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安徽省合肥一六八教育集团2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题(word版含答案)
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这是一份安徽省合肥一六八教育集团2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题(word版含答案)，共20页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
安徽合肥市一六八中学2021-2022学年八下期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≠3
2．下列根式中，与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+2（b﹣13）2+|c﹣5|＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形
7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为﹣2，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a元降为b元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．a（1+x）2＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1﹣2x）2＝b D．a（1﹣x2）＝b
9．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形E的边长是（ ）
A．18 B．8 C． D．
10．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．2 D．3
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．当a＝﹣2时，二次根式的值是 ．
12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是﹣1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
13．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，且7m2﹣14m+a＝1，则a的值等于 ．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，
(1)线段AB的长度为 ； （2）△APB的面积为
三．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．计算：（1） （2）．
16．解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
四．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高.
18．若规定两数a、b通过运算“※”，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
（1）求※的值； （2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值．
五．（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
20．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
六、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
八、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值．
安徽合肥市一六八中学2021-2022学年八下期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：A．
2．下列根式中，与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先化简二次根式，再根据定义判断解可得．
【解答】解：∵＝2，
∴与为同类二次根式的是，
故选：B．
3．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，代入公式求出即可，当Δ＞0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值得出△的符号．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，
故选：D．
4．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：，故选项A错误；
＝2﹣，故选项B错误；
＝，故选项C正确；
＝3，故选项D错误；
故选：C．
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+2（b﹣13）2+|c﹣5|＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后利用勾股定理逆定理判断即可．
【解答】解：由题意得，a﹣12＝0，b﹣13＝0，c﹣5＝0，
解得a＝12，b＝13，c＝5，
∵52+122＝169＝132，
∴a2+c2＝b2，
∴∠ABC＝90°，
故选：B．
7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为﹣2，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
【解答】解：∵x＝﹣2是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得（﹣2）2+2k﹣6＝0，
解此方程得到k＝1．
故选：A．
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a元降为b元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．a（1+x）2＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1﹣2x）2＝b D．a（1﹣x2）＝b
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是a（1﹣x），第二次后的价格是a（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
a（1﹣x）2＝b．
故选：B．
9．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形E的边长是（ ）
A．18 B．8 C． D．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝22+32，y2＝22+12，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2，则可求出答案．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18，
∴最大正方形E的边长为3．
故选：D．
10．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．2 D．3
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，故PE+PC＝AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC＝3，
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE＝＝＝3，
∴PE+PC的最小值是3．
故选：D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．当a＝﹣2时，二次根式的值是 ．
【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可得解为2．
【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝2．
12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是﹣1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
【分析】先估算出的大小，再估算﹣1的大小，即可得出整数n的值．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
又n＜﹣1＜n+1，
∴n＝1．
故答案为：1．
13．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，且7m2﹣14m+a＝1，则a的值等于 ．
【分析】由m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，将x＝m代入方程得到关于m的关系式，将m满足的关系式7m2﹣14m+a＝1移项后，方程两边同时除以7，与得到的m关系式对比两等式的左边后，根据多项式相等的条件列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴将x＝m代入方程得：m2﹣2m﹣1＝0，
又∵m满足7m2﹣14m+a＝1，即7(m2﹣2m)+a＝1，
∴7+a＝1，即a＝﹣6，
解得：a＝﹣6．
故答案为：﹣6．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，
(1)线段AB的长度为 ； （2）△APB的面积为
【分析】如图，作辅助线；证明△ACD≌△BCP，得到AD＝PB＝，由勾股定理的逆定理可证∠ADP＝90°，进而证明∠APD＝45°，结合∠DPC＝45°，运用三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠DCP＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCP，
在△ACD与△BCP中，
，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝PB＝；
∵∠DCP＝90°，DC＝PC＝1，
∴DP2＝2，
∴DP＝AD＝，
∵AP2＝4＝AD2+DP2，
∴∠ADP＝90°，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴∠APD＝45°，而∠DPC＝45°，
∴∠APC＝90°，即AP⊥CP；
∵∠ADC＝∠ADP+∠CDP＝135°＝∠CPB，
∴∠CPB+∠DPC＝180°，
∴点P，点B，点D共线，
∵BD＝BP+PD＝2，AD＝，
∴AB＝＝，
∵S△ADB＝×2×＝2，
∴S△ABP＝1．
三．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．计算：（1） （2）．
【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、二次根式的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）
＝+2
＝；
（2）
＝3﹣2+6
＝7．
16．解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
所以x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
四．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高.
【分析】（1）根据勾股定理得到AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，再根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）用正方形的面积减去3个三角形的面积,利用等面积法即可求解．
【解答】解：（1 ）△ABC是直角三角形，理由：
∵正方形小方格边长为1，
∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）设BC边上的高为h，
△ABC 的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，
×h×5＝5；
∴h＝2．
18．若规定两数a、b通过运算“※”，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
（1）求※的值； （2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值．
【分析】根据给出的定义，转化成我们熟悉的运算进行即可．（1）化简求值；（2）解方程．
【解答】解：（1）※＝4××，
＝4×2，
＝8；
（2）x※x+2※x﹣2※4＝0变形为4x2+8x﹣32＝0，
即x2+2x﹣8＝0，
（x+1）2＝9，
x＝2或﹣4，
x1＝2，x2＝﹣4．
五．（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，36代入其中，求出x的值即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，52平方米有解则能，否则不能．
【解答】解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）米，
∴﹣3x2+24x＝36，
解得x1＝2，x2＝6，
当x＝2时，24﹣3x＝18＞15，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝6＜15，符合题意，
故AB的长为6米．
（2）不能，理由如下：
∴﹣3x2+24x＝52，整理得：3x2﹣24x+52＝0
∵△=242﹣4×3×52＜0，方程无实数根
∴不能围成面积52平方米的花圃．
20．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
六、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：每件商品应降价x元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（8x+48）＝504，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵有利于减少库存，
∴x＝3．
答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝ 14 ，b＝ 48 ，c＝ 50 ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ 2n ，b＝ n2﹣1 ，c＝ n2+1 ；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【分析】（1）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；
（2）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；
（3）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【解答】解：（1）当n＝7时，a＝2×7＝14，b＝72﹣1＝49﹣1＝48，c＝48+2＝50．
故答案为：14，48，50；
（2）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为：2n，n2﹣1，n2+1；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．证明如下：
∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∴以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．
八、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值．
【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；
（2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分CP＝CB、BP＝BC、CP＝CB、PC＝PB四种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BP，
在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝＝8（cm），
则PC＝8﹣PA，
由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，PA＝，
则t＝÷4＝；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
∴△ACP≌△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8（cm），
∴BG＝10﹣8＝（cm），
设CP＝xcm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝xcm，
∴Rt△BGP中，BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2
解得，x＝，
∴AC+CP＝（cm），
∴t＝÷4＝，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t＝（10+8+6）÷4＝6，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6；
（3）如图3，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
则4t＝8﹣6，
解得，t＝；
如图4，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷4＝5；
如图5，点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，
×AB×CD＝×BC×AC，即×10×CD＝×6×8，
解得，CD＝4.8，
在Rt△BCD中，BD＝＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷4＝5.3；
如图6，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷4＝；
综上所述，t为或5.3或5或时，△BCP为等腰三角形．
安徽合肥市一六八中学2021-2022学年八下期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≠3
2．下列根式中，与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+2（b﹣13）2+|c﹣5|＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形
7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为﹣2，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a元降为b元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．a（1+x）2＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1﹣2x）2＝b D．a（1﹣x2）＝b
9．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形E的边长是（ ）
A．18 B．8 C． D．
10．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．2 D．3
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．当a＝﹣2时，二次根式的值是 ．
12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是﹣1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
13．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，且7m2﹣14m+a＝1，则a的值等于 ．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，
(1)线段AB的长度为 ； （2）△APB的面积为
三．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．计算：（1） （2）．
16．解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
四．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高.
18．若规定两数a、b通过运算“※”，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
（1）求※的值； （2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值．
五．（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
20．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
六、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
八、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值．
安徽合肥市一六八中学2021-2022学年八下期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≠3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：A．
2．下列根式中，与为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先化简二次根式，再根据定义判断解可得．
【解答】解：∵＝2，
∴与为同类二次根式的是，
故选：B．
3．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，代入公式求出即可，当Δ＞0时，方程没有实数根．确定住a，b，c的值得出△的符号．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴方程没有实数根，
故选：D．
4．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解答】解：，故选项A错误；
＝2﹣，故选项B错误；
＝，故选项C正确；
＝3，故选项D错误；
故选：C．
6．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足+2（b﹣13）2+|c﹣5|＝0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．以c为底边的等腰三角形
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b、c的值，然后利用勾股定理逆定理判断即可．
【解答】解：由题意得，a﹣12＝0，b﹣13＝0，c﹣5＝0，
解得a＝12，b＝13，c＝5，
∵52+122＝169＝132，
∴a2+c2＝b2，
∴∠ABC＝90°，
故选：B．
7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为﹣2，则实数k的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
【解答】解：∵x＝﹣2是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得（﹣2）2+2k﹣6＝0，
解此方程得到k＝1．
故选：A．
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a元降为b元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A．a（1+x）2＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1﹣2x）2＝b D．a（1﹣x2）＝b
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是a（1﹣x），第二次后的价格是a（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
a（1﹣x）2＝b．
故选：B．
9．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形E的边长是（ ）
A．18 B．8 C． D．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2＝22+32，y2＝22+12，z2＝x2+y2，即最大正方形的面积为z2，则可求出答案．
【解答】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2＝22+32＝13；
y2＝12+22＝5；
z2＝x2+y2＝18；
即最大正方形E的面积为：z2＝18，
∴最大正方形E的边长为3．
故选：D．
10．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3 C．2 D．3
【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，故PE+PC＝AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC＝3，
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE＝＝＝3，
∴PE+PC的最小值是3．
故选：D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．当a＝﹣2时，二次根式的值是 ．
【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可得解为2．
【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝2．
12．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是﹣1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
【分析】先估算出的大小，再估算﹣1的大小，即可得出整数n的值．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
又n＜﹣1＜n+1，
∴n＝1．
故答案为：1．
13．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，且7m2﹣14m+a＝1，则a的值等于 ．
【分析】由m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，将x＝m代入方程得到关于m的关系式，将m满足的关系式7m2﹣14m+a＝1移项后，方程两边同时除以7，与得到的m关系式对比两等式的左边后，根据多项式相等的条件列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴将x＝m代入方程得：m2﹣2m﹣1＝0，
又∵m满足7m2﹣14m+a＝1，即7(m2﹣2m)+a＝1，
∴7+a＝1，即a＝﹣6，
解得：a＝﹣6．
故答案为：﹣6．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是△ABC内一点，且CP＝1，BP＝，AP＝2，以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰Rt△DCP，
(1)线段AB的长度为 ； （2）△APB的面积为
【分析】如图，作辅助线；证明△ACD≌△BCP，得到AD＝PB＝，由勾股定理的逆定理可证∠ADP＝90°，进而证明∠APD＝45°，结合∠DPC＝45°，运用三角形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠DCP＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCP，
在△ACD与△BCP中，
，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝PB＝；
∵∠DCP＝90°，DC＝PC＝1，
∴DP2＝2，
∴DP＝AD＝，
∵AP2＝4＝AD2+DP2，
∴∠ADP＝90°，
∴△ADP为等腰直角三角形，
∴∠APD＝45°，而∠DPC＝45°，
∴∠APC＝90°，即AP⊥CP；
∵∠ADC＝∠ADP+∠CDP＝135°＝∠CPB，
∴∠CPB+∠DPC＝180°，
∴点P，点B，点D共线，
∵BD＝BP+PD＝2，AD＝，
∴AB＝＝，
∵S△ADB＝×2×＝2，
∴S△ABP＝1．
三．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．计算：（1） （2）．
【分析】根据绝对值的性质、二次根式的性质、二次根式的混合运算法则计算．
【解答】解：（1）
＝+2
＝；
（2）
＝3﹣2+6
＝7．
16．解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
所以x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
四．（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求BC边上的高.
【分析】（1）根据勾股定理得到AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，再根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）用正方形的面积减去3个三角形的面积,利用等面积法即可求解．
【解答】解：（1 ）△ABC是直角三角形，理由：
∵正方形小方格边长为1，
∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）设BC边上的高为h，
△ABC 的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，
×h×5＝5；
∴h＝2．
18．若规定两数a、b通过运算“※”，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
（1）求※的值； （2）求x※x+2※x﹣2※4＝0中x的值．
【分析】根据给出的定义，转化成我们熟悉的运算进行即可．（1）化简求值；（2）解方程．
【解答】解：（1）※＝4××，
＝4×2，
＝8；
（2）x※x+2※x﹣2※4＝0变形为4x2+8x﹣32＝0，
即x2+2x﹣8＝0，
（x+1）2＝9，
x＝2或﹣4，
x1＝2，x2＝﹣4．
五．（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为10米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成花圃的面积为36平方米，求此时宽AB；
（2）能围成面积52平方米的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．
【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，36代入其中，求出x的值即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式，52平方米有解则能，否则不能．
【解答】解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）米，
∴﹣3x2+24x＝36，
解得x1＝2，x2＝6，
当x＝2时，24﹣3x＝18＞15，不合题意，舍去；
当x＝6时，24﹣3x＝6＜15，符合题意，
故AB的长为6米．
（2）不能，理由如下：
∴﹣3x2+24x＝52，整理得：3x2﹣24x+52＝0
∵△=242﹣4×3×52＜0，方程无实数根
∴不能围成面积52平方米的花圃．
20．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
六、(本大题共1小题，每小题12分，总计12分)
21．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
【分析】设每天要想获得504元的利润，且更有利于减少库存，设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：每件商品应降价x元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（8x+48）＝504，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵有利于减少库存，
∴x＝3．
答：每天要想获得504元的利润，每件应降价3元．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝ 14 ，b＝ 48 ，c＝ 50 ；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝ 2n ，b＝ n2﹣1 ，c＝ n2+1 ；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
【分析】（1）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；
（2）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；
（3）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【解答】解：（1）当n＝7时，a＝2×7＝14，b＝72﹣1＝49﹣1＝48，c＝48+2＝50．
故答案为：14，48，50；
（2）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为：2n，n2﹣1，n2+1；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．证明如下：
∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∴以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．
八、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，当△BCP为等腰三角形时，请直接写出t的值．
【分析】（1）连接BP，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程计算，得到答案；
（2）作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到CP＝GP，根据全等三角形的性质求出BG，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分CP＝CB、BP＝BC、CP＝CB、PC＝PB四种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BP，
在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝＝8（cm），
则PC＝8﹣PA，
由勾股定理得，PB2＝PC2+BC2，
当PA＝PB时，PA2＝（8﹣PA）2+62，
解得，PA＝，
则t＝÷4＝；
（2）如图2，作PG⊥AB于G，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，∠C＝90°，PG⊥AB，
∴CP＝GP，
∴△ACP≌△AGP（HL），
∴AG＝AC＝8（cm），
∴BG＝10﹣8＝（cm），
设CP＝xcm，则BP＝（6﹣x）cm，PG＝xcm，
∴Rt△BGP中，BG2+PG2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2
解得，x＝，
∴AC+CP＝（cm），
∴t＝÷4＝，
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t＝（10+8+6）÷4＝6，
综上所述，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为或6；
（3）如图3，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
则4t＝8﹣6，
解得，t＝；
如图4，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷4＝5；
如图5，点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，
×AB×CD＝×BC×AC，即×10×CD＝×6×8，
解得，CD＝4.8，
在Rt△BCD中，BD＝＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷4＝5.3；
如图6，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷4＝；
综上所述，t为或5.3或5或时，△BCP为等腰三角形．
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