2022年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2022年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区中考数学四模试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区中考数学四模试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）在下列各数中，比小的数是A.  B.  C.  D. 中国科学技术大学构建的量子计算原型机，被命名为“九章”，可在一分钟完成经典超级计算机年才能完成的任务，这个数用科学记数法表示为A.  B.  C.  D. 将个完全相同的长方体按如图方式摆放，其中每个长方体的长、宽、高分别为，，，则这个长方体组成的图形左视图面积为A.
B.
C.
D. 如图，在▱中，，对角线，则▱面积的最大值为
A.  B.  C.  D. 如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转度能与自身重合，则为A.
B.
C.
D. 如图是用个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形的面积是，则三角形的面积为A.
B.
C.
D. 如图，分别以线段的端点，为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；作直线交于点；以点为圆心，长为半径向上作优弧，以点为圆心，长为半径作圆弧，交优弧于点，连结、，交于点则下列结论不成立的是A.  B.  C.  D. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，，动点在边上，且不与点重合，连结，把沿翻折得到，点落在双曲线上，当长度最小时，的值为A.  B.  C.  D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）分解因式：______．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．净月潭景区门票价格为每人每次元，小致办理了年卡，年卡费用是每人元，一年内进入景区次数不限，小致一年内共去了净月潭景区次，则小致这一年在该景区门票费用上节约了______元．如图，是等腰直角三角形，以斜边的中点为圆心作半圆，分别与、相切于点、，若，则的长度为______结果保留
将一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子与地面的夹角，则梯子底端与墙根点的距离为______米．结果精确到米参考数据：，，
在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为直线，若对于任意，都有，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共10小题，共80.0分）先化简，再求值：，其中．






 在学习三角形时，老师拿了张卡片，背面完全一样，正面分别标有、、、，小致从张卡片中随机抽了两张卡片，以卡片上的角度作为三角形的两个内角画三角形，求画出的三角形是锐角三角形的概率．






 如图是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．要求：作图只用无刻度的直尺
边的长度为______；
作的角平分线；
已知点在线段上，点在作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出．







 在一次跑步锻炼中，先匀速跑了，之后提速并匀速跑完剩余路程，这样小致一共用了跑完全程，求小致前的速度是多少？






 如图，在▱中，点、分别在边、上，点、在对角线上，且，．
求证：四边形是平行四边形．
若点是中点，，，，则______．







 根据年印发的关于加强青少年体育增强青少年体质的意见，小学生每天睡眠时间应达到小时，初中生应达到小时，高中生应达到小时，某初中学校为了解本校学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长小时分为、、、、：；：；：；：；：五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如图所示条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

______；______；
根据统计结果，估详该学校名学生中睡眼不足小时的人数；
教育部办公厅在年月印发关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，对学生的必要睡眠时间、学校作息时间、晚上就寝时间等个“重要时间”作出明确要求，若这次统计睡眠时长不达标的学生每天多睡一个小时，能否使该校的学生睡眠时长达远标？说明理由．






 甲、乙两人共同制作一批手工艺品，甲先开始制作，两个小时以后乙也开始制作，乙每小时制作个，一段时间后，甲、乙两人互相配合制作，这样每小时制作的数量是两人各自制作小时数量和的倍，小时两人完成任务，设甲、乙两人制作手工艺品的数量和为件，甲制作的时间为时，与之间的函数图象如图所示．
______；______；
当时与之间的函数关系式；
求甲、乙两人配合比小时后仍各自加工完成这批手工艺品少用多少小时．






 教材呈现：如下是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．如图，在中，点、分别是与的中点．
根据画出的图形，可以猜想：
，且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
 请结合图，写出完整的证明过程．
结论应用：
如图，在中，，，、、分别为、、的中点，则______；
如图，在的条件下，延长、相交于点，则______．







 如图，在中，，，，点是中点，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，连结，取的中点，连结，、两点同时出发，设点运动的时间为秒．
点到的距离为______用含的代数式表示
当点在上运动时，求的值．
当与的直角边平行时，求的长．
当为直角三角形时，直接写出的值．







 在平面直角坐标系中，已知函数为常数．
若．
当时，的取值范围是______．
若时，，则的取值范围是______．
当时，此函数的最大值与最小值的差是，求的值．
设此函数图象与轴交点为点，过点作轴的垂线，将函数图象在直线上方部分沿直线翻折后的图象记为，原函数图象末翻折部分记为，与组成的图记为，当在直线与直线之间所夹的图象随增大而减小时，接写出的取值范围．







答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：，
，
比小的数是．
故选：．
根据有理数的大小比较解答即可．
本题考查了有理数大小比较法则．正数大于，大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 2.【答案】
 【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 3.【答案】
 【解析】解：由题意可知，这个长方体的左视图是一个矩形，它的长为，高为，
所以左视图面积为：．
故选：．
根据左视图的定义可得左视图是一个矩形，它的长为，高为，据此判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，解决本题的难点是根据所给视图得到长方体的长，宽，高，关键是理解左视图的面积等于长方体的宽高．
 4.【答案】
 【解析】解：如图，过点作于点，

▱面积，
当最大时，▱面积最大，
当与重合时，即时，最大，
此时▱面积．
故选：．
过点作于点，当最大时，▱面积最大，当与重合时，即时，最大，根据平行四边形的面积公式即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 5.【答案】
 【解析】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转后，能与其自身重合．
故选：．
观察可得图形有部分组成，从而可得旋转角度．
本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．
 6.【答案】
 【解析】解：如图：设三角形为，三角形为，

由题意得：
，
设，
在，，
，，
∽，
，
三角形的面积是，
三角形的面积是，
故选：．
如图：设三角形为，三角形为，根据题意可得，然后设，在中求出，，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，规律型图形的变化类，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 7.【答案】
 【解析】解：由作法得垂直平分，，
，，
点为弧所在圆的圆心，
为直径，
，
，所以选项的结论成立；
，
为等边三角形，
，
，，
，
，所以选项的结论成立；
在中，，
，
，所以选项的结论成立；
在中，，
，，所以选项的结论不成立；
故选：．
由作法得垂直平分，，则，，再根据圆周角定理得到，则可对选项进行判断；接着证明为等边三角形，则可计算出，则可对选项进行判断；然后根据含度的直角三角形三边的关系对、选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查线段垂直平分线的性质和圆周角定理．
 8.【答案】
 【解析】解：由折叠可知，，，
，
当且仅当点，，三点共线时，最小．
，，
．
如图，过点作于点，

：：：：，
解得，，
．
，
点在双曲线上，
．
故选：．
根据三角形三边关系可得当点，，三点共线时，最小．过点作于点，由平行线分线段成比例可得和的长，进而可得点的坐标，由点在双曲线上，可得的值．
本题考查折叠的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及平行线段分线段成比例，求出点的坐标是解题关键，综合性较强．
 9.【答案】
 【解析】解：．
故答案为：．
由于原式子中含有公因式，可用提取公因式法求解．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
 10.【答案】
 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即：，
解得：，
故选答案为．
由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，可知其判别式为，据此列出关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
 11.【答案】
 【解析】解：由题意得：节约的费用为：元，
故答案为：．
求出其不办年卡的费用再减去办卡的费用即可．
本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 12.【答案】
 【解析】解：连接、，
，点为的中点，
，
、是半圆的切线，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
的长，
故答案为：
连接、，根据切线的性质得到，，求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 13.【答案】
 【解析】解：在中，，，米，
则米，
故答案为：．
根据余弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握余弦的定义是解题的关键．
 14.【答案】
 【解析】解：，
，
，
，，
，
，
当时，都有，
，
，
满足条件的值为：．
故答案为：．
由题意点，连线的中垂线与轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 15.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
 【解析】根据完全平方公式以及整式的加减运算、乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及整式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
 16.【答案】解：根据题意列表如下：      一共有种情况，其中画出的三角形是锐角三角形的有种情况，
则画出的三角形是锐角三角形的概率是．
 【解析】首先根据题意列出图表，得出所有等可能的结果与画出的三角形是锐角三角形的情况数，然后根据概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 17.【答案】
 【解析】解：根据勾股定理，得．
故答案为：；
如图，即为所求；

如图，即为所求．
利用网格根据勾股定理即可求出边的长度；
根据网格即可作的角平分线；
已知点在线段上，点在作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出．
本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 18.【答案】解：设小致前的速度是，
根据题意，得．
解得．
经检验是原方程的解，且符合题意．
答：小致前的速度是．
 【解析】设小致前的速度是，提速后的速度是，由“提速前所用时间提速后所用时间”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 19.【答案】
 【解析】证明：在平行四边形中，，
．
在和中，
，
≌．
，．
．
四边形是平行四边形；
连接，
由知，四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
点是中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：．
根据可以证明≌从而得到，根据等角的补角相等，可以证明，则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
连接，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 20.【答案】 
 【解析】解：，，
故答案为：；；
人，
答：该学校名学生中睡眼不足小时的人数为人；
不能，理由如下：
，
因为，
所以不能使该校的学生睡眠时长达远标．
根据百分比概念求解即可得出的值，用总人数分别减去其它四种的人数即可得出的值；
用样本估算总体即可；
根据、组人数和所占比例解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 21.【答案】 
 【解析】解：由图可知，甲每小时做个，依题意可得，
  解得．
甲乙合作每小时做个

合作后用时为小时
小时．
即．
设与之间的函教关系成为
将，代入，
得解得，
所以当时，与之间的函教关系为．
当，，
解得

答：甲．乙两人配合少用小时．
由甲乙两人的工作效率乘以他们的工作时间工作总量，得到；由工作总量两个人配合的工作效率时间，进而求的．
用待定系数法求解析式．
由甲乙同时做的时间减去甲乙配合的时间．
此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 22.【答案】 
 【解析】教材呈现：证明：点、分别是与的中点，
，
，
∽，
，，
，；
过点作于，

为的中点，．
．
，
．
，
，，
，
、分别为、的中点，
，
故答案为：；
为的中点，．
．
、分别为、的中点，
，，
∽，
，
．
．
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
教材呈现：根据角和线段比例关系证∽即可得证结论；
过点作于，由为的中点，得出可得则，，根据勾股定理可得，由、分别为、的中点，即可得出；
由为的中点，得出由、分别为、的中点，可得，根据相似三角形的性质得出则根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出．
本题是相似综合题，主要考查三角形中位线定理的证明和应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理的证明和应用以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 23.【答案】
 【解析】解：过点作于点，如图：

则，
，
即，
解得：，
故答案为：；
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
分情况讨论：
如图，当时，过作于点，过作于点，

，
，
，
，
点为中点，，
，
，
，，
，
，
即，
解得：，
；
当时，如图，点与重合，

；
综上所述，的长为或；
分情况讨论：
，如图：

过作于，则，
为的中点，
是的中点，
，
由可知，，
，
，
，
解得：；
当在上，时，连接，如图：

则，
是的中点，
，
过作于，
由得：，
，，
，
解得：或舍去，
；
当在上，时，连接，如图：

则，
是的中点，
，
过作于，过作于，
，，，
，，
，
，，
，
解得：或舍去，
；
，如图：

过作于，则，
是的中点，
是的中点，
，是的中位线，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：；
综上所述，当为直角三角形时，的值为或或或．
过点作于点，由锐角三角函数定义得，即，解得即可；
在中，由勾股定理得，再由锐角三角函数定义得，则，然后由锐角三角函数定义即可得出答案；
当时，过作于点，过作于点，由平行线的性质得，再求出，，进而求解即可；
当时，点与重合，则；
分情况讨论，，当在上，时，当在上，时，，由锐角三角函数定义、勾股定理以及相似三角形的判定与性质分别求解即可．
本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理、线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义是解题的关键，注意分类讨论，属于中考常考题型．
 24.【答案】 
 【解析】解：当时，，
顶点坐标为，
当时，当，，当，，
的取值范围是，
故答案为：；
当时，当，，当，或，
，
，
故答案为：；
，
，
，
顶点坐标为，
当时，最低点，最高点为，
，
或，
当时，最低点，最高点为，
，
舍去或舍去，
当时，最低点，最高点为，
，
或舍去，
当时，不合题意，
综上所述：或或；
当时，即，
当对称轴在轴左侧时，即，
由题意可得：或，
解得：或，
当对称轴在轴右侧或轴上时，，
由题意可得：或，
解得：舍去或，
即或，
当时，即，
由题意可得：或，
解得：舍去或，
综上所述：或或．
当，，当，，及顶点坐标为，可求解；
当，，当，或，及顶点坐标为，可求解；
分四种情况讨论，由函数的最大值与最小值的差是，列出方程可求解；
分两种情况讨论，由函数的增减性列出不等式，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．