苏科版七年级下册第9章 从面积到乘法公式综合与测试精练

这是一份苏科版七年级下册第9章 从面积到乘法公式综合与测试精练，共19页。
2021-2022学年第9章：《整式乘法与因式分解》
高频易错题
一、 单选题
1．（2022•合肥一模）已知a、b、c均为实数，且满足a+b+c＝15，ab+ac＝50，则b+c﹣a的值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．5或﹣5 D．3或 7
2．（2022春•射阳县校级月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．6x2y＝2x•3xy B．x2+4x+1＝x（x+4）+1
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 D．x3﹣2xy＝x（x2﹣2y）
3．（2022春•阜宁县校级月考）下列算式：①3a3•（2a2）2＝12a12；②（2×103）（×103）＝106；③﹣3xy•（﹣2xyz）2＝12x3y3z2；④4x3•5x4＝9x12．其中，正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（　　）
A．98 B．49 C．14 D．7
5．（2021秋•望城区期末）如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）
A．20 B．±20 C．10 D．±10
6．（2021秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含x2项，则a的值等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14
7．（2021秋•井研县期末）如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）
8．（2021春•南城县期中）若M＝（x2+2x）（x2﹣2x），N＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），则M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
9．（2021春•长兴县月考）如图，长为50cm，宽为x（cm）的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y（cm）．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为（　　）

A．5 B． C． D．10
10．（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．255054 B．255064 C．250554 D．255024
二、 填空题
11．（2021秋•昌江区校级期末）若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝　 　．
12．（2022春•牡丹区月考）如图，我们知道（a+b）n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第n+1行中的每一项，给出了“杨辉三角”的前7行，如第4行对应的等式为：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，照此规律，计算：26+6×25+15×24+20×23+15×22+6×2+1＝　 　．

13．（2021秋•仁寿县期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于 　 　．
14．（2021秋•潮安区期末）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是　 　，最大值是　 　．
15．（2021秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝　 　．
16．（2021秋•通榆县期末）若25x2﹣mxy+9y2是完全平方式，则m的值为　 　．
17．（2021春•临清市期中）符号：“”称为二阶行列式，规定它的运算法则是＝ac﹣bd，例如 ＝2×4﹣3×5＝﹣7，那么＝　 　．
18．（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 　 　．

19．（2021春•姜堰区期末）如图，AB＝5，C为线段AB上一点（AC＜BC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，S△BEF﹣S△AEC＝，则S△BEC＝　 　．

20．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是　 　．（填正确的序号）
21．（2020春•新吴区校级期中）已知a+＝﹣2，则＝　 　，＝　 　．
22．（2019春•吴江区期中）已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　 　．
三、解答题
23．（2022春•亭湖区校级月考）把下列各式分解因式：
（1）25（a+b）2﹣16（a﹣b）2； （2）16x4﹣8x2y2+y4．


24．（2021秋•滑县期末）分解因式：
（1）（m+n）2﹣6（m+n）+9；（2）x3﹣x；

（3）（a﹣b）（5a+2b）﹣（a+6b）（a﹣b）．


25．（2022•九龙坡区校级开学）对于任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F（m）．例如“智慧数”m＝1234，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．
（1）计算：F（2131）＝　 　；F（5876）＝　 　；
（2）若“智慧数”n＝7800+10x+y（1≤x≤5，1≤y≤9，x，y都是正整数），F（n）也是“智慧数”，且F（n）能被12整除，求满足条件的n的值．
26．（2021春•义乌市期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝　 　．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？








27．（2021春•邗江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　 　．b＝　 　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．

参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵a+b+c＝15，
∴b+c＝15﹣a，
∵ab+ac＝50，
∴a（15﹣a）＝50，
解得a＝10或a＝5，
∴b+c﹣a＝15﹣a﹣a＝15﹣2a，
当a＝10时，b+c﹣a＝15﹣20＝﹣5，
当a＝5时，b+c﹣a＝15﹣10＝5，
故选：C．
2．【解答】解：A．原式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：①3a3•（2a2）2＝12a7，不合题意；
②（2×103）（×103）＝106，正确，符合题意；
③﹣3xy•（﹣2xyz）2＝﹣12x3y3z2，不合题意；
④4x3•5x4＝20x7，不合题意；
故选：B．
4．【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，
∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，
∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，
∴k＝13，p＝6，
∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，
故选：B．
5．【解答】解：∵4x2+2kx+25＝（2x±5）2，
∴2kx＝±2×2x•5＝±20x，
∴k＝±10，
故选：D．
6．【解答】解：（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）
＝2x4﹣ax3﹣4x2﹣2x3+ax2+4x+10x2﹣5ax﹣20
＝2x4﹣（a+2）x3+（a+6）x2+（4﹣5a）x﹣20，
∵展开式中不含x2项，
∴a+6＝0，
∴a＝﹣6，
故选：A．
7．【解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
故选：C．
8．【解答】解：M﹣N＝（x2+2x）（x2﹣2x）﹣（x2+x+1）（x2﹣x+1）
＝x4﹣4x2﹣[（x2+1）+x][（x2+1）﹣x]
＝x4﹣4x2﹣[（x2+1）2﹣x2]
＝x4﹣4x2﹣（x4+2x2+1﹣x2）
＝x4﹣4x2﹣x4﹣2x2﹣1+x2
＝﹣5x2﹣1．
∵x2≥0，
∴﹣5x2≤0．
∴﹣5x2﹣1＜0．
即M﹣N＜0．
∴M＜N．
故选：B．
9．【解答】解：SA＝（x﹣2y）（50﹣3y）＝50x﹣3xy﹣100y+6y2，
SB＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3xy﹣150y+9y2，
SA﹣SB＝（50x﹣3xy﹣100y+6y2）﹣（ 3xy﹣150y+9y2）＝50x﹣6xy+50y﹣3y2；
∵SA﹣SB与x 的取值无关，
∴50x﹣6xy＝0，
∴50﹣6y＝0，
解得y＝．
故选：B．
10．【解答】解：（方法一）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，
则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．
（方法二）由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，可知第n个和谐数为8n，则2017以内最后一个和谐数为2016．
8+16+24+…+2016＝＝255024．
故选：D．
二．填空题
11．【解答】解：∵a3+2a2+2a+1＝0，
∴（a+1）（a2+a+1）＝0，
∴a+1＝0或a2+a+1＝0，
当a+1＝0时，a2021+a2022+a2023＝﹣1+1+（﹣1）＝﹣1；
∵a2+a+1＝（a+）2+≠0，
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：由题得，26+6×25+15×24+20×23+15×22+6×2+1＝（2+1）6＝36＝729．
故答案为：729．
13．【解答】解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]
＝×6
＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab（c﹣1）＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
15．【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得
x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
﹣2n＝6，m＝n﹣2．
解得n＝﹣3，m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
16．【解答】解：由25x2﹣mxy+9y2＝（5x±3y）2，
解得m＝±30．
17．【解答】解：
＝x3•（﹣3x）﹣6x2•x2
＝﹣x4﹣x4
＝﹣3x4，
故答案为：﹣3x4．
18．【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，
∴2ab+b2＝6b2，
∴．
故答案为：．
19．【解答】解：设正方形AEDC的边长是a，则则正方形BCFG的边长是5﹣a，
则AE＝DE＝DC＝AC＝a，CF＝FG＝BG＝BC＝5﹣a，
∵S△BEF＝S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF，
∵S△BEF﹣S△AEC＝，
∴S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF﹣S△AEC＝，
∴a2+（5﹣a）2+（5﹣a﹣a）a﹣×5×a﹣（5﹣a）2﹣a2＝，
即﹣10a+20＝0，
解得：a＝2，
当a＝2时，AE＝2，BC＝5﹣2＝3，
S△BCE＝＝3，
即△BEC的面积是3，
故答案为：3．

20．【解答】解：∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x×2y＝ab，故①正确；
∵a2•a4＝a6＝56，
∴a＝±5，故②错误；
∵x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，
∴﹣（k+2）x＝±2•x•2，
∴k＝2或﹣6，故③错误；
解方程组得：，
∵方程组的解是自然数，
∴，
解得：3≤k≤5，
∴自然数为3，4，5，
即关于x，y的方程组的自然数解有3对，故④错误；
即正确的有①，
故答案为：①．
21．【解答】解：∵a+＝﹣2，两边平方得：＝2，
∴对其两边进行平方得；＝2，
∵＝（）（）＝（a+）（a﹣）×2，
∵＝﹣2＝2﹣2＝0，
∴a﹣＝0，
故（a+）（a﹣）×2＝0．
故答案为：2，0．
22．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝1+4+1
＝6
故答案为6．
三．解答题
23．【解答】解：（1）25（a+b）2﹣16（a﹣b）2
＝[5（a+b）﹣4（a﹣b）][5（a+b）+4（a﹣b）]
＝（5a+5b﹣4a+4b）（5a+5b+4a﹣4b）
＝（a+9b）（9a+b）；
（2）16x4﹣8x2y2+y4
＝（4x2﹣y2）2
＝（2x+y）2（2x﹣y）2．
24．【解答】解：（1）原式＝[（m+n）﹣3]2
＝（m+n﹣3）2；
（2）原式＝x（x2﹣1）
＝x（x+1）（x﹣1）；
（3）原式＝（a﹣b）（5a+2b﹣a﹣6b）
＝（a﹣b）（4a﹣4b）
＝4（a﹣b）2．
25．【解答】解：（1）F（2131）＝（213+211+231+131）÷3＝262；
F（5876）＝（587+586+576+876）÷3＝875；
故答案为：262；875；
（2）∵“智慧数”n＝7800+10x+y＝7×1000+8×100+10x+y，
∴数n的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x，个位上的数为y，
∴F（n）＝（780+x+780+y+700+10x+y+800+10x+y）÷3＝1020+7x+y，
∵1≤x≤5，1≤y≤9，
∵F（n）也是“智慧数”，且F（n）能被12整除，
∴可设F（n）＝1020+7x+y＝12k，即F（n）是3的倍数，也是4的倍数，
∴4k＝＝340+＝340+2x+，且是4的倍数，
当x＝1时，y可取2，5，8，此时＝343（舍）或344或345（舍），此时F（n）＝1032，符合定义，n＝7815；
当x＝2时，y可取1，4，7，此时＝345（舍）或346（舍）或347（舍），无符合题意的n；
当x＝3时，＝340+7+，y可取3，6，9，此时＝348或349（舍）或350（舍），此时F（n）＝7833，不符合题意；
当x＝4时，y可取2，5，8，此时＝350（舍）或351（舍）或352，此时F（n）＝1056，n＝7848，
当x＝5时，y可取1，4，7，此时＝352或353（舍）或354（舍），此时F（n）＝1056，n＝7851，
综上，符合题意的点n值为7815或7848或7851．
26．【解答】解：（1）∵大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
又∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）由（1）得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac），
∵a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝225﹣2×35＝155，
故答案为：155．
（3））∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴x＝2，y＝2，z＝5，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9．
（4）由图可知，S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG，
∴S阴影＝＝＝，
将a+b＝12，ab＝20代入，
得原式＝．
∴阴影部分的面积为42．
27．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
解得a＝1，b＝0；
（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0
即：（x﹣y）2+（y+3）2＝0
则：x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：x＝y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3＝7；