湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题及答案

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命题学校：武汉十一中 命题教师： 审题教师：
考试时间：2022年4月20日上午9:00—11:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．平面与平面平行的充分条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，，且直线a不在内，也不在内
C．直线，直线，且，
D．内的任何一条直线都与平行
2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（ ）
A． B． C． D．
4．已知外心是O，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的底面半径为R，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．点O是内一点，且满足．则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则为（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形或钝角三角形 D．直角三角形
8．在直角中，斜边长为a，若所在平面内关于点A对称的两点P，Q满足，则的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设i为虚数单位，复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则实数a的值为2
B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是
C．实数是（为z的共钜复数）的充要条件
D．若，则实数a的值为2
10．如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（ ）
A． B．与相交 C． D．与异面
11．已知是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（ ）
A．的夹角是 B．的夹角是或
C．或 D．或
12．在正方体中，如图M，N分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是（ ）
A．平面与棱的交点是的三等分点
B．平面与棱的交点是的中点
C．平面与棱的交点是的三等分点
D．平面将正方体分成前后两部分的体积比为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知．若向量___________．
14．一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则_________．
15．在中，，则______．
16．圆锥底面半径与高均为3，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的体积为________，表面积为_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
17．（10分）已知复数，i为虚数单位．
（1）若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求；
（2）若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值．
18．（12分）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求的大小；
（2）若的面积，求的值．
19．（12分）已知中，点D在线段上，且，延长到C，使．设，．
（1）用表示向量；
（2）若向量与共线，求k的值．
20．（12分）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且选条件：_____________．
（1）求；
（2）作，使得四边形满足，求的取值范围．
21．（12分）如图，在五棱锥中，，F为棱上一点，且满足，平面与棱分别交于G，H．
（1）求证：；
（2）求的值．
22．（12分）正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，高为，如图水平放置，盛有水深为．
（1）求玻璃容器的体积；
（2）将一根长度为的搅棒l置入玻璃容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求l没入水中部分的长度．（容器厚度，搅棒粗细均忽略不计）
武汉市部分重点中学2021—2022学年度下学期期中联考
高一数学试卷参考答案与评分细则
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）依题意可知
∴
（2）由条件可知：，整理得：
∵，∴解得或．
18．解：（1）原式可化为：，解之得：或（舍去）
∵，∴
（2），∴
由余弦定理得：
正弦定理得：，代入得
19．解：（1）∵A为的中点，∴，
可得，而
（2）由（1）得，
∵与共线，设 即，
根据平面向量基本定理，得解之得．
20．解：若选①：由，根据正弦定理可得，
即，
即，
可得，因为，所以，
选②：由，根据正弦定理可得，
可得，即，
又由余弦定理，可得，
因为，所以，
若选③：由，可得，
即，可得，因为，所以，
以下同：（2）设，则，
在中，由正弦定理得，
可得．
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，
所以C的取值范围是．
21．解：∵平面平面
∴平面
∵平面，平面平面
∴，又
∴
（2）设与交点M，则的中点为C，由（1）知．易知平面，平面
∴平面平面
又H为与平面的交点
∴
在中，如图，C为中点，由平面几何知识易知H为中点，故
另解：M，H，G共线又C为中点，
设，故，∴解得
22．解：（1）由题意可知，下底面面积为，上底面的面积，又台体的高为，
所以正六棱台的体积
（2）设搅棒在上的点为M，则，搅棒与水面的交点为N，在平面中，过点N作，交于点P，过点E作，交于点Q，
∵为正六棱台，∴，
∴为等腰梯形，画出平面的平面图，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴，，，
根据正弦定理得：，∴，
∴，
∴
，
∴．
∴搅棒l没入水中部分的长度为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
A
B
C
B
A
ACD
BCD
BC
ACD