人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用教案及反思

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第二十八章  锐角三角函数（二）解直角三角形及其应用知识点一  解直角三角形要点1.解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 要点2.解直角三角形的依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.（1）三边之间的关系：由勾股定理可得a2+b2=c2.（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.（3）边角之间的关系：sinA=；cosA=；tanA=. 要点3.解直角三角形的基本类型及解法在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c. 解直角三角形有四种基本类型：（1）斜边c、一直角边（如a）①；②由sinA=，求∠A；③∠B=90°-∠A；练：根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，c=4.    （2）两直角边（a、b）①；②由tanA=，求∠A；③∠B=90°-∠A；练：根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，b=.    （3）斜边c、一锐角（如∠A）              ①∠B=90°-∠A；②由sinA=，得a=c∙sinA；③由cosA=，得b=c∙cosA；练：根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，∠A=45°.     （4）一直角边、一锐角（如a，∠B）①∠B=90°-∠A；②由tanA=，得b=；③由sinA=，得c=；练：根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，∠B=60°.      要点4.解直角三角形的思路可概括为：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中；其意为：在已知或求解中，有斜边时，可用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；既可用乘法又可用除法时，用乘法不用除法；既可用原始数据又可用中间数据时，用原始数据，忌用中间数据.课堂练习1.根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=5.     2.根据下列条件，解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°，c=4，∠A=60°.     3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠CAB的平分线AD=，求∠B的度数及边BC、AB的长.      构造直角三角形解斜三角形若所求量不在直角三角形中，则需要构造直角三角形求解，常见的构造直角三角形的方法如下：①延长已知直角的直角边，构造平行线转化直角；②作三角形某边上的高，通过“补形”或“分割”的方法，把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形求解；（注意保留特殊角，简化计算）③不规则图形借助勾股定理，通过作辅助线切割成直角三角形；④通过作高把平行四边形或梯形转化为含有直角三角形的图形求解；⑤连接对角线把矩形、菱形或正方形化为含直角的三角形图形求解. 课堂练习1.如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°，求AC和AB的长.     2.如图所示，在△ABC中，AB=16，AC=，BC=，求∠B的度数.       3.如图所示，在Rt△ABD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，求tan∠CAD.      4.如图，BD是四边形ABCD的对角线，AB⟂BC，∠C=60°，AB=1，BC=，CD=.求∠ABD的度数和AD的长.       知识点二  解直角三角形在实际问题中的应用要点1.利用解直角三角形解决实际问题的步骤：（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案. 要点2.仰角、俯角当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角；如图所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把∠AOC称为仰角，∠BOC称为俯角.（“上仰下俯”）   练1：居家学习期间，小周同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度.如图，他利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°，又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6 m.求该大楼的高度(结果精确到0.1m).（参考数据:sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）       练2：如图，在一场马拉松比赛中，周某在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB=20米，求起点拱门CD的高度.（结果精确到1米，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°~0.82，tan 35°≈0.70）       练3：在数学活动课上，数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：①在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；②在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；③量出A、B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57；cos35°≈0.82；tan35°≈0.70）       要点3.方向角从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角.如图所示，OA所表示的方向角是北偏东        ，OB所表示的方向角是南偏东        ，OC所表示的方向角是南偏西        ，OD所表示的方向角是北偏西        .        练1：共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图所示的AB两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，A、B的距离为7km，求新建管道的总长度.（结果精确到0.1km，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，≈1.41）      练2：如图，一艘海轮在A点测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B点，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上（结果保留整数，参考数据: sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111）（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1)（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离.    练3：如图所示，两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45方向，B船测得渔船C在其南偏东53方向，已知A船的航速为30海里/时，B船的航速为25海里/时，则C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53≈，cos53≈，tan53≈，≈1.41）     要点4.坡度、坡角坡面的铅垂高度和水平长度的比叫做坡面的坡度(或坡比)记作i，即i=，坡度通常写成h:l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作，于是有i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡. 练1：如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=，则小车上升的高度是（    ）A.5米 ­    B.6米   C.6.5米    D.12米 练2：如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（    ）A.4.5m           B.4.6m  C.6m           D.2m 练3：如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1:2.5，斜坡CD的坡角为30°，则坝底AD的长度为        .（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732） 练4：如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i=5:12的斜坡AB，长度为26m，在坡顶B处有一个平台BF，BF//AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，在离B点6m远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF=60°，已知CD⟂AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的距离CD.（结果精确到01m，参考数据：≈1.414，≈1.732）