2021-2022学年江苏省南通市如皋外国语学校九年级（下）第一次质检数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年江苏省南通市如皋外国语学校九年级（下）第一次质检数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2021-2022学年江苏省南通市如皋外国语学校九年级（下）第一次质检数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）的值是A.  B.  C.  D. 是第五代移动通信技术，网络下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需秒．将用科学记数法表示应为A.  B.  C.  D. 下列运算正确的是A.  B.  C.  D. 下列采用的调查方式中，不合适的是A. 了解澧水河的水质，采用抽样调查
B. 了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
C. 了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查
D. 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查如图是一个由个完全相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是A.  B.  C.  D. 如图，在菱形中，，，则A.
B.
C.
D. 九章算术是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重斤古时斤两雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重两，燕重两，可列出方程组A.  B.
C.  D. 若关于的不等式组恰有个整数解，则实数的取值范围是A.  B.  C.  D. 如图，已知在中，，，，点由点出发，沿向点运动，到点停止，速度为，同时，点由中点出发，沿向点运动，到点停止，速度为，连接，设运动时间为，的面积为，则关于的函数图象大致为A.  B.
C.  D. 如图，在中，，，，为上的动点，为内一动点，且满足，若为的中点，则的最小值是A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）因式分解：______．正多边形的一个内角等于，则该多边形是正______边形．圆锥的母线长为，底面半径为，那么它的侧面展开图的圆心角是______度．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．时间分钟温度若温度的变化是均匀的，则分钟时的温度是______ 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，长米，坡角为，的坡角为，则长为______米结果保留根号．
若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．平面直角坐标系中，已知点，且实数，满足，则点到原点的距离的最小值为______ ．如图，在边长为的正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，若，则的最小值为______ ．
    三、解答题（本大题共8小题，共90.0分）化简求值：，其中；
解方程：．






 如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆高，测得，，楼高是多少？






 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到组体温检测、组便民代购、组环境消杀．
小红的爸爸被分到组的概率是______；
某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程






 某校本学期开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试测试结果分为四个等级：级为优秀，级为良好，级为及格，级为不及格将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图根据统计图中的信息解答下列问题：

本次抽样测试的学生人数是______ 名；
扇形统计图中表示级的扇形圆心角的大小是______ ，并把条形统计图补充完整；
该校八年级共有学生名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数是多少？






 如图，与相切于点，点在上，．
求证：是的切线；
为的直径，，与相交于点，若为的中点，求的长．


  






 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
求此抛物线的顶点坐标用含的式子表示；
如果当时，，并且当时，，求该抛物线的表达式；
如果中的抛物线与轴相交于、点在点左侧，现将轴下方的图象沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为，当直线：与有两个公共点时，直接写出的取值范围．







 如图，边长为的正方形中，点在上，连接，过点，作的垂线，垂足分别为，，点是正方形的中心，连接，．
求证：．
请判定的形状，并说明理由．
若点在线段上运动不包括端点，设，的面积为，求关于的函数关系式写出的范围；若点在射线上运动，且的面积为，请直接写出长．






 阅读材料：曲线切线和法线的定义：
如图，和是曲线上邻近的两点，当点沿着曲线无限地接近点和重合时，割线的极限位置叫做曲线在点的切线，点叫做切点；经过切点并且垂直于切线的直线叫做曲线在点的法线．
问题解决：
如图，在点的法线解析式是______．
如图，经过点抛物线的切线解析式是______．
如图，双曲线过点的切线与轴、轴分别交于点、点；在点的法线交轴于点求证：．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：．
故选：．
直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了有理数的减法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
 2.【答案】
 【解析】解：将数据用科学记数法可表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定的值以及的值．
 3.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】
解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选B．  4.【答案】
 【解析】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，
了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，
了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，
了解某班同学的数学成绩，采用全面调查，故D合适．
故选：．
根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 5.【答案】
 【解析】解：该组合体的主视图如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出其主视图即可．
本题考查简单组合体的主视图，理解主视图的意义，画出主视图的形状是正确判断的前提．
 6.【答案】
 【解析】解：设菱形的边长为，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
所以，．
故选：．
设菱形的边长为，根据的余弦求出，从而求出，再中，根据勾股定理列式求出，然后根据正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
本题考查了菱形的四条边都相等的性质，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，是基础题，设出菱形的边长求解更加简便．
 7.【答案】
 【解析】解：根据题意，得：
，
故选：．
根据“五只雀、六只燕，共重斤等于两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 8.【答案】
 【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组恰有个整数解整数解是，，，
，
故选：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的个整数解是，，，再求出的取值范围即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出的范围是解此题的关键．
 9.【答案】
 【解析】解：当时，向点运动，点由点向处运动，
的面积为：  是一个开口向上顶点在原点的抛物线；
当时，向点运动，点在点处停止，的面积为：是一条递增的直线；
当时，向点运动，的面积为：是一条递减的直线；
的面积关于的函数是一个分段函数，图象由以上三种函数图象的各一部分组成，
故选：．
解答本题先由动点的位置确定的取值范围围，再通过计算面积确定函数图象，从而描述分段函数的图象．
此题主要考查了根据分段函数的取值范围来确定函数图象，关键是由动点运动时三角形的面积如何确定．
 10.【答案】
 【解析】解：如图以为边，向左边作等边，作的外接圆，连接，则点在上．

在中，，，，
，
则易知，，
作点关于的对称点，连接，，，交于，则，
，，，
，
的最小值为，
故选：．
如图以为边，向左边作等边，作的外接圆，连接，则点在上．作点关于的对称点，连接，，，交于，则，根据，求出，即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
 11.【答案】
 【解析】解：．
考查了对平方差公式的理解，本题属于基础题．本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
 12.【答案】十
 【解析】解：设正多边形是边形，由题意得
．
解得，
故答案为：十．
根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．
 13.【答案】
 【解析】解：圆锥的底面周长为，
设圆锥侧面展开图的圆心角是，则：，
解得，
故答案为：．
由底面半径易得圆锥的底面周长，即为圆锥的侧面弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角．
考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的地面周长等于侧面展开图的扇形的弧长；圆锥的弧长．
 14.【答案】
 【解析】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，
则关系式为：，
当时，．
故时的温度是．
故答案为：．
根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式．
 15.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点作于，过点作于首先证明，解直角三角形求出，再根据直角三角形度角的性质即可解决问题．
【解答】
解：过点作于，过点作于．

，，，
，
在中，米，
米，
在中，，，
米，
故答案为．  16.【答案】
 【解析】解：是一元二次方程，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
则．
故答案为：．
先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入代数式计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
 17.【答案】
 【解析】解：，
，
，
，
点到原点的距离为，
点到原点的距离的最小值为，
故答案为．
分析：由可得，根据点到坐标原点的距离可求解．
 18.【答案】
 【解析】解：如图，在的下方作，且，连接，，过点作交的延长线于．

四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
，
，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
如图，在的下方作，且，连接，，过点作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，求出的最小值，可知结论．
本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 19.【答案】解：原式
，
当时，
原式


；
，
去分母得：，
解整式方程得：，
检验：
把代入最简公分母得：，
是原方程的根，
原方程的解是．
 【解析】先用完全平方公式、多项式乘多项式法则展开，合并同类项，化简后将的值代入计算即可；
去分母，化为整式方程，解出的值，再检验即可得到答案．
本题考查整式化简求值及解分式方程，解题的关键是掌握整式运算的相关法则及解分式方程的一般步骤．
 20.【答案】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
．
答：楼高是．
 【解析】先根据题意得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
 21.【答案】
 【解析】解：共有种可能出现的结果，被分到“组”的有种，
因此被分到“组”的概率为；
故答案为；
用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有种，
．
共有种可能出现的结果，被分到“组”的有种，即可求出概率．
用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．
本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．
 22.【答案】 
 【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：名，
故答案为：；
扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是：，
故答案为：，
级的人数为：，补充完整的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校八年级优秀的人数大约是人．
根据级的人数和所占的百分比，可以求得本次抽样测试的学生人数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数和级的人数，即可将条形统计图补充完整；
根据题意和统计图中的数据，可以计算出优秀的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是理解两个统计图中数量关系，利用数形结合的思想解答．
 23.【答案】证明：连接，如图所示：
是的切线，
，
，
点在上，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又是的半径，
是的切线；
解：是的直径，，
，
为的中点，
，
，
在中，由勾股定理得：．
 【解析】连接，由切线的性质得，再证≌，得，即可得出结论；
先由勾股定理得，再由勾股定理求出即可．
本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
 24.【答案】解：由题意得：，，，
，，
顶点坐标为：．
当时，，并且当时，，如图，
当时，，即：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
当时，，
解得：，，
点，，
．
沿轴向上翻折后的图象解析式为：．
当直线经过点时，直线与的只有一个交点，如图中直线，
把点代入，得：，
解得：，
当直线经过点时，直线与的有三个交点，如图中直线，
把点代入，得：，
解得：，
当直线与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线，
由，得：，
，
解得：，
的取值范围：或．
 【解析】由顶点公式得；
由“时，，并且当时，”，列出等式，求出的值，得到函数表达式；
数形结合，找到直线特殊的位置，求出对应的，最后得出的取值范围．
本题主要考查二次函数解析式、性质和图象变化，以及二次函数与一次函数的关系．在解题时候使用数形结合的思想会更快得到解题思路，从而解出答案．
 25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接，

点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形；
在中，，
，
，
，
，
，

，
；
当点在线段上时，则，
解得：不合题意舍去，，
当点在线段的延长线时，同理可求，
，
解得：，不合题意舍去，
综上所述：的值即的长为或时，的面积为．
 【解析】由“”可证≌，可得；
连接，由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得，可得结论；
由勾股定理可求的值，由面积法可求，由锐角三角函数可求的值，可求的长，由三角形面积公式可求，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数，利用参数求线段的长度是本题的关键．
 26.【答案】 
 【解析】解：设在点的法线解析式：，
代入点，
得，
解得，
在点的法线解析式：
故答案为：
设经过点的抛物线切线解析式为：，
代入，
得，
联立，
得，
，
舍或，
经过点的抛物线的切线解析式为：．
故答案为：．
证明：设直线的解析式：，
联立，
得，
直线与双曲线相切，
，
，
此时，，
，
当时，，
，
当时，，
，
的中点坐标为，
为的中点，
，
为的垂直平分线，
．
根据法线的定义，用待定系数法求解即可；
设切线解析式，代入点，联立直线和抛物线，令判别式，即可求出的值，从而确定切线解析式；
直线的解析式：，联立直线与双曲线，令判别式，求出点坐标，再根据，点坐标，易证是的中点，即可证明是的中垂线，根据线段垂直平分线的性质即可得证．
本题考查了二次函数，反比例函数，圆与切线和法线的综合，理解法线和切线的定义是解决本题的关键．