2021年天津外国语大学附属外国语中学中考数学结课试卷（含答案）

这是一份2021年天津外国语大学附属外国语中学中考数学结课试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年天津外国语大学附属外国语中学中考数学结课试卷
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“﹣5”错写成“+5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（ ）
A．少5 B．少10 C．多5 D．多10
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．4.995×1011 B．49.95×1010
C．0.4995×1011 D．4.995×1010
4．（3分）下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图是由4个完全相同的正方体搭成的几何体，则（ ）

A．三视图都相同 B．俯视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．主视图与左视图相同
6．（3分）估计的结果应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．（3分）计算﹣a﹣1的正确结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
8．（3分）已知关于x、y的方程组的解为，则m、n的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，当x1＜x2＜0＜x3时，y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
10．（3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（ ）

A． B． C． D．
11．（3分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）

A．+1 B． C． D．
12．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案写在答题纸对应位置。）
13．（3分）若3×9m×27m＝321，则m＝ ．
14．（3分）计算：（3+2）（3﹣2）＝ ．
15．（3分）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，，，0.1010010001，﹣随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是 ．
16．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，则直线y＝bx+k不经过的象限是 ．
17．（3分）在等边△ABC中，AB＝5，点D为BC上一点，BD：DC＝1：4．点E和点F分别是AB、AC边上的点，将△AEF沿EF折叠，使点A刚好落在点D处，则AF＝ ．

18．（3分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为 （计算结果不取近似值）．
三、解答题
19．（10分）在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单位：元），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？
20．（10分）如图，BE是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C．
（1）如图①，若∠D＝65°，求∠C的大小；
（2）如图②，若DE∥AC，交AB于点F，∠C＝36°，求∠DFB的大小．

21．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为22°，再向建筑物CD前进30m到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为58°（A，B，C在同一条直线上），求建筑物CD的高度（结果取整数）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60）．

22．（12分）某公司计划选择甲、乙两家旅行社中的某一家旅行社组织员工外出旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且对外报价都是300元/人，为了让该公司选择自己的旅行社，甲旅行社表示可给每人八折优惠；乙旅行社表示可免去一人的费用，其余人可享受九折优惠，设该公司此次外出有x人（x为正整数）．
（1）根据题意填表：
外出人数/人
10
11
15
…
甲旅行社收费/元
　 　
2640
　 　
…
乙旅行社收费/元
2430
　 　
　 　
…
（2）设选择甲旅行社的费用为y1元，选择乙旅行社的费用为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（3）当x＞6时，该公司选择哪家旅行社更合算？请说明理由．
23．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣3，0），点C（1，0），点D（0，1），连AB，AC，BD．
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）如图②，将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，当点D′落在AC上时，求AB′的长；
（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中点B′的坐标．

24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．


2021年天津外国语大学附属外国语中学中考数学结课试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“﹣5”错写成“+5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（ ）
A．少5 B．少10 C．多5 D．多10
【分析】根据有理数的加法和减法法则进行分析，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：将“﹣5”错写成“+5”他得到的结果比原结果多10；
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的加减运算，解题的关键是读懂题意，﹣5与+5正好是相差10，不要把结果看成是多5．
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值可求出∠A＝30°，进而得出∠B的度数，由特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠C＝90°，tanA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴cosB＝cos60°＝，
故选：A．
【点评】本题考查互余两角三角函数的关系以及特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的关键．
3．（3分）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．4.995×1011 B．49.95×1010
C．0.4995×1011 D．4.995×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010．
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）如图是由4个完全相同的正方体搭成的几何体，则（ ）

A．三视图都相同 B．俯视图与左视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．主视图与左视图相同
【分析】分别得出该几何体的三视图进而得出答案．
【解答】解：如图所示：

故该几何体的主视图和左视图相同．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，正确把握三视图的画法是解题关键．
6．（3分）估计的结果应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】先按乘法分配律求出乘积，再估算的大小即可．
【解答】解：＝6﹣6，
∵，
∴8.46＜8.52，
∴2＜＜3，
∴的结果应在2和3之间．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
7．（3分）计算﹣a﹣1的正确结果是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝．
故选：B．
【点评】本题考查了数学整体思想的运用，分式的通分和分式的约分的运用，解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．
8．（3分）已知关于x、y的方程组的解为，则m、n的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把方程组组的解代入方程组，得出关于m、n的方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵关于x、y的方程组的解为，
∴代入得：，
解得：，
故选：A．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和方程组的解，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
9．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，当x1＜x2＜0＜x3时，y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】依据反比例函数为y＝﹣，可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数为y＝﹣，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，且y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
10．（3分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（ ）

A． B． C． D．
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．
【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝＝＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
故选：B．

【点评】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
11．（3分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）

A．+1 B． C． D．
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，
∴OE＝AE＝AB＝1，
DE＝＝＝，
∴OD的最大值为：+1．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
12．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．以下结论正确的是（ ）
①abc＞0；
②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；
③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．
A．①③ B．①②③ C．①④ D．②③④
【分析】根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．
【解答】解：依照题意，画出图形如下：

∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n＞0．
∴a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴x＝1与x＝﹣3的函数值是相等的，故②错误；
∵顶点为（﹣1，n），
∴抛物线解析式为；y＝a（x+1）2+n＝ax2+2ax+a+n，
联立方程组可得：，
可得ax2+（2a﹣k）x+a+n﹣1＝0，
∴△＝（2a﹣k）2﹣4a（a+n﹣1）＝k2﹣4ak+4a﹣4an，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象的交点个数，故③错误；
当﹣3≤x≤3时，
当x＝﹣1时，y有最大值为n，当x＝3时，y有最小值为16a+n，故④正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案写在答题纸对应位置。）
13．（3分）若3×9m×27m＝321，则m＝ 4 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1，
故5m+1＝21，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
14．（3分）计算：（3+2）（3﹣2）＝ 6 ．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（3）2﹣（2）2
＝18﹣12
＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
15．（3分）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，，，0.1010010001，﹣随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是 ．
【分析】先找出无理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：在0，π，，，0.1010010001，﹣中，无理数有π，，共2个，
∴取出的数是无理数的概率是＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
16．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，则直线y＝bx+k不经过的象限是 第三象限 ．
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴直线y＝bx+k经过第一、二、四象限，
∴直线y＝bx+k不经过第三象限，
故答案为：第三象限
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
17．（3分）在等边△ABC中，AB＝5，点D为BC上一点，BD：DC＝1：4．点E和点F分别是AB、AC边上的点，将△AEF沿EF折叠，使点A刚好落在点D处，则AF＝ ．

【分析】设AF＝x，由等边三角形的性质得出BC＝AC＝AB＝5，∠B＝∠C＝∠A＝60°，求出BD＝1，CD＝4，由折叠的性质得：AE＝DE，AF＝DF＝x，∠EDF＝∠A＝60°＝∠B，由三角形的外角性质得出∠BED＝∠CDF，证明△BDE∽△CFD，得出BE＝，DE＝，由AE+BE＝AB＝5得出方程，解方程即可．
【解答】解：设AF＝x，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB＝5，∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵BD：DC＝1：4，
∴BD＝1，CD＝4，
由折叠的性质得：AE＝DE，AF＝DF＝x，∠EDF＝∠A＝60°＝∠B，
∵∠EDC＝∠CDF+∠EDF＝∠BED+∠B，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD，
∴＝＝，即＝＝，
解得：BE＝，DE＝，
∴AE＝DE＝，
∵AE+BE＝AB＝5，
∴+＝5，
解得：x＝，即AF＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握折叠变换和等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
18．（3分）在三角形纸片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为 14﹣2 （计算结果不取近似值）．
【分析】关键在于找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AT取最大值6和当点N与C重合时，AT的最小值8﹣2．所以可求线段AT长度的最大值与最小值之和．
【解答】解：当点M与A重合时，AT取最大值是6，
当点N与C重合时，由勾股定理得此时AT取最小值为8﹣＝8﹣2．
所以线段AT长度的最大值与最小值之和为：6+8﹣2＝14﹣2．
故答案为：14﹣2．

【点评】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．
三、解答题
19．（10分）在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额（单位：元），随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 50 ，图①中m的值为 30 ；
（Ⅱ）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组学生捐款数据的样本数据，若该校共有1800名学生，估计该校此次捐款总金额为多少元？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；
（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据求得的平均数，可以得到该校此次捐款总金额为多少元．
【解答】解：（Ⅰ）8+12+15+10+5＝50（人），
m%＝1﹣16%﹣24%﹣20%﹣10%＝30%，
故答案为：50，30；
（Ⅱ）这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%＝29.2，
众数是30，中位数是30；
（Ⅲ）1800×29.2＝52560（元），
答：该校此次捐款总金额为52560元．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）如图，BE是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C．
（1）如图①，若∠D＝65°，求∠C的大小；
（2）如图②，若DE∥AC，交AB于点F，∠C＝36°，求∠DFB的大小．

【分析】（1）连接OA，可先求出∠AOC，在△OAC中利用内角和即可求出答案；
（2）连接OA，先求出∠AOC，即可得∠B，根据平行求出∠DEB，即可求出结果．
【解答】解：（1）如图，连接OA，

∵∠D＝65°，
∴∠AOB＝2∠D＝130°，
∴AOC＝180°﹣∠AOB＝50°，
∵AC与⊙O相切，
∴∠OAC＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝40°；
（2）如图，连接OA，

∵OA与⊙O相切，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝36°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠C＝54°，
∴∠B＝∠AOC＝27°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠C＝36°，
∴∠BFD＝∠B+∠DEB＝63°．
【点评】本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及圆周角定理是解题关键．
21．（10分）如图，为测量建筑物CD的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为22°，再向建筑物CD前进30m到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为58°（A，B，C在同一条直线上），求建筑物CD的高度（结果取整数）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60）．

【分析】由锐角三角函数定义得出BC≈CD，AC≈CD，再由AB＝AC﹣BC得CD﹣CD＝30，求解即可．
【解答】解：由题意得：∠A＝22°，∠DBC＝58°，AB＝30m，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝tan58°≈1.60，
∴BC≈＝CD，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝tan22°≈0.40，
∴AC≈＝CD，
∴AB＝AC﹣BC≈CD﹣CD＝30（m），
解得：CD＝16（m），
答：建筑物CD的高度约为16m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键．
22．（12分）某公司计划选择甲、乙两家旅行社中的某一家旅行社组织员工外出旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且对外报价都是300元/人，为了让该公司选择自己的旅行社，甲旅行社表示可给每人八折优惠；乙旅行社表示可免去一人的费用，其余人可享受九折优惠，设该公司此次外出有x人（x为正整数）．
（1）根据题意填表：
外出人数/人
10
11
15
…
甲旅行社收费/元
　2400　
2640
　3600　
…
乙旅行社收费/元
2430
　2700　
　3780　
…
（2）设选择甲旅行社的费用为y1元，选择乙旅行社的费用为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（3）当x＞6时，该公司选择哪家旅行社更合算？请说明理由．
【分析】（1）按题意计算即可；
（2）根据题意分别表示两个旅行社的费用即可；
（3）分情况讨论：当y1＜y2时，当y1＝y2时，当y1＞y2时，分别列出方程或不等式求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，当x＝10时，甲旅行社收费为300×0.8×10＝2400（元）；
当x＝11时，乙旅行社收费为300×0.9×（11﹣1）＝2700（元）；
当x＝15时，甲旅行社收费为300×0.8×15＝3600（元），乙旅行社收费为300×0.9×（15﹣1）＝3780（元）；
故答案为：2400，2700，3600，3780；
（2）由题意可得
甲旅行社的费用：y1＝300×0.8x＝240x，
乙旅行社的费用：y2＝300×0.9×（x﹣1）＝270x﹣270；
（3）当y1＜y2时，240x＜270x﹣270，解得x＞9，
∴当x＞9时，选甲旅行社划算；
当y1＝y2时，240x＝270x﹣270，解得x＝9，
∴当x＝9时，两家旅行社收费一样；
当y1＞y2时，240x＞270x﹣270，解得x＜9，
∴当6＜x＜9时，选乙旅行社划算．
【点评】本题考查一次函数应用，根据题意列出一次函数关系式是解题关键．
23．（12分）如图①，在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B（﹣3，0），点C（1，0），点D（0，1），连AB，AC，BD．
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）如图②，将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，当点D′落在AC上时，求AB′的长；
（Ⅲ）试直接写出（Ⅱ）中点B′的坐标．

【分析】（Ⅰ）延长BD交AC于M，由SAS证明△AOC≌△BOD，得出对应角相等，即可得出结论；
（Ⅱ）作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，由旋转的性质得出∠BOD＝∠B′OD′＝90°，OB＝OB′，由矩形的性质得出OF＝AE，求出点B（﹣3，0），得出OB＝OA＝OB′，证出AE＝EB′，由勾股定理得出AC＝＝，由三角形的面积求出OF＝，得出AB'＝2AE＝2OF＝即可；
（Ⅲ）由待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，得出直线OE的解析式为y＝﹣3x，直线AB'的解析式为y＝x+3，解方程组得出点E的坐标，设B'（a，b），由中点坐标公式即可得出答案．
【解答】（Ⅰ）证明：延长BD交AC于M，如图①所示：
∵点A（0，3），点B（﹣3，0），点C（1，0），点D（0，1），
∴OA＝OB＝3，OC＝OD＝1，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∵∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OBD+∠ACO＝90°，
∴∠BMC＝90°，
∴BD⊥AC；

（Ⅱ）解：作OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，如图②所示：
∵将△BOD绕着点O旋转，得到△B′OD′，∠BOD＝90°，
∴OB'＝OB＝OA，OD'＝OD＝OC，∠B′OD′＝90°，OB＝OB′，
∴∠B'OD'＝∠AOC＝90°，
∴∠AOB'＝∠COD'，
∵OF⊥AC于F，OE⊥AB′于E，
∴∠AOE＝∠COF，
∴∠EOF＝90°，
∴四边形OFAE是矩形，
∴OF＝AE，
∵点A（0，3），点B（﹣3，0），
∴OB＝OA＝OB′，
∵OE⊥AB′，
∴AE＝EB′，
由勾股定理得：AC＝＝，
由三角形的面积得：AC•OF＝OA•OC，
∴OF＝＝＝，
∴AB'＝2AE＝2OF＝；

（Ⅲ）解：设直线AC的解析式为y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，
∵OE∥AC，AB'⊥AC，
∴直线OE的解析式为y＝﹣3x，直线AB'的解析式为y＝x+3，
解方程组得：，
即E（﹣，），
设B'（a，b），由中点坐标公式得：＝﹣，，
解得：a＝﹣，b＝，
∴B'（﹣，）．


【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算方法、一次函数解析式的求法、两条直线的位置关系等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y＝ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），
∴E（0，），
∴点P的纵坐标，
当y＝时，即﹣x2+2x+3＝，
解得x1＝，x2＝（不合题意，舍），
∴点P的坐标为（，）；

（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
，
解得．
直线BC的解析为y＝﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
OA＝1，
AB＝3﹣（﹣1）＝4，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△PCQ+S△PBQ
＝AB•OC+PQ•OF+PQ•FB
＝×4×3+（﹣m2+3m）×3
＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，四边形ABPC的面积最大．
当m＝时，﹣m2+2m+3＝，即P点的坐标为（，）．
当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．