2022年贵州省遵义市汇川区中考数学模拟试卷

这是一份2022年贵州省遵义市汇川区中考数学模拟试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年贵州省遵义市汇川区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）
1．（4分）下列各数中，是负数的是（　　）
A．|﹣3| B．﹣（﹣5） C．（﹣1）2 D．﹣22
2．（4分）下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其中是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（4分）我国60岁以上老年人总数达2.64亿人，截至2021年11月29日，60岁以上老年人新冠疫苗接种覆盖人数为2.15亿人，将2.15亿用科学记数法表示为（　　）
A．2.15×107 B．2.15×108 C．0.215×109 D．21.5×107
4．（4分）下列计算结果为a6的是（　　）
A．a2+a4 B．a12÷a2 C．（a4）2 D．a2•a4
5．（4分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC．若∠1＝40°，则∠ABC的大小为（　　）

A．20° B．40° C．70° D．80°
6．（4分）已知点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，则m整数的值是（　　）
A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4
7．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x＝2的两根，则x1•x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
9．（4分）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　）
A．1.8升 B．1.6升 C．18升 D．16升
10．（4分）如图是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个图形有13个星星，…，第18个图形的星星个数为（　　）

A．171 B．189 C．190 D．208
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①2a+b＝1；②4a﹣2b+c＞0；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a．其中正确结论的是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
12．（4分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若∠ACB＝60°，则弦AC的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请用黑色墨水笔或黑色签字笔将答案写在答题卡上相应的位置）
13．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　．
14．（4分）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是 　 　米．

15．（4分）如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为 　 　．

16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，P为直线AB上一动点．连接DP，以DP、DB为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝6．则CQ的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共86分。请用黑色墨水笔或黑色签字笔在答题卡上相应的位置答题，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：﹣2sin45°+（﹣）﹣2+|﹣2|．
（2）解方程：+1＝．
18．（8分）先化简，再求值：（a﹣1﹣）÷，请在﹣＜a＜的范围内选择一个合适的整数代入求值．
19．（10分）践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平总书记指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”遵义市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分（如图）．

甲校成绩：93 82 76 77 76 89 89 89 83 94 84 76 69 83 92 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 98 90 87 68 76
乙校成绩：85 61 79 91 84 92 92 84 63 90 89 71 92 87 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90补全表格：

平均数
中位数
众数
甲校
83.6
　 　
　 　
乙校
83.2
86
92
（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示，请补全表格；
（3）请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些，并根据（2）中的数据说明理由．
20．（10分）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　 　；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．

21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DE⊥BC交BC延长线于点E，CD平分∠ACE．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，DE＝4，求AC的长．

22．（12分）我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．
①求线段PD的最大值；
②若△PDQ≌△AHQ时，请求出此时点P的坐标．

24．（14分）已知△ABC与△DEC为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）【问题发现】如图1，若∠CAB＝∠CDE＝45°时，点D是线段AB上一动点，连接BE．则＝　 　，∠DBE＝　 　°；
（2）【类比探究】如图2，若∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，请求线段BE的长．



参考答案与解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满）
1．（4分）下列各数中，是负数的是（　　）
A．|﹣3| B．﹣（﹣5） C．（﹣1）2 D．﹣22
【分析】根据绝对值、相反数、有理数的乘方、负数的定义是解决本题的关键．
【解答】解：A．根据绝对值的定义，|﹣3|＝3＞0，那么|﹣3|是正数，故A不符合题意．
B．根据相反数的定义，﹣（﹣5）＝5＞0，那么﹣（﹣5）是正数，故B不符合题意．
C．根据有理数的乘方，（﹣1）2＝1＞0，那么（﹣1）2是正数，故C不符合题意．
D．根据有理数的乘方，﹣22＝﹣4＜0，那么﹣22是负数，故D符合题意．
故选：D．
2．（4分）下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其中是中心对称图形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：左起第一、第三、第四个图形都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
第二个图形能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
所以是中心对称图形的有1个．
故选：A．
3．（4分）我国60岁以上老年人总数达2.64亿人，截至2021年11月29日，60岁以上老年人新冠疫苗接种覆盖人数为2.15亿人，将2.15亿用科学记数法表示为（　　）
A．2.15×107 B．2.15×108 C．0.215×109 D．21.5×107
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：2.15亿＝215000000＝2.15×108．
故选：B．
4．（4分）下列计算结果为a6的是（　　）
A．a2+a4 B．a12÷a2 C．（a4）2 D．a2•a4
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2与a4不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a12÷a2＝a10，故B不符合题意；
C、（a4）2＝a8，故C不符合题意；
D、a2•a4＝a6，故D符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC．若∠1＝40°，则∠ABC的大小为（　　）

A．20° B．40° C．70° D．80°
【分析】由题意可得AC＝AB，从而可得∠ABC＝∠ACB，再由平行线的性质可得∠BAC＝∠1＝40°，由三角形的内角和即可求∠ABC的度数．
【解答】解：由题意得：AC＝AB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵l1∥l2，∠1＝40°，
∴∠BAC＝∠1＝40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ABC+∠ABC+40°＝180°，
解得：∠ABC＝70°．
故选：C．
6．（4分）已知点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，则m整数的值是（　　）
A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4
【分析】点在第三象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是负数．列出式子后可得到相应的整数解．
【解答】解：∵点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，
∴，
解得：2＜m＜5，
∴整数m的值是3，4．
故选：B．
7．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x＝2的两根，则x1•x2的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【分析】方程整理后，利用根与系数的关系求出所求即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣3x﹣2＝0，
∵x1，x2是方程的两根，a＝1，c＝﹣2，
∴x1•x2＝﹣2．
故选：B．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD＝2DE＝6，根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD＝6，根据含30度角的直角三角形的性质得出DC＝AD＝3，那么BC＝BD+DC＝9．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED＝90°，BD＝AD，
∵DE＝3，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝6，
∴AD＝BD＝6，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴DC＝AD＝3，
∴BC＝BD+DC＝6+3＝9．
故选：C．
9．（4分）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（　　）
A．1.8升 B．1.6升 C．18升 D．16升
【分析】先将单位换成升，根据“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”列方程可得结论．
【解答】解：根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则＝，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
答：可以换得的粝米为18升．
故选：C．
10．（4分）如图是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个图形有13个星星，…，第18个图形的星星个数为（　　）

A．171 B．189 C．190 D．208
【分析】把图案分为下面三角形和上面线段型两部分，分别求出它们的规律．
【解答】解：由题意可得，第n个图形中可分为上面是n个星星和下面摆成的三角形形状的共个星星，
∴第n个图形中共有星星的个数为：n+＝n+++1＝，
∴当n＝18时，＝＝162+45+1＝208，
故选：D．
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①2a+b＝1；②4a﹣2b+c＞0；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a．其中正确结论的是（　　）

A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【分析】①顶点坐标为（1，﹣4a），可得出对称轴x＝1，结合对称轴公式可得出2a+b＝0，故①错误；②根据二次函数的对称性可知，x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，即可判断②正确；③若y2＞y1，则x2＞4或 x2＜﹣2，故③错误；④二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1，﹣4a），得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，结合图象可知若0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，故④正确．
【解答】解：①二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象的顶点坐标为（1，﹣4a），
∴函数图象的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故①错误；
②由①知，函数图象的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴根据二次函数的对称性可知，x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，
故②正确；
③根据二次函数的对称性可知，x＝﹣2和x＝4对应的函数值相等，
∴点A（4，y1）关于x＝1对称的点的坐标为（﹣2，y1），
∴当y2＞y1时，x2＞4或x2＜﹣2，
故③错误；
④由①知b＝﹣2a，且当x＝1时，y＝﹣4a，
∴﹣4a＝a+b+c，
∴﹣4a＝a﹣2a+c，
∴c＝﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），
结合图象可知，若0≤x2≤4，则当x＝1时，y2取最小值，当x＝4时，y2取最大值，
∴当x＝1时，y2＝﹣4a，当x＝4时，y2＝5a，
故④正确；
故选：C．
12．（4分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为2，将劣弧沿AC折叠后刚好经过弦BC的中点D．若∠ACB＝60°，则弦AC的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为O′，则⊙O与⊙O′设等圆，∠ACD是公共的圆周角，所以可以证得AB＝AD，过A作AM⊥BC于M，则M为BD的中点，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的长度，由于D是BC中点，可以证明MC＝3BM，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为O′，连接O′A，O′D，
∴∠AO′D＝2∠ACB＝120°，
连接OA，OB，
同理，∠AOB＝120°，
∴∠AOB＝∠AO′D，
∵⊙O与⊙O′是等圆，
∴AB＝AD，
设⊙O的半径为R，
过O作OG⊥AB于G，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，AB＝2AG，
∴OG＝OA＝1，
∴AG＝＝，
∴AB＝2AG＝2，
如图2，过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AD，
∴可设BM＝DM＝x，则BD＝2x，
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD＝2x，
∴MC＝DM+CD＝3x，
∵AM⊥BC，∠ACB＝60°，
∴∠MAC＝30°，
在Rt△AMC中，AC＝2CM＝6x，
∴AB2+BM2＝AC2+CM2，
∴（2）2﹣x2＝（6x）2﹣（3x）2，
∴x＝（负值舍去），
∴AC＝．
故选：D．


二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请用黑色墨水笔或黑色签字笔将答案写在答题卡上相应的位置）
13．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣3且x≠2　．
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：∵x+3≥0，x﹣2≠0，
∴x≥﹣3且x≠2．
故答案为：x≥﹣3且x≠2．
14．（4分）如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则计算出树的高度是 　10　米．

【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，根据等腰三角形的性质得到AD＝CD＝20，由直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD＝CD＝20（米），
又∵∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝10（米），
∴树的高度为10米．
故答案为：10．
15．（4分）如图，已知点P是y轴正半轴上一点，过点P作EF∥x轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）图象的于点E和点F，以EF为对角线作平行四边形EMFN．若点N在x轴上，平行四边形EMFN的面积为10，则k的值为 　﹣6　．

【分析】连接OE、OF，利用反比例函数系数k的几何意义可得S△FOP＝|k|，S△EOP＝×|4|＝2，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S△EFN＝S△EFO，由平行四边形的面积为10可求出S△EFN＝S▱FNEM＝5，进而求出答案
【解答】解：连接OF、OE，

∵EF∥x轴，
∴S△EFN＝S△EFO，
又∵四边形FNEM是平行四边形，EF为对角线，
∴S△EFN＝S▱FNEM＝×10＝5，
由反比例函数系数k的几何意义得，
S△FOP＝|k|，S△EOP＝×|4|＝2，
又∵S△EFO＝S△FOP+S△EOP＝|k|+2＝5，
∴|k|＝6，
解得k＝﹣6，k＝6＞0（舍去），
故答案为：﹣6．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，P为直线AB上一动点．连接DP，以DP、DB为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝6．则CQ的最小值为 　　．

【分析】首先在△ACB中，由于AC＝4，∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，所以可以解△CAB，即可以过C作CO⊥AB于O，利用三勾股定理，求出AB的长度，同理，在△DAB中，过D作DH⊥AB于H，可以求出DH的长度，连接DQ交PB于M，过Q作QG⊥AB于G，可以证明△QGM≌△DHM，所以QG＝DH＝3，由此得到Q在平行于AB的直线上运动，且距离AB两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当C，O，Q三点共线时，CQ长度最小．
【解答】解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H，
在Rt△ACO中，∠CAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴AO＝AC＝3，
∴CO＝，
在Rt△BCO中，∠CBA＝45°，
∴BO＝CO＝3，
∴AB＝AO+BO＝，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
在Rt△DHB中，∠CBA＝45°，
∴可设DH＝HB＝a，
∴AD＝2DH＝2a，
∴AH＝，
∴AB＝AH+BH＝a+a，
∴，
∴a＝3，
∴DH＝3，
如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M，
∵四边形DPQB为平行四边形，
∴DM＝QM，
在△QGM与△DHM中，
，
∴△QGM≌△DHM（AAS），
∴QG＝DH＝3，
故Q到直线AB的距离始终为3，
所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为3，
根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3，
最小值为：CO+3＝，
故答案为．



三、解答题（本大题共8小题，共86分。请用黑色墨水笔或黑色签字笔在答题卡上相应的位置答题，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算：﹣2sin45°+（﹣）﹣2+|﹣2|．
（2）解方程：+1＝．
【分析】（1）根据特殊角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
（2）去分母转化为整式方程，求解后检验即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝6．
（2）去分母得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
故x＝1是原分式方程的解．
18．（8分）先化简，再求值：（a﹣1﹣）÷，请在﹣＜a＜的范围内选择一个合适的整数代入求值．
【分析】先计算括号内的，把（a﹣1）当作一个整体，分母为1，与进行通分运算，并把运算的结果进行因式分解，的分子进行因式分解，化为，与括号内的运算结果，先约分，再进行运算，最后找到与的整数部分，对两个无理数进行估算，可以确定能够代值的整数有﹣1，0，1，2四个，但是分母不能为0，所以a只能取0或1，任意选择一个进行代值运算．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∵，且a为整数，
∴a＝﹣1，0，1，2，
又∵分母不能为0，
∴a＝0或1，
当a＝0时，原式＝﹣1．
19．（10分）践行文化自信，让中华文化走向世界．习近平总书记指出，“提高国家文化软实力，要努力展示中华文化独特魅力”，要“把跨越时空、超越国度、富有永恒魅力、具有当代价值的文化精神弘扬起来，把继承传统优秀文化又弘扬时代精神、立足本国又面向世界的当代中国文化创新成果传播出去”遵义市甲、乙两校的学生人数基本相同，为了解这两所学校学生的中华文化知识水平，在同一次知识竞赛中，从两校各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行调查分析，其中甲校已经绘制好了条形统计图，乙校只完成了一部分（如图）．

甲校成绩：93 82 76 77 76 89 89 89 83 94 84 76 69 83 92 87 88 89 84 92 87 89 79 54 88 98 90 87 68 76
乙校成绩：85 61 79 91 84 92 92 84 63 90 89 71 92 87 92 73 76 92 84 57 87 89 88 94 83 85 80 94 72 90补全表格：

平均数
中位数
众数
甲校
83.6
　87　
　89　
乙校
83.2
86
92
（1）请根据乙校的数据补全条形统计图；
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示，请补全表格；
（3）请判断哪所学校学生的中华文化知识水平更好一些，并根据（2）中的数据说明理由．
【分析】（1）根据表格中的数据可以得到乙校，70﹣79的和60﹣69的各有多少人，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据表格中的数据将甲校的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数和众数；
（3）答案不唯一，理由需包含数据提供的信息；
（4）答案不唯一，理由需支撑推断结论．
【解答】解：（1）由表格可得，乙校70﹣79的有5人，60﹣69的有2人，
补全条形统计图，如下图：

（2）由条形统计图可得，
甲校数据按照从小到大排列是：54、68、69、76、76、76、76、77、79、82、83、83、84、84、87、87、87、88、88、89、89、89、89、89、90、92、92、93、94、98，
∴这组数据的中位数为＝87，众数为89；
故答案为：87；89；
（3）甲校的平均分高于乙校，说明总成绩甲校好于乙校，中位数甲校高于乙校，说明甲校一半以上的学生成绩较好；
（4）为进一步提高两所学校学生的中华文化知识水平，建议在课后多开展中华文化知识活动．
20．（10分）北京冬奥会将在2022年2月4日至20日举行，北京将成为奥运史上第一个举办过夏季奥运会和冬季奥运会的城市．小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的5张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将5张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是 　　；
（2）小明发明了一种“邮票棋”比胜负的游戏，用小亮的三种邮票当作5颗棋子，其中冬奥会会徽邮票记作A棋，吉祥物冰墩墩邮票记作B棋，吉祥物雪容融邮票记作C棋．
游戏规则：将5颗棋子放入一个不透明的袋子中，然后随机从5颗棋子中摸出1颗棋子，不放回，再摸出第2颗棋子．若摸到A棋，则小明胜；若摸到两颗相同的棋子，则小亮胜；其余情况视为平局，游戏重新进行，请你用列表或画树状图的方法验证这个游戏公平吗？请说明理由．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，求出两人获胜的概率，比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽取一张邮票是“吉祥物雪容融”的概率是，
故答案为：．
（2）此游戏不公平，理由如下：
列表如下：

A
B
B
C
C
A

（B，A）
（B，A）
（C，A）
（C，A）
B
（A，B）

（B，B）
（C，B）
（C，B）
B
（A，B）
（B，B）

（C，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）

（C，C）
C
（A，C）
（B，C）
（B，C）
（C，C）

由表知，共有20种等可能结果，其中摸到A棋的有8种结果，摸到两颗相同的棋子的有4种结果，
所以小明获胜的概率为＝，小亮获胜的概率为＝，
∵≠，
∴此游戏不公平．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，DE⊥BC交BC延长线于点E，CD平分∠ACE．
（1）求证DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，DE＝4，求AC的长．

【分析】（1）连接OD，利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明OD∥CE，即可解答；
（2）先证明△ADC∽△DEC，求出＝，然后在Rt△ADC中利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ODC＝∠DCE，
∴OD∥CE，
∴∠ODE+∠DEC＝180°，
∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC＝∠DEC＝90°，∠ACD＝∠DCE，
∴△ADC∽△DEC，
∴＝＝＝，
∴设AC＝3x，DC＝2x，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴36+（2x）2＝（3x）2，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴AC＝．
22．（12分）我区某中学计划举办以“百年党史学习”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励，现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价；
（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），写出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为b元，乙种奖品的单价为b元，根据“1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于b，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（50﹣x）件，根据题意可以写出y与x的函数关系式；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为b元，乙种奖品的单价为b元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；
（2）设购买两种奖品总费用为y（元），甲种奖品x（件），则购买乙种奖品（50﹣x）件，
依题意，得：y＝20x+10（50﹣x）＝10x+500，
即y与x的函数关系式：y＝10x+500；
（3）∵y＝10x+500，10＞0，
∴y随x的增大而增大，
依题意，得：50﹣x≤2x，
解得：x≥，
∴≤x≤50，
∵x是整数，
∴当x＝17时，y最小值＝10×17+500＝670（元），
50﹣17＝33（件），
∴当购买甲种奖品17件，乙种奖品33件时，所需费用最少，最少费用为670元．
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且C（1，0），OA＝OB＝3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线位于第二象限上的点，过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，交x轴于点H，过点P作PD⊥AB于点D．
①求线段PD的最大值；
②若△PDQ≌△AHQ时，请求出此时点P的坐标．

【分析】（1）由OA＝OB＝3，得到A（﹣3，0），B（0，3），解方程组得到二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠ABO＝∠BAO＝45°，求得PD＝PQ，当PQ取得最大值时，PD的值最大，设AB的解析式为y＝kx+n，得到y＝x+3设P（m，﹣m2﹣2m+3），根据二次函数的性质即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到DQ＝HQ，得到QH＝PQ，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
∵C（1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵PQ∥y轴，
∴PH⊥OA，
∴∠QHA＝45°，
∴∠PQD＝∠AQH＝45°，
∴△PQD是等腰直角三角形，
∴PD＝PQ，
∴当PQ取得最大值时，PD的值最大，
设AB的解析式为y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴m＝﹣时，PQ最长为，
∴线段PD的最大值为；
②∵△PDQ≌△AHQ，
∴DQ＝HQ，
∵DQ＝PQ，
∴QH＝PQ，
由①知，PH＝﹣m2﹣2m+3，PQ＝﹣m2﹣3m，
∴QH＝PH﹣PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m2﹣3m）＝m+3，
∴m+3＝（﹣m2﹣3m），
解得m＝﹣，m＝﹣3（不合题意舍去），
∴P（﹣，2+1），
故点P的坐标为（﹣，2+1）．

24．（14分）已知△ABC与△DEC为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）【问题发现】如图1，若∠CAB＝∠CDE＝45°时，点D是线段AB上一动点，连接BE．则＝　1　，∠DBE＝　90　°；
（2）【类比探究】如图2，若∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，请求线段BE的长．


【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，可得AC＝BC，CD＝CE，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，即可求解；
（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；
（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM＝BM＝3，即可求DE＝6，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BE＝AD，由勾股定理可求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，
∴＝1，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
故答案为：1，90；

（2），∠DBE＝90°．
理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC＝tan30°＝，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴，
∴，且∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，∠CBE＝∠CAD＝60°，
∴BE＝AD，∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴，∠DBE＝90°；

（3）若点D在线段AB上，如图，

由（2）知：，∠ABE＝90°，
∴BE＝AD，
∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°，
∴AB＝4，BC＝6，
∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，
∴CM＝BM＝DE，
∵△CBM是直角三角形，
∴CM2+BM2＝BC2＝62，
∴BM＝CM＝3，
∴DE＝6，
∵DB2+BE2＝DE2，
∴（4﹣AD）2+（AD）2＝72，
∴AD＝+3，
∴BE＝AD＝3+3，
若点D在线段BA延长线上，如图

同理可得：DE＝6，BE＝AD，
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（4+AD）2+（AD）2＝72，
∴AD＝3﹣，
∴BE＝AD＝3﹣3，
综上所述：BE的长为3+3或3﹣3．