一次函数综合练习

这是一份一次函数综合练习，共24页。
一次函数综合训练
1．如图在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−23x+43与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+b与x轴交于点B，且与直线l1交于点C（﹣1，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．


















2．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点A（2，﹣3）．直线y＝x+b沿y轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D．
（1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围；
（2）当点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上时，求△OBD的面积．






















3．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与坐标轴分别交于A、B两点，将线段AB绕着点A顺时针旋转90°至线段AC．
（1）求△ABC的面积；
（2）求过B、C两点的直线的解析式．






















4．如图，已知直线l1经过点B（0，3）、点C（2，﹣3），交x轴于点D，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线l2．
（1）求直线l1的表达式；
（2）已知点A（7，0），当S△DPC=13S△ACD时，求点P的坐标；
（3）设点P的横坐标为m，点M（x1，y1），N（x2，y2）是直线l2上任意两个点，若x1＞x2时，有y1＜y2，请直接写出m的取值范围．


















5．如图，已知直线l1：y=−34x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线l2的函数表达式
（3）若点P是折线CAB上一点，且S△PBD=12S四边形ABCD，请求点P的坐标．





















6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求m，n的值；
（2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
（3）直接写出使函数y＝﹣x+n的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围．
（4）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



















7．如图，直线AC：y=12x+n交y轴于点C（0，1），直线BD：y＝﹣x+m交x轴于点B（4，0），两直线交于点P，根据图中的信息解答下列问题：
（1）不等式12x+n＜1的解集是　 　，不等式组12x+n＞1−x+m≥0的解集是　 　；
（2）求点P的坐标；
（3）若过点P的直线与x轴交于点E，当以A、P、E为顶点的三角形是直角三角形时，求直线PE的解析式．



















8．如图，一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


















9．已知一次函数的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（32，1），并且y2−y1x2−x1=−32．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）此一次函数的图象是否有可能经过横坐标和纵坐标都是整数的点？说说你的理由．



























10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），且与正比例函数y=32x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数y＝kx+b的函数关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．


2022年04月22日唐声平的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．如图在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=−23x+43与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+b与x轴交于点B，且与直线l1交于点C（﹣1，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．

【解答】解：（1）把点C（﹣1，m）代入y=−23x+43得，m=−23×（﹣1）+43=2，
∴C（﹣1，2），
把C（﹣1，2）代入y＝2x+b得，2＝﹣2+b，
解得b＝4；
（2）∵直线l1：y=−23x+43与x轴交于点A，直线l2：y＝2x+4与x轴交于点B，
∴A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC=12×4×2=4；
（3）将直线l2向下平移t（t＞0）个单位长度后，所得到的直线的解析式为y＝2x+4﹣t，
∵直线l1：y=−23x+43与y轴交点为（0，43），
把（0，43）代入y＝2x+4﹣t得，4﹣t=43，解得t=83，
把A（2，0）代入y＝2x+4﹣t得，4+4﹣t＝0，解得t＝8，
∴平移后所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，t的取值范围是83＜t＜8．
2．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点A（2，﹣3）．直线y＝x+b沿y轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D．
（1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围；
（2）当点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上时，求△OBD的面积．

【解答】解：（1）当点D和点O重合时，
将点O（0，0）代入y＝x+b中，得b＝0，
当点D和点A重合时，
将点A（2，﹣3）代入y＝x+b中，得﹣3＝2+b，即b＝﹣5，
∴b的取值范围是﹣5≤b≤0；
（2）将点A（2，﹣3）代入y＝kx中，得﹣3＝2k，即k=−32，
∴直线OA的解析式为y=−32x，
在y＝x+b中，令y＝0，则x＝﹣b，
∴B（﹣b，0），即OB＝|b|，
∴OB＝OC，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上，
∴CD垂直平分AA′，
∴CA＝CA′，
∴∠ACD＝∠OCB＝45°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC＝|yA|＝3，
∴OB＝OC＝3，即C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入y＝x+b中，得﹣3＝0+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
由y=−32xy=x−3得x=65y=−95，
∴D（65，−95），
∴S△OBD=12OB•|yD|=12×3×95=2710．
3．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与坐标轴分别交于A、B两点，将线段AB绕着点A顺时针旋转90°至线段AC．
（1）求△ABC的面积；
（2）求过B、C两点的直线的解析式．

【解答】解：（1）y＝﹣2x+4中令x＝0，则y＝4，即点B（0，4），
令y＝0，得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，即点A（2，0），
则AB=22+42=25，
所以△ABC的面积为12×25×25=10；

（2）过C点作CD⊥x轴于D，如图．

∵线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，
而∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAD．
在△ABO和△CAD中
∠AOB=∠CDA∠ABO=∠CADAB=CA，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD＝OB＝4，CD＝OA＝2，
∴OD＝OA+AD＝2+4＝6，
∴C点坐标为（6，2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则b=46k+b=2，
解得：k=−13b=4，
则直线BC解析式为y=−13x+4．
4．如图，已知直线l1经过点B（0，3）、点C（2，﹣3），交x轴于点D，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线l2．
（1）求直线l1的表达式；
（2）已知点A（7，0），当S△DPC=13S△ACD时，求点P的坐标；
（3）设点P的横坐标为m，点M（x1，y1），N（x2，y2）是直线l2上任意两个点，若x1＞x2时，有y1＜y2，请直接写出m的取值范围．

【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B（0，3）、点C（2，﹣3）在直线l1上，
∴3=b−3=2k+b，
解之得，k=−3b=3，
∴直线l1的表达式为y＝﹣3x+3；
（2）∵直线y＝﹣3x+3交x轴于D，
∴D（1，0），
∵A（7，0），
∴AD＝6，
过点C作CE⊥x轴于E，
∵C（2，﹣3），
∴CE＝3，
∴S△ACD=12AD×CE=9，
∵S△DPC=13S△ACD，
∴S△DPC＝3，
设点P（x，0），
∴S△DPC=12×|x−1|×3=3，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴P的坐标（3，0）或（﹣1，0）；
（3）如图，过点C作CE⊥AO于E，

∵x1＞x2时，有y1＜y2，
∴直线l2的图象从左向右成下降趋势，
∴m＜2．
5．如图，已知直线l1：y=−34x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线l2的函数表达式
（3）若点P是折线CAB上一点，且S△PBD=12S四边形ABCD，请求点P的坐标．

【解答】解：（1）当x＝0时，y=−34x+6＝6，
∴点B的坐标为（0，6），
当y=−34x+6＝0时，x＝8，
∴点A的坐标为（8，0），
∴S△AOB=12OA⋅OB=12×8×6＝24；
（2）∵将直线l1向下平移4个单位长度后得到直线l2，
∴直线l2的函数表达式是y=−34x+6﹣4=−34x+2．
故答案为：y=−34x+2．
（3）当x＝0时，y=−34x+2＝2，
∴点D的坐标为（0，2）；
当y=−34x+2＝0时，x=83，
∴点C的坐标为（83，0）．
∴S四边形ABCD＝S△AOB﹣S△COD＝24−12×2×83=643．
设点P的横坐标为m（0＜m≤8），
∵S△PBD=12S四边形ABCD，
∴BD•m＝（6﹣2）m=643，
解得：m=163，
∵83＜163＜8，且当x=163时，y=−34x+6=−34×163+6＝2，
∴点P的坐标为（163，0）和（163，2）．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）．
（1）求m，n的值；
（2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标；
（3）直接写出使函数y＝﹣x+n的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围．
（4）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，
∴m＝2．
又∵一次函数y＝﹣x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝﹣2+n，
∴n＝6．
（2）一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，
∴令y＝0，则0＝﹣x+6
∴x＝6，
∴点B坐标为（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴点C坐标为（0，6）；
（3）由图象可知：x＞2；
（4）∵点A（2，4），
∴AB=(2−6)2+(4−0)2=42，
当AB＝BP＝42时，则点P（6+42，0）或（6﹣42，0）；
当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于E，则点E（2，0），

∵AB＝AP，AE⊥BO，
∴PE＝BE＝4，
∴点P（﹣2，0）；
当PA＝PB时，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴点P（2，0），
综上所述：点P坐标为（6+42，0）或（6﹣42，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
7．如图，直线AC：y=12x+n交y轴于点C（0，1），直线BD：y＝﹣x+m交x轴于点B（4，0），两直线交于点P，根据图中的信息解答下列问题：
（1）不等式12x+n＜1的解集是　x＜0　，不等式组12x+n＞1−x+m≥0的解集是　0＜x≤4　；
（2）求点P的坐标；
（3）若过点P的直线与x轴交于点E，当以A、P、E为顶点的三角形是直角三角形时，求直线PE的解析式．

【解答】解：（1）∵直线AC：y=12x+n交y轴于点C（0，1），
∴不等式12x+n＜1的解集是x＜0，
∵直线AC：y=12x+n交y轴于点C（0，1），
∴不等式12x+n＞1的解解为x＞0，
∵直线BD：y＝﹣x+m交x轴于点B（4，0），
∴不等式﹣x+m≥0的解集为x≤4，
∴不等式组12x+n＞1−x+m≥0的解集是0＜x≤4，
故答案为：x＜0；0＜x≤4；

（2）∵直线y=12x+n交y轴于点C（0，1），
∴12×0+n＝1，则n＝1，
∴y=12x+1，
∵直线y＝﹣x+m交x轴于点B（4，0），
∴0＝﹣4+m，则m＝4，
∴y＝﹣x+4，
解方程组y=12x+1y=−x+4，得x=2y=2，
∴P（2，2）；

（3）如图，当∠AEP＝90°时，
∴PE⊥AE，
∴E（2，0），
∴直线PE为：x＝2，
当∠APE'＝90°时，AP2+PE'2＝AE'2，
设点E'（a，0），
如图，直线AC为y=12x+1与x轴交于点A，
∴A（﹣2，0），
则AE'＝a+2，
由（2）知，P（2，2），
∴AP2＝AE'2﹣PE'2＝20，PE'2＝（a﹣2）2+4，
∴20+（a﹣2）2+4＝（a+2）2
∴a＝3，
∴E'（3，0），
∴设直线PE'的解析式为y＝kx+b，
则2k+b=23k+b=0，解之：k=−2b=6
∴直线PE'的解析式为：y＝﹣2x+6．

8．如图，一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y＝kx﹣4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）一次函数y=−43x+4的图象经过点A（m，2），
得−43m+4＝2，
解得m=32，
∵一次函数y=−43x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
∴当y＝0时，−43x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；
当x＝0时，y＝4，即F（0，4）；
（2）把点A（32，2）一次函数y＝kx﹣4，得2=32k﹣4，解得k＝4，
y＝4x﹣4，当y＝0时，x＝1，即P（1，0）．
PE＝3﹣1＝2，
S△APE=12×2×2＝2；
（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y=−43x+4上的点，设Q（m，n）．
由两点间的距离，得AE=(3−32)2+22=52，AP=(1−32)2+22=172，PE＝2．
①当点A与点B为对应顶点时，
∵△APE≌△BQE，
∴S△BQE＝S△APE＝2，
∴12BE×|n|＝2．
∵BE＝AE=52，
∴|n|=85，n＝±85．
当n=85时，−43x+4=85，解得m=95，即Q1（95，85）；
当n=−85时，−43x+4=−85，解得m=215，即Q2（215，−85）；
②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，
则n＝﹣2，把n＝﹣2代入y=−43x+4得m=92，
∴Q3（92，﹣2）．
综上所述：Q1（95，85），Q2（215，−85），Q3（92，﹣2）．

9．已知一次函数的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（32，1），并且y2−y1x2−x1=−32．
（1）求此一次函数的解析式；
（2）此一次函数的图象是否有可能经过横坐标和纵坐标都是整数的点？说说你的理由．
【解答】解：（1）设所求的解析式是y＝kx+b，它的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），
得y1=kx1+by2=kx2+b，
两式相减得y2﹣y1＝k（x2﹣x1），
所以k=y2−y1x2−x1=−32．
∴y=−32x+b（3分）
把点C（32，1）代入得1=−32×32+b，
所以b=134，
所以所求函数的解析式是y=−32x+134．

（2）整理得6x+4y＝13，设x、y都是整数，
由于y＝﹣x+3+−2x+14中，﹣x+3是整数，
只要−2x+14是整数，y即为整数．
令t=−2x+14（t为整数），而x=−2t+12，
所以x不可能为整数．
所以一次函数的图象不可能经过横坐标和纵坐标都是整数的点．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，3），且与正比例函数y=32x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数y＝kx+b的函数关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）若点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵点C（m，6）在正比例函数y=32x的图象上，
∴6=32m，得m＝4，
∴点C的坐标为（4，6）
∵点C（4，6），B（0，3）在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴4k+b=6b=3，解得k=34b=3，
故一次函数的解析式为：y=34x+3；
（2）在一次函数y=34x+3中，令y＝0，则34x+3＝0，解得x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）
即OA＝4，
∵点C的坐标为（4，6）
∴S△AOC=12×4×6＝12；
（3）过点M1作M1E⊥y轴于点E，过点M2作M2F⊥x轴于点F，如图，
∵点M在第二象限，△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB＝BM2，
∵∠M1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBM1，
∵在△BEM1和△AOB中，
∠M1EB=∠BOA∠EBM1=∠BAOM1B=BA，
∴△BEM1≌△AOB（AAS），
∴BE＝AO＝4，M1E＝BO＝3，
即可得出点M的坐标为（﹣3，7）；
同理可得出：△AFM2≌△AOB，
∴FA＝BO＝3，M2F＝AO＝4，
∴点M的坐标为（﹣7，4）．
综上可知点M的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）．

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