2022年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷（3月份）(word版含答案)

这是一份2022年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷（3月份）(word版含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）|﹣2|的相反数是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）计算（a﹣2）3的结果是（ ）
A．a5B．a﹣6C．a8D．a6
4．（3分）将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠2＝55°，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．55°C．25°D．35°
5．（3分）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（ ）
A．（2，5）B．（2，4）C．（2，3）D．（2，0）
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．11π
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A．B．2cmC．D．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝2，下列结论中：①2abc＞0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＞0；⑤﹣4a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：4m2﹣25＝ ．
10．（3分）正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是 ．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝4，则AD的长为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A （5，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值等于 ．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AC，E是AB边的中点，G，F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组．
16．（5分）解方程：．
17．（5分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用尺规作图法求作一点F，使得FE＝FB，且F点到AB和AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE＝DE，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF＝DC．
19．（5分）在2021年陕西省西安市”新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示，求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
20．（5分）“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，阳光中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了“A．体育活动，B．劳动技能，C．经典阅读，D．科普活动”四大板块课程．若该校乐乐和贝贝随机选择一个板块课程．
（1）乐乐选“C．经典阅读”课程的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乐乐和贝贝选不同板块课程的概率．
21．（6分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕，无人机航拍技术全程直播．如图，在无人机的镜头下，观测冬奥会场地A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时无人机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果保留根号）
22．（7分）五一期间，阳阳一家自驾游去了离家156km的关山牧场，如图是阳阳离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）阳阳他们出发半小时，离家的距离是 km；
（2）求出AB段的图象的函数关系式；
（3）若阳阳他们离目的地还有72km，求他们行驶了多长时间？
23．（7分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 本；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
24．（8分）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0，a，b为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线与x轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF∥x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点O．若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP长的取值范围是 ；
问题探究：
（2）如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M，N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在（1）中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？若存在，求出△PMN周长的最小值；若不存在，请说明理由；
问题解决：
（3）如图3，正方形ABCD边长为4，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M，N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．
2022年陕西省西安市莲湖区五校联考中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）|﹣2|的相反数是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
【分析】根据相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．依此即可求解．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，
∴2的相反数是﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
3．（3分）计算（a﹣2）3的结果是（ ）
A．a5B．a﹣6C．a8D．a6
【分析】利用幂的乘方的法则进行计算，即可得出答案．
【解答】解：（a﹣2）3＝a﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的法则是解决问题的关键．
4．（3分）将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若∠2＝55°，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．55°C．25°D．35°
【分析】由两直线平行，内错角相等及三角形内角和作答．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠3（对顶角相等），
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝35°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质及三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．
5．（3分）将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，平移后函数经过点（ ）
A．（2，5）B．（2，4）C．（2，3）D．（2，0）
【分析】根据函数图象平移的法则求得平移后的解析式，然后把x＝2代入求得函数值即可判断．
【解答】解：将一次函数y＝2x﹣4的图象向上平移3个单位长度，相应的函数是y＝2x﹣4+3＝2x﹣1，
当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3，
∴平移后函数经过点（2，3），
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换以及一次函数图象上点的坐标特征，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为（ ）
A．πB．πC．πD．11π
【分析】先利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
【解答】解：∵∠OCA＝55°，OA＝OC，
∴∠A＝55°，
∴∠BOC＝2∠A＝110°，
∵AB＝6，
∴BO＝3，
∴的长为：＝π．
故选：B．
【点评】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A．B．2cmC．D．
【分析】由矩形的性质得出OA＝OD＝OC，得出∠OAD＝∠ODA，由已知条件得出OE＝CE，∠DEA＝90°，由线段垂直平分线的性质得出OD＝CD，得出△OCD为等边三角形，因此∠DOC＝60°，由三角形的外角性质得出∠DAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD＝AB＝4cm，
∴AC＝2CD＝8cm，
∴AD＝CD＝4cm，
∴DE＝AD＝2cm．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明△ABO是等边三角形是本题的关键．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝2，下列结论中：①2abc＞0；②4a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＞0；⑤﹣4a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．2
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0．
∴2abc＜0．
∴①错误．
∵b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，
∴②正确．
∵抛物线与x轴由两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴③正确．
∵当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴④正确
∵a+b+c＞0，
∴a﹣4a+c＞0，
∴﹣4a+c＞﹣a＞0，
∴⑤错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：4m2﹣25＝ （2m+5）（2m﹣5） ．
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（2m+5）（2m﹣5），
故答案为：（2m+5）（2m﹣5）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
10．（3分）正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是 六 ．
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的外角和为360°，可得多边形的边数＝360°÷60°，计算即可求解．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷60°＝6．
故答案为：六．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝4，则AD的长为 8 ．
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠CAB＝90°﹣60°＝30°，根据角平分线定义得到∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，推出BD＝AD，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD，
∵BC＝4，
∴BD＝4＝8，
∴AD的长为8．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A （5，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k≠0）经过点C，则k的值等于 12 ．
【分析】作CD⊥OA于D，如图，利用菱形的性质得OC＝OA＝5，在Rt△OCD中利用正弦的定义计算出CD＝4，则可根据勾股定理计算出OD＝3，从而得到C（3，4），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值．
【解答】解：如图，作CD⊥OA于D，
∵点A （5，0），
∴OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC＝OA＝5，
在Rt△OCD中，∵sin∠COD＝＝．
∴CD＝4，
∴OD＝＝3，
∴C（3，4），
把C（3，4）代入y＝得k＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝AC，E是AB边的中点，G，F为BC上的点，连接OG和EF，若AB＝13，BC＝10，GF＝5，则图中阴影部分的面积为 30 ．
【分析】连接EO，EG，OF，依据EO是△ABC的中位线，即可得出EO∥BC，EO＝BC＝5，进而得到四边形EOFG是平行四边形，据此可得S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，求得△ABO的面积即可得出结论．
【解答】解：连接EO，EG，OF，
∵平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，
∴O是AC的中点，
又∵E是AB边的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO∥BC，EO＝BC＝5，
又∵GF＝5，
∴EO＝GF，
∴四边形EOFG是平行四边形，
∴S△EOP+S△FGP＝S四边形EOFG＝S△EOG，
又∵EO∥BG，
∴S△EOG＝S△EOB，
∴S△EOP+S△FGP＝S△EOB，
∴S阴影部分＝S△AOE+S△EOP+S△FGP＝S△AOE+S△EOB＝S△ABO，
∵AC＝AB＝13，BC＝10，
∴等腰△ABC中BC边上的高为＝12，
∴S△ABC＝＝60，
∵O是AC的中点，
∴S△ABO＝S△ABC＝60＝30，
∴阴影部分的面积为30，
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，解题时注意：平行四边形的两条对角线将平行四边形分成面积相等的四部分．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝5+1+4﹣
＝10﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（5分）解不等式组．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：由①得，x＜3，
由②得，x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
【点评】此题考查的是解一元一此不等式组，熟知“同大取较大，同小去较小，大小小大中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．
16．（5分）解方程：．
【分析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母得，
2x+2﹣（x﹣3）＝6x，
∴x+5＝6x，
解得，x＝1
经检验：x＝1是原方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法．
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
17．（5分）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用尺规作图法求作一点F，使得FE＝FB，且F点到AB和AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠BAC的角平分线AP，作线段BE的垂直平分线MN，直线MN交AP于点F，点F即为所求．
【解答】解：如图，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE＝DE，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF＝DC．
【分析】由D是BC的中点得DC＝DB，由AF∥BC得∠AFE＝∠DBE，因为AE＝DE，所以可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△AEF≌△DEB，得AF＝DB，即可证得AF＝DC．
【解答】证明：如图，∵D是BC的中点，
∴DC＝DB，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴AF＝DC．
【点评】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确把握和运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（5分）在2021年陕西省西安市”新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示，求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
【分析】设酒精消毒液每件的进价是x元，测温枪每件的进价是y元，可得：，即可解得答案．
【解答】解：设酒精消毒液每件的进价是x元，测温枪每件的进价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：酒精消毒液每件的进价是10元，测温枪每件的进价是200元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
20．（5分）“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，阳光中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了“A．体育活动，B．劳动技能，C．经典阅读，D．科普活动”四大板块课程．若该校乐乐和贝贝随机选择一个板块课程．
（1）乐乐选“C．经典阅读”课程的概率是 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求乐乐和贝贝选不同板块课程的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）乐乐选“C．经典阅读”课程的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中乐乐和贝贝选不同板块课程的结果有12种，
则乐乐和贝贝选不同板块课程的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕，无人机航拍技术全程直播．如图，在无人机的镜头下，观测冬奥会场地A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时无人机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果保留根号）
【分析】根据已知可得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD与BD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
EC∥AD，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，∠ECB＝∠CBD＝45°，
在Rt△ACD中，CD＝200米，
∴AD＝＝＝200（米），
在Rt△BCD中，BD＝＝＝200（米），
∴AB＝AD﹣BD＝（200﹣200）米，
∴A，B两点间的距离为（200﹣200）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（7分）五一期间，阳阳一家自驾游去了离家156km的关山牧场，如图是阳阳离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）阳阳他们出发半小时，离家的距离是 30 km；
（2）求出AB段的图象的函数关系式；
（3）若阳阳他们离目的地还有72km，求他们行驶了多长时间？
【分析】（1）求出线段OA所对应的函数关系式，求出当x＝0.5时，y的值即可．
（2）用待定系数法可求出线段AB所对应的函数关系式．
（3）把y＝84代入AB所对应的关系式，可求出x的值，即可．
【解答】解：（1）设线段OA所对应的y与x的关系式为，y＝kx，把（0.8，48）代入得，
0.8k＝48，
解得，k＝60，
∴线段OA所对应的y与x的关系式为，y＝60x，（0≤x≤0.8）．
当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30，
答：他们出发0.5小时，离家30千米．
故答案为：30．
（2）设线段AB所对应的y与x的关系式为，y＝kx+b，把（0.8，48），（2，156）代入得，
，
解得，k＝90，b＝﹣24
∴线段AB所对应的y与x的关系式为：y＝90x﹣24（0.8＜x≤2）．
（3）∵离目的地还有72km，
∴行驶了：156﹣72＝84km，代入到y＝90x﹣24，
∴x＝1.2．
答：他们行驶了1.2小时．
【点评】考查一次函数的图象和性质，用待定系数法求出函数的关系式是解决问题的关键，同时要充分了解分段函数的意义．
23．（7分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校开展了以“畅游书海，阅动心智”为主题的读书活动．学校政教处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全两幅统计图，本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为 3 本；
（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【分析】（1）根据读书两本的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可得到本次所抽取学生四月份“读书量”的众数，再计算出读书4本所占的百分比，即可将统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：18÷30%＝60（人），
读书4本的学生有：60×20%＝12（人），
故本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为3本，
读书3本所占的百分比为：21÷60×100%＝35%，
故答案为：3；
补全的统计图如右图所示；
（2）＝3（本），
即本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数是3本；
（3）1200×10%＝120（人），
答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生有120人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体、众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24．（8分）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例，求出直径AC，即可得出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，如图2所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝5（cm），
∵DE⊥MN，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠AED，
又∵∠2＝∠3，
∴△ADC∽△AED，
∴，
即，
∴AC＝（cm），
∴OA＝AC＝cm，
即⊙O的半径为cm．
【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
25．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0，a，b为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线与x轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF∥x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求解；
（2）由题意可得FM＝5，设M（m，﹣m2+m+4），则F（m﹣5，﹣m2+m+4），再由FF点在直线CD上，即可求m的值，进而确定M点的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+4，
则，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x+x+4；
（2）存在点M，使得△MEF≌△COD，理由如下：
∵ME⊥CD，
∴∠MEF＝90°，
∵MF∥x轴，
∴∠FME＝∠CDO，
∵△MEF≌△COD，
∴MF＝CD，
∵OC＝4，OD＝3，
∴CD＝5，
∴FM＝5，
设M（m，﹣m2+m+4），则F（m﹣5，﹣m2+m+4），
∵FF点在直线CD上，
∴﹣m2+m+4＝﹣（m﹣5）+4，
∴m＝2或m＝5，
∴M（2，8）或M（5，4）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．
26．（10分）问题提出：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD交于点O．若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP长的取值范围是 2≤PA≤4 ；
问题探究：
（2）如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M，N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在（1）中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？若存在，求出△PMN周长的最小值；若不存在，请说明理由；
问题解决：
（3）如图3，正方形ABCD边长为4，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M，N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．
【分析】（1）当P与O重合时，PA的值最小最小值＝2，当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4；
（2）存在．如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．由PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，推出点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，由∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，推出∠EAF＝2∠BAC＝90°，由PA＝PE＝PF，推出△EAF是等腰直角三角形，由PA的最小值为2可得线段EF的最小值为8，由此即可解决问题；
（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．由△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，推出S四边形AMPN＝S△AEM+S△ANF＝S△AEF﹣S△AMN，由此可知△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4，
∴当P与O重合时，PA的值最小，最小值＝2，
当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，
∴2≤PA≤4．
故答案为2≤PA≤4．
（2）存在．
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．
∵PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，
∵AE＝AF，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵PA的最小值为2，
∴线段EF的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值为4．
（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．
由题意点P在⊙A上，
∵△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，
∴S四边形AMPN＝S△AEM+S△ANF＝S△AEF﹣S△AMN，
∵PA＝AE＝AF＝4，
∴S△EAF＝8，
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时，△AMN的面积最小，此时OA＝2，OM＝ON＝OP＝4﹣2，
∴MN＝8﹣4，
∴S△AMN＝×（8﹣4）×2＝8﹣8，
∴四边形AMPN的面积的最大值＝8﹣（8﹣8）＝16﹣8．
【点评】本题考查四边形的综合题，正方形的性质、轴对称变换、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用对称变换，解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400