解】（1）依题意，解得.

故椭圆方程为.

（2）设的坐标分别为，，直线的斜率显然存在，设斜率为，

则，两式相减得，整理得.

因为线段的中点为，所以，

所以直线的方程为，联立，得，

则，，

故 .

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，“点差法”，弦长公式，属于中档题.