高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性练习，共5页。

1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( )
A．y＝|x|＋2 B．y＝3－x
C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－x2＋4
解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝eq \f(1,x)在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
2．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是( )
A.eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)≤f(x1)D．f(x1)>f(x2)
解析：选AB 由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于选项C、D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．
3．函数f(x)＝|x＋2|在[－3，0]上( )
A．单调递减 B．单调递增
C．先减后增 D．先增后减
解析：选C 作出f(x)＝|x＋2|在(－∞，＋∞)上的图像，如图所示，
易知f(x)在[－3，0]上先减后增．
4．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
解析：选D 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.
5．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＜0，则( )
A．f(3)＜f(2)＜f(1) B．f(1)＜f(2)＜f(3)
C．f(2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(2)
解析：选A 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq \f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)＜0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3＞2＞1，则f(3)＜f(2)＜f(1)．
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1，))则f(x)的单调递减区间是________．
解析：当x≥1时f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)解析：由题设得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x<\f(1,2)，))解得－1≤x答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))
8．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图像的对称轴为x＝eq \f(k,8)，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1，5]上为单调函数，所以eq \f(k,8)≤1或eq \f(k,8)≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．
答案：(－∞，8]∪[40，＋∞)
9．判断并证明函数f(x)＝－eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解：函数f(x)＝－eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上是增函数．
10．作出函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,（x－2）2＋3，x>1))的图像，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,（x－2）2＋3，x>1))的图像如图所示．
由图可知，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,（x－2）2＋3，x>1))的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞)．
[B级 综合运用]
11．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图像上的两点，则－1A．(－3，0) B．(0，3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选B 由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－112．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a－3）x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
解析：选D 依题意得实数a满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－3<0，,2a>0，,（a－3）＋5≥2a，))
解得013．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，
又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，
即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－eq \f(3,2).故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2))))).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)))))
14．已知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>0，f(3)＝1.试判断g(x)＝f(x)＋eq \f(1,f（x）)在(0，3]上是增函数还是减函数，并加以证明．
解：函数g(x)在(0，3]上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈(0，3]，且x1g(x1)－g(x2)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f（x1）＋\f(1,f（x1）)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f（x2）＋\f(1,f（x2）)))＝[f(x1)－f(x2)]eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(1,f（x1）f（x2）))).
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)<0.
又f(x)>0，f(3)＝1，
所以0则01，
即1－eq \f(1,f（x1）f（x2）)<0，
所以g(x1)－g(x2)>0，g(x1)>g(x2)．
故g(x)＝f(x)＋eq \f(1,f（x）)在(0，3]上是减函数．
[C级 拓展探究]
15．已知函数f(x)，g(x)在数集D上都有定义，对于任意的x1，x2∈D，当x1(1)试判断函数g(x)＝eq \f(1,x2)是否是函数f(x)＝－eq \f(1,x)在D＝(0，＋∞)上的限制函数；
(2)设g(x)是f(x)在区间D1(D1⊆D)上的限制函数且g(x)在区间D1上的值恒正，求证：函数f(x)在区间D1上是增函数；
(3)设f(x)＝x2－2eq \r(x)，试写出函数f(x)在D＝(0，＋∞)上的限制函数，并利用(2)的结论，求f(x)在D＝(0，＋∞)上的单调区间．
解：(1)对任意0所以f(x)在D＝(0，＋∞)上的限制函数为g(x)＝eq \f(1,x2).
(2)证明：对于任意的x1，x2∈D1⊆D，当x1因为g(x)在区间D1⊆D上恒为正值，所以g(x1)>0，g(x2)>0，
由于g(x1)≤eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)≤g(x2)或g(x2)≤eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)≤g(x1)成立，
所以0所以f(x)在D1上是增函数．
(3)设0所以2x1－eq \f(1,\r(x1))即g(x)＝2x－eq \f(1,\r(x)) .
由g(x)＝2x－eq \f(1,\r(x)) >0，解得x>eq \f(1,\r(3,4))，
因而当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,4))，＋∞))时，g(x)>0，f(x)递增，即f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,4))，＋∞))；
当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,\r(3,4))))时，g(x)<0，f(x)递减，即f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,\r(3,4)))).