精品解析：2021年浙江省嘉兴市桐乡市中考一模数学试题（解析版+原卷板）

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2021年初中毕业生学业水平考试适应性试卷（一）
数学试题卷
一、选择题
1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 据嘉兴日报报道，2019年嘉兴市城乡居民收入继续保持全省前列．其中，农村居民人均可支配收入为37413元，连续十六年居全省首位．数37413用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据科学记数法的定义可以得出答案．
【详解】解：根据科学记数法的一般形式：（为整数），
数37413用科学记数法表示为:
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，解题的关键是：掌握科学记数法的定义，会确定一般形式中，的值．
3. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）．

A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】观察数轴可知a<0，b，可直接判断均选项A、B、C；根据a、b的绝对值的大小，利用符号法则化去绝对值可判断D即可．
【详解】解：A.观察数轴可知a<0，b，
故选项A正确；
B.∵a<0，b，∴，
故选项B正确；
C. ∵a<0，b，∴，
故选项C正确；
D. ∵，a<0，b，∴，∴，
故选项D不正确．
故选D．
【点睛】此题考查了实数大小比较以及数轴，涉及的知识有：数轴上点的位置，实数的乘法，绝对值符号化简，不等式性质，熟练掌握数轴上点位置与数大小的关系是解本题的关键．
4. 如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体放到小正方体的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（ ）．

A. 主视图不变 B. 俯视图不变
C. 左视图改变 D. 以上三种视图都改变
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可判断．
【详解】解：根据三视图的定义，
A，主视图会变，故选项错误，不符合题意；
B，俯视图不会变，故选项正确，符合题意；
C，左视图不会改变，故选项错误，不符合题意；
D，主视图改变，俯视图记左视图不会改变，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的定义，解题的关键是：搞清楚三视图的定义，主视图，从正面看；左视图，从左往右看；俯视图，从上往下看．
5. 为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( )
A. 条形统计图 B. 频数直方图 C. 折线统计图 D. 扇形统计图
【5题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，需要反映部分与总体的关系，故最适合的统计图是扇形统计图．
【详解】欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选D．
【点睛】本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键．
6. 已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则 （ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】先设男生x人，根据题意可得.
【详解】设男生x人，则女生有(30－x)人，由题意得：，故选D.
【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是读懂题意，得出一元一次方程.
7. 如图，是的直径，点在的延长线上，切于点．若，，则等于（ ）．

A. 6 B. 4 C. D. 3
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】连结BC，OC，根据CD为切线，可得OC⊥DC，利用锐角三角函数可求OC=CDtan∠OAC=，可求∠DOC=60°根据三角形外角性质∠A=∠OCA=，由AB为直径，可得∠BCA=90°，利用AC=ABcos30°=即可．
【详解】解：连结BC，OC，
∵CD为切线，
∴OC⊥DC，
在Rt△DOC中，
∵，，
∴OC=CDtan∠OAC=，
∴OB=OA=OC=2，∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60°
∴∠A=∠OCA=
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°
在Rt△ABC中，
∵AB=2OA=4，∠A=30°，
∴AC=ABcos30°=．
故选择C．

【点睛】本题考查切线性质，锐角三角函数，三角形外角性质，掌握切线性质，锐角三角函数，三角形外角性质是解题关键．
8. 选择计算的最佳方法是（ ）
A. 运用多项式乘多项式法则 B. 运用平方差公式
C. 运用单项式乘多项式法则 D. 运用完全平方公式
【8题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的乘方公式即可求解．
【详解】=，
故运用平方差公式较好，
故选B．
【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知平方差公式的特点．
9. 如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上一点，将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）．

A. 1 B. C. 2 D.
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】利用直角三角形中特殊的角度及勾股定理求出边长，再利用点是边的中点及菱形的性质算出菱形对角线的长度，最后通过等量代换求解可得．
【详解】解：在直角三角形中，，，，
，
，
又是边的中点，
，
又四边形是菱形，
设交于点，
，
将沿直线折叠，得到，
，
在中，
，
由折叠知：
，
，
故选：A．

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形及勾股定理求边长，菱形的性质、图形的折叠，解题的关键是：掌握以上相关性质，通过计算求出相应边长，再通过等量代换得到．
10. 已知二次函数（，），当时，随的增大而减小，则的最大值为（ ）．
A. 4 B. 6 C. 8 D.
【10题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数解析式求出对称轴的直线方程，分类讨论抛物线的开口方向向下或向上的的取值范围，将转化为含一个未知数的整式求最值．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
时，随的增大而减小，
，即，
解得:，
，
．
当时，抛物线开口向下，
时，随的增大而减小，
，即，
解得：，
，
，
由
此情况不存在.
综上所述：的最大值为8，
故选：
【点睛】本题考查来二次函数的性质及最值问题，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，主要根据抛物线的开口方向进行分类讨论．
二、填空题
11. 因式分解：______．
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】直接利用提公因式法进行因式分解即可；
【详解】 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，正确掌握知识点是解题的关键．
12. 嘉嘉、舟舟、彤彤三人中任选一人参加“校园十佳歌手”比赛，嘉嘉被抽中的概率为______．
【12题答案】
【答案】
【解析】
【分析】有三种等可能的结果，嘉嘉被抽中的有一种，由概率公式计算可得．
【详解】解：根据题意知：
一共有三种等可能结果，嘉嘉被抽中的有一种，
由概率公式，
则嘉嘉被抽中的概率为，
故答案是：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是：由题意确定总的结果数，再从中选出满足条件的结果数，利用概率公式可得．
13. 已知，则代数式的值为______．
【13题答案】
【答案】1
【解析】
【分析】将原式变形进而将已知x-2y=3代入求出即可．
【详解】解：∵
∴=
故答案为：1
【点睛】此题考查了代数式的求值，此题难度不大，注意掌握整体思想的应用．
14. 如图，在中，是的中点，以点为位似中心，作的位似图形．若点A的对应点是的重心，则与的位似比为______．

【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】结合题意，根据三角形重心的性质，得；再根据位似的性质，得，通过相似比计算，即可得到答案．
【详解】∵点是的重心，是的中点
∴
∵是的中点，以点为位似中心，作的位似图形
∴
∴
故答案：．
【点睛】本题考查了位似、三角形重心、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形重心、位似和相似三角形的性质，从而完成求解．
15. 如图，已知一次函数的图像分别与轴，轴相交于点，，是直线上一点，当时，点的坐标是______．

【15题答案】
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意在函数图象上做出可能存在的点的位置，做出OD⊥AB于点D，利用勾股定理结合三角函数求出相应的，再设出点C坐标求解即可．
【详解】与轴，轴相交于点，，
∴A（5，0），B（0，），
∴ ，
，
∴，
如图：作OD⊥AB于点D，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
又∵点C在直线上，
∴设C（t，），
代入，
解得：t=3或-1，
∴点C坐标为或．


故答案为：或
【点睛】此题考查一次函数动点的相关知识，利用解直角三角形中锐角三角函数知识和勾股定理的应用求解，有一定难度．
16. 如图，边长为2的正方形中，动点在边上，在射线上取一点，使，当动点从点出发向终点运动时，点的运动路径长为______，线段的最大值是______．

【16题答案】
【答案】 ①. ②. 4
【解析】
【分析】以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，可知圆的半径为2，延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接并延长交⊙O于连接可知点G的运动路径为，根据弧长公式求解即可，BG最大值为BH，根据圆的直径即可得解．
【详解】解：如图，以AB为边在正方形ABCD内作等边三角形ABO，点O为圆心，OA为半径作圆，

则点G在⊙O上
延长AO，BC交于点K，延长BO，AD交于点H，连接并延长交⊙O于连接
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°
∴点K，H，在⊙O上
∴∠BKA=∠AHB=∠AGB=30°
∵F从点C运动到点D，则G点从K运动到，
即G点运动路径为，
正方形

∴，
∵圆内最长的弦为直径，由图可知BG最大值为BH
∵BH为O直径，即BH=2r=4，
∴BG最大值为4．
故答案为：π；4
【点睛】此题考查了点的运动，圆周角，弧长公式等知识，正确作出辅助圆是解答此题的关键．
三、解答题
17. （1）计算：
（2）化简：
【17题答案】
【答案】（1）0；（2）-1
【解析】
【分析】（1）直接根据零指数幂、绝对值以及二次根式的运算方法进行计算即可；
（2）直接通分，进行化简即可；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了零指数幂、绝对值、二次根式以及分式方程的化简求值，正确掌握运算方法是解题的关键；
18. 已知：如图，在四边形中，，．求证：．小明同学的证明过程如下框：


小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【18题答案】
【答案】小明的证法错误，见解析
【解析】
【分析】小明想通过全等三角形的判定定理来证明三角形全等，对应边相等，但小明对全等三角形的判定定理掌握不牢固，不是直角三角形中，利用已知两边和一角，角必须是夹角才行，所以小明的证法错误，需要利用等腰三角形的判定定理及性质来解决该题．
【详解】小明的证法错误；

证明：连接．
∵，∴，
又∵，∴，
为等腰三角形，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理及性质，解题的关键是：掌握等腰三角形的判定定理及性质．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图象上．连结，作轴于点．

（1）直接写出的值；
（2）将沿轴向上平移个单位长度，得到，对应边是．当的中点在反比例函数的图象上时，求的值．
【19题答案】
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数表达式知，结合点即可得到结果，
（2）根据反比例函数表达式设出平移后的中点坐标，代入函数式求解即可．

【详解】（1）．

（2）设的中点为，作轴于点．
∵由向上平移个单位长度得到，，
∴，，
∴设
∵在反比例函数的图象上，
∴代入函数表达式为：，
∴．
【点睛】此题考查反比例函数表达式的求解和函数中平移点的坐标变换，难度一般．
20. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，画的角平分线（保留画图痕迹，不写画法）．


【20题答案】
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可以找到点，有三种情况；
（2）为等腰三角形，找到的中点连接点即可．
【详解】解：（1）过点向左或向右作，有两种情况；过点作，除去重复的情况，有一种情况，综上所述：有三种情况，如下图1．
（2）由题意知：
，
为等腰三角形，作的角平分线，只需找到的中点，连接点即可，如图，将作为一个矩形的对角线，连接另一条对角线，两线的交点即为的中点，再连接点，如下图2：

【点睛】本题考查了平行四边形的作法及角平分线的作法，矩形的性质，解题的关键是：掌握平行四边形的判定定理和角平分线的性质．
21. 某市举办中学生科普知识竞赛，试卷满分为100分，规定85分及以上为合格，95分及以上为优秀．，两支代表队参加了这次科普知识竞赛，将两队的竞赛成绩制成如下所示的统计图表（数据不完整）：

某市中学生科普知识竞赛，两队成绩统计表
组别
平均分
中位数
众数
方差
合格率
优秀率
A队
88
90
90
61
70%
30%
B队
87
a
b
71
c
25%
根据上述统计图表，解答下面的问题：
（1）请直接写出统计表中，，的值．
（2）在这两支代表队中，小辉的成绩低于本队的平均分，但在本队里能位列中游，则小辉可能是哪一队的？请说明理由．
（3），两支代表队中，哪一队的成绩更好一些？请说明理由．
【21题答案】
【答案】（1），，；（2）小辉可能是队的；见解析；（3）队更好一些，见解析
【解析】
【分析】（1）结合条形图中的数据，根据平均数和中位数以及合格率的概念求解即可；
（2）由A队的中位数为90分高于平均分88分，B队的中位数85分低于平均数87分可得答案；
（3）从平均分、合格率、优秀率及方差的意义求解即可．
【详解】解：（1）B队的人数为2+3+4+6+2+3=20（人）
把B队分数按大小顺序排列，最中间的两个数据是85分和85分，
所以，这组数据的中位数是（分）
85分出现次数最多，共6次，故众数b=85分；
85分及以上的人数为：6+4+2+3=15（人）
所以，B队成绩的合格率c=；
故答案为：，，
（2）∵A队的中位数为90分高于平均分88，队的中位数为85分低于平均分87分，
∴小辉可能是队的
（3）A队更好一些
理由如下：
A队的平均分、中位数、众数、优秀率都高于队，虽然队合格率高于A队，但A队方差低于队，所以A队的整体水平要高，整齐程度也要好一些．
【点睛】此题考查了条形统计图，中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．
22. 如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成．图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点处，支撑点是的中点，电子器材可绕点转动，支撑板可绕点转动．
（1）如图2，求摄像头（点）离地面的高度（精确到）．
（2）如图3，为方便使用，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转度，使点落在水平托板上，求（精确到）．（参考数据：，，）

【22题答案】
【答案】（1）139.5cm；（2）33.4°
【解析】
【分析】（1）如图2，作于点，，于点，根据，利用余角关系可求，利用锐角三角函数可求，由，根据角的和差计算可求，根据平角可求，利用三角函数可求，由题意；
（2）先求出，利用锐角三角函数值，求角度即可．
【详解】解：（1）如图2，作于点，，于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴AB=cm,
∴，
∴．

（2），
又∵，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查解直角三角形应用，利用辅助线构造直角三角形，余角关系，平角定义，直角，利用锐角三角函数值求角，近似计算，正确理解题意、掌握上述知识是解题关键．
23. （1）如图1，在中，为上一点，．求证：．
（2）如图2，在中，是上一点，连结，．已知，，．求证：．
（3）如图3，四边形内接于，、相交于点．已知的半径为2，，，，求四边形的面积．

【23题答案】
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由化比例，与，可证∽即可；
（2）由，可得，AD=BC，根据线段比值计算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可证∽即可；
（3）连结交于点，连结，根据，，可得AC=2AE，根据线段比值计算可得，由∠BAC=∠EAB，可证∽，可证∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根据勾股定理OF=，可求，可证，，可得S△BCD= 即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，
∴，
又∵，
∴∽，
∴．

（2）证明：如图2，∵，
∴，AD=BC，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵∠EAC=∠CAB，
∴∽，
∴，即，
∴．
∴；

（3）解：如图3，连结OA交于点，连结，
∵，，
∴AC=2AE，
∴，，
∴，
∵∠BAC=∠EAB，
∴∽，
∴，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴点A是弧的中点，BD为弦，OA为半径，
∴，BF=DF，
∵，，
∴BF=DF= ，
在Rt△OBF中，
根据勾股定理OF=，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=，
∴．

【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键．
24. 今年国内族游市场逐步回暖，“周末自驾旅游”成为出游新趋势，但游客进入景区仍需要检测体温．“百花园”景点每天9点钟开园，游客入园高峰时段是开园后半小时，为做好防疫工作，景点词查了某周六开园后半小时内进入景点的游客累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间x/时间
0
1
2
3
4
5
…
10
11
12
13
…
30
累计人数y（人）
0
190
360
510
639
750
…
1000
1020
1040
1060
…
1400
已知游客测量体温均需排队，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人．
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出与之间的函数关系式．
（2）排队人数最多时有多少人？前1000位游客都完成体温检测需要多少时间？
（3）若开园分钟后增设个体温检测点（受场地限制，检测点总数不能超过10个），以便在9点10分时正好完成前1000位游客的体温检测，求，的值．
【24题答案】
【答案】（1）当时，；当时，；（2）640人；25分钟；（3）x=5，m=6；x=4，m=5；x=0，m=3．
【解析】
【分析】（1）由表格观察前十分钟呈抛物线变化，十分钟以后呈直线变化，当时，利用待定系数法求抛物线解析式为；当时，利用待定系数法；
（2）①设排队人数为，根据函数分段表示：当时， ，当时，，可得排队人数最多时有640人；
②根据体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人．检测完人数y与时间x的关系为y=40x，利用函数值可求自变量；
（3）若开园分钟后增设个体温检测点，在9点10分时正好完成前1000位游客的体温检测，可列方程与不等式，整理得，
利用整除方法找出为30的正约数讨论即可．
【详解】解：（1）由表格观察前十分钟呈抛物线变化，十分钟以后呈直线变化，
当时，设抛物线解析式选取三点（0，0）（1，190）（2，360）代入解析式得，
解得，
∴；
当时，设直线解析式为选取两点（11，1020）（12，1040）代入解析式得，
解得，
∴；
（2）①设排队人数为，则：
当时，，
∴，
当时，有最大值640（人）；
当时，，
∴，
∴排队人数最多时有640人；
②∵体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人．
∴检测完的人数y与时间x的关系为y=40x，
当时，，
∴前1000位游客都完成体温检测需要25分钟；
（3）若开园分钟后增设个体温检测点，在9点10分时正好完成前1000位游客的体温检测，则：
∵，都是自然数，
∴，
∴
∴，
∴为30的正约数，
∵10-x≤10，不大于10的30的正约数为1，2，3，5，6，10，
当10-x=1时, x=9，m=30>8舍去，
当10-x=2时, x=8，m=15>8舍去，
当10-x=3时,x=7，m=10>8舍去，
当10-x=5时，x=5，m=6<8，
当10-x=6时，x=4，m=5<8，
当10-x=10时，x=0，m=3<8．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，二次函数与一次函数的性质，方程与不等式，掌握待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，二次函数与一次函数的性质，方程与不等式，利用函数最值以及整除分类讨论思想解决问题是解题关键．