2021-2022学年浙江省金华市兰溪二中八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年浙江省金华市兰溪二中八年级（下）月考数学试卷（3月份）

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 二次根式中，的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送份小礼品，如果全班有名同学，根据题意列出方程为

A.  B.
C.  D.

5. 某校组织“国学经典”诵读比赛，参赛名选手的得分情况如表所示：

那么，这名选手得分的中位数和众数分别是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

6. 在样本方差的计算公式中，数字和分别表示样本的

A. 容量和方差 B. 标准差和平均数
C. 容量和平均数 D. 平均数和容量

7. 若、是实数，且，则的值是

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

8. 是关于的一次函数，则一元二次方程的根的情况为

A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

9. 若实数满足，化简的结果是

A.  B.  C.  D.

10. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 写出一个二次项系数为，两个根分别是与的一元二次方程______ ．
12. 已知等边三角形的边长是，这个等边三角形的高是______，面积是______．
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
14. 某种型号的手机，原售价元，经连续两次降价后，现售价为元台，则平均每次降价的百分率为______．
15. 若，，，这个数的平均数，方差，则，，，，这个数的平均数是______，方差是______．
16. 如图，在边长为的正方形中，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿和边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了          秒钟后，的面积等于．
     

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

17. 计算：
    
    求当，时，代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程：请选择恰当的方法解方程
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图所示，数轴上与，对应的点分别为，，点关于点的对称点为点，设点表示的数为，求的值．

20. 如图，世纪广场有一块长方形绿地，，，在绿地中开辟三条宽为的道路后，剩余绿地的面积为，求道路宽．

21. 已知中，，，．
    分别化简，的值；
    并在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上每个小方格的边长为；
    求最长边上的高．
     

22. 某实验中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
    根据上图填写下表：

根据上表数据你认为哪班的成绩较好？并说明你的理由；
乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？为什么？

23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
    请解决下列问题：
    当，且、、为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”；
    求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
    若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为．
    求、的值；
    若点恰好落在直线上，求的面积；
    将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线与直线的交点为，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
A.直接利用二次根式的性质化简得出答案；
B.直接利用立方根化简得出答案；
C.直接利用二次根式的加减运算法则化简得出答案；
D.直接利用二次根式的加减运算法则化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质、立方根，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

4.【答案】

【解析】

解：设全班有名同学，
由题意得．
故选C．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出份小礼品，共有名学生，那么总共送的份数应该是份，即可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少份，首先确定一个人送出多少份是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：数据出现了次，最多，故为众数；
按大小排列第和第个数均是，所以中位数是．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
数字表示样本容量，是这组数据的平均数，
故选：．
根据方差的定义可得答案．
本题主要考查方差、标准差、平均数，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．
 

7.【答案】

【解析】

解：由题意得：，
解得：，
则：，
当，时，，
当，时，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，解不等式可得，进而得到的值，然后再计算出的值．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

8.【答案】

【解析】

解：
是关于的一次函数，
，
，解得，
又一元二次方程的判别式，
，
一元二次方程无实数根，
故选：．
由一次函数的定义可求得的取值范围，再根据一元二次方程的判别式可求得答案．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，即一元二次方程有两个不相等的实数根，一元二次方程有两个相等的实数根，一元二次方程无实数根．
 

9.【答案】

【解析】

解：，
，
只有当且时，才等于，
，



，
故选：．
根据的取值以及二次根式和绝对值即可得到结果．
此题考查二次根式和绝对值问题，属于中档题．
 

10.【答案】

【解析】

解：把代入方程得，
所以，
所以为方程一根．
故选：．
利用一元二次方程根的定义得到，两边除以得到，从而可判断为方程一根．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

11.【答案】

【解析】

解：设所求方程为．
二次项系数为，
．
方程的两根分别为和，
，，
，．
故所求方程为．
故答案为：．
设所求方程为，由二次项系数为，可知，由根与系数关系可知，，，把代入，分别求出、的值即可．
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，比较简单．只要熟悉根与系数的关系，就很容易写出正确的结果．此外，本题还可以根据方程的根的定义，得出所求方程为，再整理成一元二次方程的一般形式即可．
 

12.【答案】

【解析】

解：是等边三角形，
．
，
．
的面积
根据等边三角形三角都是利用三角函数可求得其高，根据面积公式求解．
此题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及运用能力．
 

13.【答案】

且
 

【解析】

解：根据题意得且，
解得且，
即的取值范围为且，
故答案为：且，
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．
 

14.【答案】

【解析】

解：设平均每次降价的百分率为，由题意，得
，
解得：舍去，．
故答案为：
设平均每次降价的百分率为，则两次降价后的售价为，由建立方程求出其解即可．
本题考查了增长率或降低率问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据题中条件的数量关系建立方程是关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：若，，，这个数的平均数，
，，，，这个数的平均数为，
而原来的数据的方差为，
，
，
，，，，这个数的方差是
．
故答案为：，．
由于若，，，这个数的平均数，那么，，，，这个数的平均数为，而原来的方差，平均数没有改变，由此即可求出新数据的方差．
此题主要考查了平均数和方差的计算，解题的关键是熟练利用平均数和方差的计算公式解决问题．
 

16.【答案】

或
 

【解析】

本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是点的运动位置，要注意分类讨论．
设经过秒，的面积等于，分类讨论当秒时，点在上运动，在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，点在上运动，在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【解答】
解：设经过秒，的面积等于，
当秒时，点在上运动，在上运动，，，
所以，
解得或，
又知，故符合题意，
当秒时，点在上运动，在上运动，
，
解得．
故答案为：或．
 

17.【答案】

解：原式
；

，，




．
 

【解析】

先求出每一部分的值，再代入求出即可；
变形后代入，再求出即可．
本题考查了二次根式的加减，完全平方公式的应用，能运用所学的知识点进行计算是解此题的关键，难度适中．
 

18.【答案】

解：，
，
，
，，
，；

，
整理得：，
，
，
，．
 

【解析】

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
整理后求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
 

19.【答案】

解：，两点表示的数分别为，，
点所表示的数是，
根据绝对值的意义进行化简：
原式


．
 

【解析】

首先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据对称的性质即可确定的值，代入所求代数式计算即可解决问题．
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时要求能够熟练计算数轴上两点间的距离；根据绝对值的性质进行化简去掉绝对值及掌握分母有理化的方法．
 

20.【答案】

解：，，
根据题意，得，
解方程，得舍或，
道路宽为．
 

【解析】

根据题意，得，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用题，理解题意建立一元二次方程是解决本题的关键．
 

21.【答案】

解：，；
如图所示

的面积为，，
边上的高为．
 

【解析】

根据二次根式的化简方法进行化简；
根据勾股定理计算边长的方法，在网格中表示、的长；
由图中可以看出边上的高为面积为的边长为的边上的高，利用三角形的面积公式可求解．
本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长为二次根式的方法，培养学生动手操作能力．
 

22.【答案】

解：甲班的众数是；
方差是：．
把乙班的成绩从小到大排列，最中间的数是，则中位数是；
从平均数看，因两班平均数相同，则甲、乙班的成绩一样好；
从中位数看，甲的中位数高，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的分数高，所以乙班成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定；
因为乙班的成绩的中位数是，所以小明的成绩是分，则小明是号选手．
 

【解析】

根据众数、方差和中位数的定义及公式分别进行解答即可；
从平均数、中位数、众数、方差四个角度分别进行分析即可；
根据中位数的定义即可得出答案；
此题考查了方差、平均数、众数和中位数：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

23.【答案】

解：当，，时，
则“勾系一元二次方程”为：；
根据题意得，
，
，
即，
“勾系一元二次方程”必有实数根；
当时，有，
即，
，
即，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】

根据题意得出，，，然后得出“勾系一元二次方程”即可；
根据题意得出方程的值即可；
根据题意得出的值，再根据面积公式求值即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握勾股定理并正确理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键．
 

24.【答案】

解：点、在直线上，
，
解得：，；

存在两种情况：
如图，当在轴的正半轴上时，点恰好落在直线上，

则，，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
由折叠得：，
，
中，，
；
如图所示：当在轴的负半轴时，

由折叠得：，，
，
，
；

分种情况：
当时，如图，与重合，此时点的坐标为；

当时，如图，

，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，此时与重合，

，
，
中，，
，
，
，
，
；
当时，如图，此时与重合，则与关于轴对称，

此时；
综上，点的坐标是或或或．
 

【解析】

此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．
用待定系数法直接求出；
分在轴的正半轴和负半轴：当在轴的正半轴时，求，根据三角形面积公式可得结论；当在轴的负半轴时，同理可得结论；
分种情况：分别以、、三点所成的角为顶角讨论：
当时，如图，与重合，当时，如图，当时，如图，此时与重合当时，如图，此时与重合，则与关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点的坐标．