数学3.3 函数的应用(一)同步训练题

这是一份数学3.3 函数的应用(一)同步训练题，共7页。

1．某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆．现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元．则总费用最少为( )
A．300元 B．400元
C．700元 D．860元
解析：选D 设从甲仓库调到A县的车辆数为x，则从甲仓库调往B县的车辆数为12－x，从乙仓库调往A县的车辆数为10－x，从乙仓库调往B县的车辆数为6－(10－x)＝x－4.设总费用为y，则y＝40x＋80×(12－x)＋30×(10－x)＋50×(x－4)＝1 060－20x(4≤x≤10，x∈N)，要想使运费y最少，则需x最大，所以当x＝10时，运费y最少，为860元．
2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x.若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
解析：选B 设每天的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)，30≤x≤54，将上式配方后得y＝－3(x－42)2＋432，当x＝42时，y取得最大值．故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得最大的销售利润．
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.eq \f(\r(3),2) cm2 B．4 cm2
C．3eq \r(2) cm2 D．2eq \r(3) cm2
解析：选D 设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知04．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( )
A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵
C．两者相同 D．无法确定
解析：选A 设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y<22且6x＋3y>24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小．
设4x＋5y＝m，6x＋3y＝n，
则2x＝eq \f(5n－3m,9)，3y＝eq \f(3m－2n,3)，
故t＝2x－3y＝eq \f(11n－12m,9)>eq \f(11×24－12×22,9)＝0，
所以2个茶杯贵．
5．(多选)水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，观察水的高度随时间的变化，下列图像与容器匹配的有( )
A．a—(3) B．b—(2)
C．c—(1) D．d—(4)
解析：选AB 图a和图b的水面上升速度是匀速的，且a上升得快，因此a—(3)，b—(2)．图c的水面开始是缓慢上升，后来上升得快，而图d的水面是开始上升得快，中间较缓慢，后来加快，因此c—(4)，d—(1)．故选A、B.
6．(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)和乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系分别如图中甲、乙所示，则( )
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(5,2)
解析：选ABCD 由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；易知当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(5,2)，故D正确，故选A、B、C、D.
7．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．
解析：设年增长率为x(x>0)，则eq \f(400,40%)×(1＋x)2＝1 690，所以1＋x＝eq \f(13,10)，因此2020年预计经营总收入为eq \f(400,40%)×eq \f(13,10)＝1 300(万元)．
答案：1 300
8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数：R(Q)＝4Q－eq \f(1,200)Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)
解析：由L(Q)＝4Q－eq \f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－eq \f(1,200)(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取得最大值250万元．
答案：250 300
9.某人定制了一批地砖，每块地砖(如图所示)是边长为1 m的正方形ABCD，点E，F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE，△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成．制成△CFE，△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元．问点E在什么位置时，每块地砖所需的材料费用最省？
解：设CE＝x m，0当x＝eq \f(1,4)＝0.25时，W有最小值，即费用最省．
故当点E与点C相距0.25 m时，每块地砖所需的材料费用最省．
10．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，
由均值不等式得
3 200≥2eq \r(40x×90y)＋20xy＝120eq \r(xy)＋20xy，
＝120eq \r(S)＋20S.
所以S＋6eq \r(S)－160≤0，即(eq \r(S)－10)(eq \r(S)＋16)≤0，
故eq \r(S)≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米．
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
[B级 综合运用]
11．(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示．
则下列说法中，正确的有( )
A．图②的建议：提高成本，并提高票价
B．图②的建议：降低成本，并保持票价不变
C．图③的建议：提高票价，并保持成本不变
D．图③的建议：提高票价，并降低成本
解析：选BC 根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故B正确；
由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确．
12．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为( )
A．5 m B．3.5 m
C．5.5 m D．7.5 m
解析：选D 根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1(x＋2)2＋8(－10≤x≤0)或y＝a2(x－2)2＋8(0≤x≤10)，由x＝－10，y＝0，可得a1＝－eq \f(1,8)；由x＝10，y＝0，可得a2＝－eq \f(1,8)，于是，所求函数解析式是y＝－eq \f(1,8)(x＋2)2＋8(－10≤x<0) 或y＝－eq \f(1,8)(x－2)2＋8(0≤x≤10)．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m．故选D.
13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
解析：若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系(图略)，则抛物线的对称轴为直线x＝1.
设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5，
当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2.
∴y＝2(x－1)2＋0.5.
∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米．
答案：0.5
14．用水清洗一份蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的eq \f(1,2)，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)＝eq \f(1,1＋x2).
(1)求f(0)的值，并解释其实际意义；
(2)现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
解：(1)f(0)＝1，其实际意义为没有用水清洗的情况下蔬菜上残留的农药量．
(2)f(a)＝eq \f(1,1＋a2)>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝eq \f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq \f(4,4＋a2)，
f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,4＋a2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,（a2＋4）2)>0，
eq \f(f（a）,f2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))))＝eq \f(（a2＋4）2,16（a2＋1）)，
①eq \f(f（a）,f2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))))>1，即a>2eq \r(2)时，f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))此时清洗两次残留的农药量更少；
②eq \f(f（a）,f2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))))＝1，即a＝2eq \r(2)时，f2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝f(a)，
此时清洗一次或两次残留的农药量一样；
③eq \f(f（a）,f2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2))))<1，即0此时清洗一次残留的农药量更少．
综上，当0当a＝2eq \r(2)时，清洗一次或两次残留的农药量一样；
当a>2eq \r(2)时，清洗两次残留的农药量更少．
[C级 拓展探究]
15．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如下：
(1)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
解：(1)根据图像，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为P＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＋20，0(2)描出实数对(t，Q)的对应点(如图)．
从图中可以发现，点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)基本上分布在一条直线上，
假设这条直线为l：Q＝kt＋b.由点(5，35)，(30，10)确定出直线l的解析式为Q＝－t＋40，
通过检验可知点(15，25)，(20，20)也在直线l上．
所以日销售量Q与时间t的函数关系式为Q＝－t＋40(0(3)设日销售金额为y(元)，则
y＝P×Q＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－t2＋20t＋800，0＜t＜25，t∈N*,t2－140t＋4 000，25≤t≤30，t∈N*))
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－（t－10）2＋900，0＜t＜25，t∈N*，,（t－70）2－900，25≤t≤30，t∈N*，))
若0若25≤t≤30，t∈N*，则当t＝25时，ymax＝1 125.
由1 125>900，知ymax＝1 125.
故这种商品日销售金额的最大值为1 125元，30天中的第25天的日销售金额最大．
t(天)
5
15
20
30
Q(件)
35
25
20
10