2022年天津市和平区中考数学一模试卷（含解析）

2022年天津市和平区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的值等于

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 掷一枚质地均匀的硬币，前次都是正面朝上，则掷第次时正面朝上的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是

A.
B.
C.
D.

5. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.
 

6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，当点，，，在同一条直线上时，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，，且交于点，，且交于点，则下列结论一定正确的是

A.
B.
C.
D.

8. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，设每个支干长出个小分支，则下列方程中正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 反比例函数是常数，的图象如图所示，则下列说法：
   ；
   若在图象上，则也在图象上；
   若，在图象上，则；
   若点，都在该函数的图象上，且，则．
   其中，正确结论的个数是

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10. 如图，若是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

11. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数是常数，上，且，，则的值为

A.  B.  C.  D.

12. 已知二次函数是常数的图象与轴有两个交点，，，则下列说法：
    该二次函数的图象一定过定点；
    若该函数图象开口向下，则的取值范围为：；
    若，当时，的最大值为，最小值为，则的取值范围为．
    其中，正确的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知与成反比例，并且当时，，当时，的值为______．
14. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，其中个小球印有冰墩墩图案，个小球印有雪容融图案，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球恰好一个是冰墩墩，一个是雪容融的概率为______．
15. 若一次函数是常数向上平移个单位后，图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______．
16. 如图，已知，，，是上的四个点，，的半径为，则四边形面积的最大值为______．
    
    
     

17. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点落在格点上，点，点均在网格线上，的外接圆交网格线于点，的外接圆的圆心为．
    Ⅰ为的______；
    Ⅱ上有一点，连接，满足，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）

18. 如图，求和的值．
    
     

19. 关于的一元二次方程．
    Ⅰ若，求方程的根；
    Ⅱ若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知二次函数是常数，，自变量和函数值的部分对应值如表：

Ⅰ抛物线的对称轴为______；
Ⅱ的值为______；
Ⅲ求该抛物线的解析式；
Ⅳ若点，都在函数图象上，且，则______填“”，“”或“”．






 

21. 已知四边形内接于，为的直径，是延长线上一点，连接，．
    Ⅰ如图，若交于点，，，，求和的大小；
    Ⅱ如图，若与相切于点，延长交于点，，，，求的大小和的长度．

22. 小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得、两点的俯角分别为、已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，求热气球离地面的高度．结果保留整数【参考数据：，，】

23. 某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式，设一个月内使用移动电话主叫的时间为分钟，方式一，方式二的月使用费分别为元，元，两种计费方式被叫均免费．其中方式一月使用费详情见如表，方式二的月使用费元与主叫时间分钟的函数图象如图所示．

方式二
 

Ⅰ根据题意填表：
表格一：

表格二

Ⅱ结合图象信息，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
Ⅲ选用哪种计费方式花钱少直接写出结果即可．






 

24. 在平面直角坐标系中，为直角三角形，点，点，点在轴正半轴上，，点为的中点．
    Ⅰ如图，求点的坐标；
    Ⅱ以点为中心，顺时针旋转，得到，记旋转角为，点，的对应点分别，．
    如图，线段交线段于点，线段交线段于点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
    直线交直线于点，直线交直线于点，当为等腰三角形时，求的度数直接写出结果即可．

25. 已知抛物线是常数，的图象经过点，，与轴交于点，点．
    Ⅰ求抛物线解析式和点的坐标；
    Ⅱ过点作直线轴，将抛物线向上平移，顶点落在直线上，若为抛物线一点，平移后对应点为，当时，求点坐标；
    Ⅲ若点为抛物线对称轴上一动点，连接，，若不小于，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
根据特殊角的三角函数值解题即可．
本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】

解：掷一枚质地均匀的硬币，前次都是正面朝上，则掷第次时正面朝上的概率是，
故选：．
根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小概率，可得答案．
本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小概率．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】
解：左视图有列，每列小正方形数目分别为，．
故选：．  

5.【答案】

【解析】

解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

6.【答案】

【解析】

解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
．
故选D．
由、可得出∽、∽，根据相似三角形的性质即可找出，此题得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：由题意可得，
．
故选：．
根据题意，可以列出相应的方程：主干支干小分支，进而得出答案．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

9.【答案】

【解析】

解：常数，故此说法正确；
若在图象上，则也在图象上，故此说法正确；
若，在图象上，则故此说法正确；
若点，都在该函数的图象上，且，不在同一象限则；在同一象限则，故此说法错误；
故选：．
根据反比例函数的性质当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小可得答案．
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：连接、，如图所示：
设此圆的半径为，
则它的内接正方形的边长为，它的内接正六边形的边长为，
内接正方形和内接正六边形的边长之比为：：，
正方形与正六边形的周长之比内接正方形和内接正六边形的边长之比：：，
故选：．
求出的内接正方形和内接正六边形的边长之比，即可得出结论．
本题考查了正多边形和圆，求出内接正方形与内接正六边形的边长关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：作轴于，轴于，如图，
在中，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
而，
．
故选：．
作轴于，轴于，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明∽，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了相似三角形的判定与性质．
 

12.【答案】

【解析】

解：，
当时，，故该函数图象一定过定点，故正确；
若该函数图象开口向下，则，且，
，解得：，且，故的取值范围为：，故正确；
当，函数为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，时，的最大值为，最小值为，
原点关于直线的对称点为，
，故正确；
故选：．
函数化为可判断；若该函数图象开口向下可得，据，可得，即可判断；当，函数为，根据二次函数的图象上点的坐标特征即可判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用根的判别式、掌握二次函数图象性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：设，
当时，，
，
解得：，
反比例函数关系式为：，
，
，
故答案为：．
首先设，然后求出反比例函数解析式，再代入的值，进而可得的值．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握用待定系数法求反比例函数解析式的方法．
 

14.【答案】

【解析】

解：将个小球印有冰墩墩图案记作甲、乙，个印有雪容融图案的小球记作丙，
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中两次取出的小球恰好一个是冰墩墩，一个是雪容融的有种结果，
所以两次取出的小球恰好一个是冰墩墩，一个是雪容融的概率为，
故答案为：．
将个小球印有冰墩墩图案记作甲、乙，个印有雪容融图案的小球记作丙，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】

解：一次函数是常数向上平移个单位后得到，
图象经过第一、二、三象限，
，
，
故答案为：．
先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再根据图象经过第一、二、三象限得出即可．
本题主要考查一次函数的几何变换，掌握平移规则：上加下减，左加右减是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】

解：由圆周角定理得：，，
为等边三角形，
由题意得：当点为的中点时，的面积最大，
的面积一定，
当点为的中点时，四边形面积的最大，
此时，为的直径，
，，
，，
四边形面积的最大值为：，
故答案为：．
根据圆周角定理、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据题意得到当点为的中点时，四边形面积的最大，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
 

17.【答案】

直径
 

【解析】

解：Ⅰ为的直径；
故答案为：直径；
Ⅱ如图，

取格点，，连接，交圆于点，，
连接交于点，
连接并延长交圆于点，延长交网格线于点，连接交圆于点，
点即为所求．
Ⅰ根据度的圆周角所对弦是直径即可解决问题；
Ⅱ取格点，，连接，交圆于点，，连接交于点，连接并延长交圆于点，延长交网格线于点，连接交圆于点，此时，即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．
 

18.【答案】

分析：根据三角形的外角的性质列出方程，解方程求出的值，根据邻补角的性质计算，求出的值．
解：根据三角形的外角的性质得，
，
解得，，
则，，
则，，
故答案为：，，
 

【解析】

本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
 

19.【答案】

解：Ⅰ当时，方程化为，
，
或，
所以，；
Ⅱ根据题意得，
解得，
所以的取值范围为．
 

【解析】

Ⅰ当时，方程化为，然后利用因式分解法解方程即可；
Ⅱ利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

20.【答案】

直线   
 

【解析】

解：Ⅰ根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，
故答案为：直线；
Ⅱ根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴的对称点是，
；
故答案为：；
Ⅲ设二次函数的解析式为，
把点代入得，，
，
，
故此二次函数的解析式为．
Ⅳ点，都在函数图象上，且，
，
抛物线开口向上，
．
故答案为：．
Ⅰ根据表格中对应值可知对称轴的值；
Ⅱ根据二次函数的对称性即可求得；
Ⅲ根据待定系数法求得即可．
Ⅳ根据二次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
 

21.【答案】

解：Ⅰ四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
的度数为，的度数为；
Ⅱ连接，，，设与交于点，

，
设，则，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
在中，，
，
或舍去，
，
，
，，
，
是的中位线，
，
的度数为，的长度为．
 

【解析】

Ⅰ根据圆内接四边形的性质可得，从而可得，再根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用三角形的外角可求出的度数，最后根据直径所对的圆周角是直角可得，从而求出的度数，即可解答；
Ⅱ连接，，，设与交于点，设，则，根据切线的性质可得，再根据等弧所对的圆周角相等和等腰三角形的性质可证，即可求出的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可得四边形是矩形，进而可得，，最后在中，利用勾股定理求出，从而求出的长，进而根据三角形的中位线定理求出，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】

解：作交的延长线于，设为，
由题意得，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得，．
答：热气球离地面的高度约为米．
 

【解析】

作交的延长线于，设为，表示出和，根据正切的概念求出的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
 

23.【答案】

【解析】

解：Ⅰ方式一：根据题意，当，，
当时，，
当时，；
方式二：根据图象可知，当时，，
主叫超时费：元分钟．
故答案为：，，，，，．
Ⅱ当时，，
当时，设直线解析式：，
代入，，
得，
解得，
，
与的关系式：；
Ⅲ通过Ⅰ中数据可知：
当时，选方式一省钱；
当时，选方式一和方式二一样；
当时，选方式二省钱．
Ⅰ根据表格以及图象填空即可；
Ⅱ当时，；当时，设解析式，将点，代入即可求出解析式；
Ⅲ根据两种方式费用比较：当时，方式一省钱；当时，方式一和方式二一样；当时，方式二省钱．
本题考查了一次函数的实际应用，理解表格和图象的含义是解决本题的关键．
 

24.【答案】

解：Ⅰ点，点，
，
，，
，
，
点，
点为的中点，
点；
Ⅱ如图，过点作轴于，

，点是的中点，
，
，，
，
以点为中心，顺时针旋转，得到，
，，
，
，
，
，
轴，
，
，
点；
如图，若，旋转角小于时，如图，由可知：，
如图，当旋转角时，如图，此时点与点重合，

以点为中心，顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
；
如图，当，旋转角大于时，如图，

以点为中心，顺时针旋转，得到，
，
，
，
，
，
综上所述：的度数为或或．
 

【解析】

Ⅰ先求出点点，即可求解；
Ⅱ由旋转的性质可得，，由等腰三角形可求，可求，由等腰直角三角形的性质可求解；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】

解：Ⅰ将点，代入，
得，
解得，
，
令，则，
；
Ⅱ过点作直线轴，
直线的解析式为，
，
抛物线向上平移，顶点落在直线上，
平移后的抛物线解析式为，
抛物线向上平移个单位，
点平移后的点为，
，
，
解得，
或，
或；
Ⅲ，
抛物线的对称轴为直线，
，
点，，
，
，，
作的角平分线交轴于点，以为圆心，为半径做圆交抛物线的对称轴于点，连接，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
或，
点坐标为或，
不小于，
．
 

【解析】

Ⅰ将点，代入，即可求解；
Ⅱ求出平移后的抛物线解析式为，可知抛物线向上平移个单位，则，再由，得，求出、即可求点坐标；
Ⅲ由题意可知，，作的角平分线交轴于点，以为圆心，为半径做圆交抛物线的对称轴于点，连接，则，，求出，再由，可求的值，再结合图象可求满足条件的的取值范围．
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，三角形外接圆的性质，直角三角形的性质是解题的关键．