2022年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（十三）（含解析）

2022年吉林省长春市中考数学评价与检测试卷（十三）

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

A.  B.  C.  D.

2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是

A. 三棱柱
B. 四棱锥
C. 长方体
D. 正方体

4. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 不等式的解集在数轴上表示为

A.  B.
C.  D.

6. 如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点若，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

7. 图是一个地铁站入口的双翼闸机．如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

A.  B.  C.   D.

8. 如图所示，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 计算：______．
10. 因式分解：______．
11. 若方程没有实数根，则的取值范围为______．
12. 如果从某个多边形的一个顶点出发，可以作条对角线，则这个多边形的内角和是______．
13. 如图，将矩形纸片折叠，使得点和点重合，折痕是，连结若，，则的长为______．
     

14. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，直线与抛物线的另一个交点为当时，的值是______．
    
    
     

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）

15. 
    
    
    
    
    
    
     
16. 甲、乙两人都握有分别标记为、、的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率．
    
    
    
    
    
    
     
17. 列方程解应用题：
    中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进三国演义和水浒传连环画若干套，其中每套三国演义连环画的价格比每套水浒传连环画的价格贵元，用元购买水浒传连环画的套数是用元购买三国演义连环画套数的倍，求每套水浒传连环画的价格．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，已知中，，平分交于点，边上一点，经过点、，与交于点，与交于点
    求证：是的切线；
    若，，则的半径长为______．
    
    
    
    
    
    
     
19. 工厂甲、乙两个部门各有员工人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
    收集数据：
    从甲、乙两个部门各随机抽取名员工，进行了生产技能测试，测试成绩百分制如下：
    甲：
    乙：
    整理、描述数据：
    按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

说明：成绩分及以上为生产技能优秀，分为生产技能良好，分为生产技能合格，分以下为生产技能不合格．
分析数据：
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

得出结论：
估计乙部门生产技能优秀的员工人数为______．
可以推断出______部门员工的生产技能水平较高，理由为______．
至少从两个不同的角度说明推断的合理性






 

20. 如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为，的顶点均为格点
    
    在图中，借助网格和无刻度的直尺画出的高；
    在图中，连结点与格点点是的中点，点为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点、的位置，并画出．
    
    
    
    
    
    
     
21. 甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地．甲车先出发匀速驶向地，后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地，甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示
    的值是______，甲的速度是______．
    求乙车距地的路程与之间的函数关系式；
    若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？

22. 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
    
    请根据教材提示，写出证明“平行线之间的距离处处相等”的完整过程结合图，写出“已知”、“求证”和“证明过程”．
    【结论应用】在四边形中，，对角线、交于点．
    如图，过点作交于点，连结、，则与之间的数量关系是．
    如图，若，，，则的面积为______
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在中，，，，点为的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点不与点重合时，连结，以、为邻边作▱，设点的运动时间为秒．
    用含的代数式表示．
    当点落在边上时，求的值．
    当点在边上运动时，若四边形是轴对称图形，求的值．
    点关于的对称点为，当时，直接写出的值．

24. 在平面直角坐标系中，点的坐标为其中为常数，点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数其中为常数的图象为．
    当点在上时，求的值；
    当点在上时，求的值；
    时，连结，当与线段恰好有两个公共点时，______．
    当最小值的取值范围是时，直接写出的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：
故选D．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】

【解析】

解：由图得，这个几何体为三棱柱．
故选：．
由展开图得这个几何体为棱柱，底面为三边形，则为三棱柱．
考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体．
 

4.【答案】

【解析】

解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：．
根据完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了对完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式的应用，注意：完全平方公式有，，题目比较好，难度适中．
 

5.【答案】

【解析】

解：，
，
，
在数轴上表示为：
，
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：连接，，
，
，，
是等腰直角三角形．
，
，
．
故选：．
连接，，根据圆周角定理可得出，，故是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】
解：如图所示，过作于，过作于，则
中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故选：．  

8.【答案】

【解析】

解：设，
矩形的面积为，轴于点，
，
而轴于点，
点的纵坐标为，
当时，，解得，
，
矩形的面积为，
，整理得，
而，
．
故选B．
设，由矩形的面积为得到，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出点坐标为，接着利用矩形面积公式得到，然后解关于的方程即可得到满足条件的的值．
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

9.【答案】

【解析】

解：原式．
故答案为．
先得到的算术平方根，然后进行减法运算即可．
本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．
 

10.【答案】

【解析】

解：原式
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：关于的方程没有实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

12.【答案】

【解析】

解：多边形从一个顶点出发可引出条对角线，
，
解得，
内角和．
故答案为：．
根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式．能够利用多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：四边形是矩形，
，，，
将矩形纸片折叠，使得点和点重合，
，
，
，
即，
，
故答案为．
由四边形是矩形，得到，，，根据折叠的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，矩形的性质，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
 

14.【答案】

或
 

【解析】

解：由，可设、点坐标分别为、，
，
，，
∽．
当点在线段上时，如图所示．
，
点为线段的中点，
，，
点横坐标为，
由题意知、点均在抛物线的对称轴上，
，
点坐标为，
，在抛物线上，且抛物线对称轴为，
有，
解得：，或，
，
；
当点在线段上时，如图所示．
，
．
，，
点横坐标为，
由题意知、点均在抛物线的对称轴上，
，
点坐标为，
，在抛物线上，且抛物线对称轴为，
有，
解得：，或．
，
．
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
设、，分点在线段上及点在线段上两种情况，由，利用相似三角形的性质可得出、间的关系，将、点坐标代入抛物线与抛物线对称轴联立方程组，解方程组即可求得的值．
本题考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据找到、点坐标的关系．
 

15.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】

解：列表如下：

所有等可能的情况有种，其中两次摸出的牌的标记相同的情况有种，
．
 

【解析】

列表得出所有情况，其中两次摸出的牌的标记相同的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】

解：设每套水浒传连环画的价格为元，则每套三国演义连环画的价格为元．
由题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意
答：每套水浒传连环画的价格为元．
 

【解析】

设每套水浒传连环画的价格是元．则三国演义连环画的价格是元．根据“用元购买水浒传连环画的套数是用元购买三国演义连环画套数的倍”列出方程并解答，注意要验根．
本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
 

18.【答案】

【解析】

证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线；
，，，
，，
，
∽，
，
，
，
的半径长为，
故答案为：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，求得，于是得到结论；
解直角三角形得到，，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】

              甲  甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高
 

【解析】

解：填表如下：

人．
故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为人；
答案不唯一，理由合理即可．
可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高．
或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：
乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
故答案为：，，，，，；
；甲或乙，甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
或乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
乙部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
根据收集数据填写表格即可求解；
用乙部门优秀员工人数除以乘以即可得出答案，根据情况进行讨论分析，理由合理即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

20.【答案】

解：如图所示，

即为所求；
即为所求．
 

【解析】

在图网格中，根据勾股定理画出的高即可；
在图网格中，根据平行四边形的对角线相等且互相平分线找到点，连接交于点，即可画出．
本题考查了作图应用与设计作图、轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

21.【答案】

【解析】

解：线段代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，
小时，
甲车的速度千米小时；
故答案为：；；

设乙开始的速度为千米小时，
则，解得千米小时，
，
则，，
线段的函数关系式为，
设直线的解析式为，

，
解得，
所以线段所表示的与的函数关系式为；
综上所述，乙车距地的路程与之间的函数关系式为：
；

易知，
设线段的解析式为，根据题意得，
，解得，
线段的解析式为，
甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，
，解得，
，解得，
则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：小时．
由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，甲从到共用了小时，然后利用速度公式计算甲的速度；
分段函数；设乙开始的速度为千米小时，利用乙两段时间内的路程和为列方程，解得千米小时，计算出，则可得到，，然后利用待定系数法求出线段所表示的与的函数关系式为；
求出线段的解析式，再根据题意列不等式组解答即可．
本题考查了一次函数的应用：学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化．
 

22.【答案】

【解析】

【教材呈现】
已知：如图，直线，、是直线上的两点，于点，于点，
求证：，
证明：于点，于点，
，
，、是直线上的两点，
，
四边形是平行四边形，
．
【结论应用】
解：如图，，，
，
设直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，直线与直线的距离为，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
解：如图，作于点，于点，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为，
故答案为：．
【教材呈现】由于点，于点得，则，、是直线上的两点得，则四边形是平行四边形，所以；
【结论应用】由，，得，根据“等底等高的三角形的面积相等”这一规律可证明，则，同理可证明，，所以，即可证明；
作于点，于点，则，由，，得，根据勾股定理求出，再根据列方程求出的长，根据“两条平行线之间的距离处处相等”求得的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的面积．
此题考查平行四边形的判定与性质、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的性质、勾股定理的应用、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，正确理解和运用等底等高的三角形的面积相等这一规律是解题的关键．
 

23.【答案】

解：，，，
，，
当时，，
当时，，
；
如图，

当点在上时，，则四边形是矩形，
，
，
；
如图，

▱是轴对称图形，
▱是矩形，
，
；
如图，

设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
≌，
，
，
，
．
 

【解析】

分为点在和上，可求得和的值，当点在上时，，当点在上时，等于点运动路程减去；
当点在上，▱是矩形，此时，解直角三角形求得结果；
由条件得出▱是矩形，求得点运动路程是，进而求得结果；
当时，，即，根据，可以画出相应图形，根据图中的，列出方程求得，进而求得结果．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据条件，画出图形．
 

24.【答案】

【解析】

解：把点代入，则，
；

点的坐标为其中为常数，点与点关于轴对称，
点的坐标为，
当时，即时，
把点代入，则，解得，舍去
当时，即时，
把点代入，则，解得，负值舍去，
综上，；

当时不存在两个交点，
当时存在两个交点，此时只有一种情况成立，
即时，且，
解得符合题意，
故答案为：；
当图形上最低点落在函数的图象上时，则最低点坐标为，
，
解得：；
当图形上最低点落在函数的图象上时，
同理：；
综上所述，的取值范围为：或．
直接代入求值即可；
求得点的坐标，分两种求得代入求值即可；
当时，两个公共点只能分别在，上，分别求解即可；
分两种情况：图形上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，图形上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可．
本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中要确定临界点的情况，进而求解．