2022年初中数学解题模型之图形认识初步-直线及其交点的数量问题（含答案）

这是一份2022年初中数学解题模型之图形认识初步-直线及其交点的数量问题（含答案），共18页。
初中数学解题模型之图形认识初步（直线及其交点的数量问题）
一．选择题（共10小题）
1．经过四个点中的每两个点画直线共可以画（ ）
A．2条，4条或5条 B．1条，4条或6条
C．2条，4条或6条 D．1条，3条或6条
2．平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画（ ）
A．1条直线 B．4条直线
C．6条直线 D．1条或4条或6条直线
3．（2007•长沙）经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条
4．（2008秋•台州期末）在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四个点的位置关系是（ ）
A．四点在同一直线 B．有且只有三点共线
C．任意三点都不共线 D．以上答案都不对
5．（2015秋•张掖校级月考）经过同一平面内任意三点中的两点共可以画出（ ）
A．一条直线 B．两条直线
C．一条或三条直线 D．三条直线
6．（2011春•城关区校级期中）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．2，3，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
7．（2015秋•东阳市期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
8．在同一平面内任意画四条互不相重合的直线，那么它们的交点最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．（2012秋•宁波期末）阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
10．（2017春•锦江区校级期中）平面内互不重合的三条直线的交点个数是（ ）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
二．填空题（共17小题）
11．（2007•云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为 ．
12．（2011秋•惠山区期末）若平面内有A、B、C三点，过其中任意两点画直线，最多可以画 条直线，最少可以画 条直线．
13．（2009秋•镇江期末）平面内有三个点A，B，C，经过其中的每两点画直线，可以画 条．
14．在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么8条直线两两相交，最多有 个交点．
15．（2015秋•东西湖区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若5条直线相交，最多有 个交点．
16．（2015秋•安丘市校级月考）5条直线两两相交，最多有 个交点．
17．（2014秋•平南县期末）平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b＝ ．
18．已知平面上四个点，过其中两点画直线，最多能画 条直线．
19．有四个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画 条直线．
20．（2005•资阳）已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2＝1，S3＝3，S4＝6，S5＝10，…，由此推断，Sn＝ ．
21．（2018秋•东坡区期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点．
22．（2019秋•历下区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若n条直线相交，最多有 个交点．
23．（2016秋•南漳县期末）两条直线相交，有1个交点．三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交，最多有 个交点．
24．（2019秋•衢州期末）如图1，两条直线相交，以交点为端点的射线有4条；如图2，三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条；如图3，四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条．那么六条直线相交，以交点为端点的射线最多有 条．

25．（2015•杭州模拟）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，八条直线相交最多有 个交点．

26．（2014秋•北流市期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，二十条直线相交最多有 个交点．

27．（2016秋•海拉尔区期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点．


初中数学解题模型之图形认识初步（直线及其交点的数量问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．经过四个点中的每两个点画直线共可以画（ ）
A．2条，4条或5条 B．1条，4条或6条
C．2条，4条或6条 D．1条，3条或6条
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分类画出图形即可求得画的直线的条数．
【解答】解：如下图，分以下三种情况：

故经过四个点中的每两个点画直线共可以画1条，4条或6条，
故选：B．
【点评】此类题没有明确平面上四点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
2．平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画（ ）
A．1条直线 B．4条直线
C．6条直线 D．1条或4条或6条直线
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分四点在同一直线上，当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，当没有三点共线时三种情况讨论即可．
【解答】解：分三种情况：
1、四点在同一直线上时，只可画一条；
2、当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；
3、当没有三点共线时，可画6条；
故选：D．
【点评】此类题没有明确平面上四点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
3．（2007•长沙）经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分两种情况：①三点在同一直线上时，只能作出一条直线；
②三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条．
【解答】解：①当三点在同一直线上时，只能作出一条直线；
②三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条；
故选：A．
【点评】两点可确定一条直线，注意分类讨论．
4．（2008秋•台州期末）在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四个点的位置关系是（ ）
A．四点在同一直线 B．有且只有三点共线
C．任意三点都不共线 D．以上答案都不对
【考点】直线、射线、线段．
【分析】先画出图形，再据图回答．
【解答】解：（1）

（2）

（3）


如图，因为仅能画出四条直线，所以选图（2），故选：B．
【点评】解答此题要熟知以下概念并要数形结合．
直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹，向两个方向无限延伸．
公理：两点确定一条直线．
5．（2015秋•张掖校级月考）经过同一平面内任意三点中的两点共可以画出（ ）
A．一条直线 B．两条直线
C．一条或三条直线 D．三条直线
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】根据交点个数来判断，然后选取答案．
【解答】解：有两种情况，一种是三点共线时，只有一条，另一种是三点不共线，有三条；故选：C．
【点评】此类题没有明确平面上三点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
6．（2011春•城关区校级期中）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．2，3，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】利用分情况讨论求解．
【解答】解：分四种情况：1、三条直线平行，有0个交点，
2、三条直线相交于同一点，有1个交点，
3、一条直线截两条平行线有2个交点，
4、三条直线两两相交有3个交点．
故选：C．
【点评】此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
7．（2015秋•东阳市期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
【考点】直线、射线、线段．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【解答】解：分四种情况：1、三条直线平行，有0个交点，
2、三条直线相交于同一点，有1个交点，
3、一条直线截两条平行线有2个交点，
4、三条直线两两相交有3个交点．
如图所示：

故选：C．
【点评】此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
8．在同一平面内任意画四条互不相重合的直线，那么它们的交点最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】直线、射线、线段．
【分析】最多时，每两条就有一个交点，作图后查处交点个数．
【解答】解：如图，最多可有6个交点；
故选：C．

【点评】本题主要考查直线、射线、线段的知识点，注意每两条直线就有一个交点．
9．（2012秋•宁波期末）阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】结合图形，找规律解答即可．
【解答】解：设直线由n条，交点有m个．
有以下规律：
直线n条交点m个
2 1
3 1+2
4 1+2+3
：
：
：
n m＝1+﹣﹣﹣+（n﹣1）＝
十条直线相交有＝45个；
故选：B．
【点评】根据图形，寻找规律，将几何问题转化为代数题来解．
10．（2017春•锦江区校级期中）平面内互不重合的三条直线的交点个数是（ ）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
【考点】相交线．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【解答】解：由题意画出图形，如图所示：

故选：D．
【点评】本题考查了直线的交点个数问题．此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
二．填空题（共17小题）
11．（2007•云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为 3 ．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】考查直线公理：过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线．同一平面内不在同一直线上的3个点，可画3条直线，三点在同一条直线上时，能画一条直线．
【解答】解：同一平面内不在同一直线上的3个点，可画三条直线．
【点评】注意对直线与点的关系，也可画出图形，找出正确结果．
12．（2011秋•惠山区期末）若平面内有A、B、C三点，过其中任意两点画直线，最多可以画 3 条直线，最少可以画 1 条直线．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，即可看出答案．
【解答】
解：如图最多可以画3条直线，最少可以画1条直线；
【点评】本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．
13．（2009秋•镇江期末）平面内有三个点A，B，C，经过其中的每两点画直线，可以画 1或3 条．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分两种情况：若三个点A，B，C共线，若三个点A，B，C不共线讨论即可．
【解答】解：根据题意分析可得：若三个点A，B，C共线，经过其中的每两点画直线，可以画1条．
若三个点A，B，C不共线，经过其中的每两点画直线，可以画3条．
【点评】本题考查与直线、线段、射线相关的几何图形的性质．
14．在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么8条直线两两相交，最多有 28 个交点．
【考点】相交线．
【专题】规律型．
【分析】在同一平面内，n条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解答】解：交点的个数为＝28，故答案为28个．
【点评】能够求解同一平面内，直线两两相交的交点的个数．
15．（2015秋•东西湖区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若5条直线相交，最多有 10 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】根据每两条直线就有一个交点，可以列举出所有情况后再求解．
【解答】解：两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点，此时要求第3条直线不过前2条直线的交点；四条直线相交，最多有6个交点；仍要求不存在交点重合的情况，据此可推得：若5条直线相交，最多有6+4＝10个交点，即与前4条都相交，即增加了4个交点；共10个交点．
或者代入公式S＝n（n﹣1）＝×5×4＝10求解．
故应填10．
【点评】本题考查直线的相交情况，要细心，查找时要不重不漏；同时也可以借助规律，利用公式求解．
16．（2015秋•安丘市校级月考）5条直线两两相交，最多有 10 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】5条直线两两相交，有5种位置关系，画出图形，进行解答．
【解答】解：若5条直线两两相交，其位置关系有5种，如图所示：

则交点的个数有1个，或5个，或6个，或8个，或10个．
所以最多有10个交点，
故答案为：10
【点评】本题主要考查了直线两两相交时交点的情况，关键是画出图形．
17．（2014秋•平南县期末）平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b＝ 4 ．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】计算题．
【分析】分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，则即可求得a+b的值．
【解答】解：∵平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，
∴a+b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查与直线、线段、射线相关的几何图形的性质．
18．已知平面上四个点，过其中两点画直线，最多能画 6 条直线．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】画出图形即可确定能画的直线的条数．
【解答】解：如图，可画6条直线．

【点评】只有在任意三点不在同一直线时，才能画出最多的直线．
19．有四个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画 6 条直线．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】从基本图形开始画，比较每一次比上一次增加了多少条直线，探索点的个数与直线条数的规律．
【解答】解：经过两个点可以画1条直线，
经过三个点（不在一条直线上），可以画1+2＝3条直线，
经过四个点（每三个点都不在一条直线上），过其中每两个点画直线，
可以画1+2+3＝＝6条直线．
【点评】本题是探索规律题，有m个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画条直线．
20．（2005•资阳）已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2＝1，S3＝3，S4＝6，S5＝10，…，由此推断，Sn＝ ．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】分析数据后总结规律，再进行计算．
【解答】解：∵S2＝1＝，
S3＝3＝1+2＝，
S4＝6＝1+2+3＝，
∴Sn＝1+2+3+…+（n﹣1）＝．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
21．（2018秋•东坡区期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 28 个交点．
【考点】相交线．
【专题】压轴题；规律型；数据分析观念；模型思想．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有 个交点，代入即可求解．
【解答】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点，
∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ＝28．
故答案为：28．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．
22．（2019秋•历下区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若n条直线相交，最多有 个交点．
【考点】相交线；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有1+2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝个交点；
故答案为：．

【点评】此题考查了直线相交的交点个数，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，可以激发同学们的学习兴趣．
23．（2016秋•南漳县期末）两条直线相交，有1个交点．三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交，最多有 6 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时的交点个数．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点，
故答案为：6
【点评】此题考查了直线相交的交点个数，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，可以激发同学们的学习兴趣．
24．（2019秋•衢州期末）如图1，两条直线相交，以交点为端点的射线有4条；如图2，三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条；如图3，四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条．那么六条直线相交，以交点为端点的射线最多有 60 条．

【考点】相交线；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】可以从数字找规律，即可解答．
【解答】解：两条直线相交，以交点为端点的射线有4条，4＝2×（2×1），
三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条，12＝3×（2×2），
四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条，24＝4×（2×3），
那么，六条直线相交，以交点为端点的射线最多有：6×（2×5）＝60条，
故答案为：60．
【点评】本题考查了相交线，规律型：图形的变化类，一般有两种思路，可以从图形找规律，还可以从数字找规律．
25．（2015•杭州模拟）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，八条直线相交最多有 28 个交点．

【考点】规律型：图形的变化类；相交线．
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，由此代入得出答案即可．
【解答】解：3条直线相交最多有1+2＝3个交点，
4条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，
5条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点，
…
n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，
八条直线相交最多有×8×（8﹣1）＝28个交点．
故答案为：28．
【点评】此题考查图形的变化规律，培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
26．（2014秋•北流市期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，二十条直线相交最多有 190 个交点．

【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】根据交点公式进行计算即可得解．
【解答】解：二十条直线相交最多有交点＝190个．
故答案为：190．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记公式是解题的关键．
27．（2016秋•海拉尔区期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有 15 个交点，n条直线相交最多有 个交点．

【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；
根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解．
【解答】解：三条直线交点最多为1+2＝3个，
四条直线交点最多为3+3＝6个，
五条直线交点最多为6+4＝10个，
六条直线交点最多为10+5＝15个；
n条直线交点最多为1+2+3+…+（n﹣1）＝．
故答案为：15；．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，发现规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键．

考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
3．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．