江苏省泰州市兴化市大垛中心校2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析） (1)

江苏省泰州市兴化市大垛中心校2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 在代数式，，，，中，分式的个数是

A.  B.  C.  D.

3. 把分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值

A. 缩小为原来的 B. 不变
C. 扩大为原来的倍 D. 扩大为原来的倍

4. 如图所示，在平行四边形中，已知，，平分交于点，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标，点坐标，动点从点出发，沿轴正方向运动，连接，以为直角边向下作等腰直角三角形，，连接，当时，点的坐标为

1. 
   B.
   C.
   D.

二．选择题（本题共9小题，共27分）

7. 若式子有意义，则的取值范围是______．
8. 分式，，的最简公分母是______．
9. 计算：______．
10. 已知，，______．
11. 要使▱是矩形，你添加的条件是______写出一种即可
12. 如图，将边长为的正方形放在平面直角坐标系中，若点的坐标是，则点的坐标是______．
    
    
    
     

13. 观察下列式子，并探索它们的规律：
    ，
    ，
    ，
    
    试用正整数表示这个规律，并加以证明．
    
    
    
    
    
    
     
14. 如图，在中，，，，点在边上，，，垂足分别为点、，连接，则线段的最小值等于______．
     

15. 若正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则长为______．

三．解答题（本题共11小题，共105分）

16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点从点出发，开始以每秒个单位的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若，两点同时出发，设运动时间为秒，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，则等于______．
    A.
    B.
    C.
    D.

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，点的坐标为．
    请在正方形网格上画出平面直角坐标系，并写出，的坐标．
    小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，请在图中标出这个旋转中心，并写出这个旋转中心的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
20. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
    第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    第五步
    第六步
    任务一：填空：
    以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；
    第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
    任务二：请写出该分式正确的化简过程．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图所示，在中，是边上的高，是边上的中线，是的中点，，求证：．

22. 仔细阅读下面例题，解答问题：
    例题：当取何值时，分式的值为正？
    解：依题意，得
    则有或
    解不等式组得：；解不等式组得：不等式组无解
    不等式的解集是：
    当时，分式的值为正
    问题：仿照以上方法解答问题：当取何值时，分式的值为负？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，、相交于点，且是、的中点，点在四边形外，且，求证：四边形是矩形．

24. 已知：如图，是正方形对角线上的一点，点是边上一点．请从以下三个选项中选择两个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程．
    
    
    
    你选择的条件是______，结论是______填序号

25. 在▱中，，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交对角线于点，交射线于点，将线段绕点顺时针旋转得线段．
    
    求证：．
    如图，当时，求出线段和线段的数量关系，并说明理由．
    如图，当时，过点作于点，连接，请求出的度数及，，之间的数量关系，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，在四边形中，，，延长到，使，连接，由直角三角形的性质可知动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
    当时，______；
    当______时，点运动到的角平分线上；
    请用含的代数式表示的面积；
    当时，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是轴对称图形不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：在式子，，的分母中含有字母，都是分式，共有个．
故选：．
根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
 

3.【答案】

【解析】

解：，
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
；
故选：．
由平行四边形的性质得出，，得出，证出，得出，即可得出的长．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：将绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由外角的性质可得解．
本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：过点作轴于点，过点作于点，延长交于点，

，，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作轴于点，过点作于点，延长交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
本考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：式子有意义，
的取值范围是：，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式有意义即分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：分式，，的最简公分母是．
故答案为：．
根据取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母可得答案．
此题主要考查了最简公分母，关键是掌握方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．
 

9.【答案】

【解析】

解：原式

，
故答案为：．
先分解因式，再根据分式加减法则进行计算．
本题考查了分式加减，熟练掌握分式加减法则及运算步骤是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：当、时，
原式


，
故答案为：．
将、代入原式，计算可得．
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
 

11.【答案】

答案不唯一
 

【解析】

解：要使▱是矩形，添加的条件是，理由如下：
，四边形是平行四边形，
▱是矩形，
故答案为：答案不唯一．
由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：点的坐标为，边长为的正方形，
点坐标为，点坐标为，点坐标为，
故答案为：．
根据正方形的性质和坐标特点解答即可．
此题考查正方形的性质，坐标与图形性质，关键是根据正方形四条边相等解答．
 

13.【答案】

解：，
，
，

．
证明：．

，
．
 

【解析】

分母是两个连续自然数的乘积，分子是的分数可以拆成这两个自然数为分母，分子是的两个分数的差，由此规律得出答案即可．
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
 

14.【答案】

【解析】

解：如图，连接．

，，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
，
，
解得，
．
故答案为：．
连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
 

15.【答案】

或
 

【解析】

解：如图，正方形的边长为，，
，
点在上时，如图，在和中，，
≌，
，
，
，
，
，
，
解得；
点在上时，如图，在和中，，
≌，
，
连接，则四边形是矩形，
，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
利用勾股定理列式求出，再分点在上时，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，利用三角形的面积列式求解即可得到的长；点在上时，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，连接，可得四边形是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
 

16.【答案】

A、、
 

【解析】

解：，，，
，，轴，
，
当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
若时，，，，
此时，
解得：；
若时，，，，
此时，
解得：；
若时，，，，，
此时，
解得：舍去；
若时，，，，，
此时，
解得：；
综上所述，当为或或秒时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为：、、．
由题意得，，轴，再由平行四边形的判定可知，当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论：若时，；若时，；若时，；若时，，分别解方程求出满足条件的的值即可．
本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定，进行分类讨论是解题的关键．
 

17.【答案】

解：原式
；
原式

．
 

【解析】

应用分式的加减法则进行计算即可得出的答案；
应用分式的加减法则进行计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】

解：原式


，
当时，原式．
 

【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】

解：直角坐标系如图所示：

点，；

当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；

当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
综上所述：这个旋转中心的坐标为或．
 

【解析】

依据点的坐标为，点的坐标为，即可得到平面直角坐标系，并写出，的坐标．
分两种情形画出旋转中心即可解决问题．
本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】

三  分式的基本性质或填为：分式的分子分母都乘或除以同一个不为的整式，分式的值不变  五  括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号
 

【解析】

解：任务一：
第三步，分式的基本性质或填为：分式的分子分母都乘或除以同一个不为的整式，分式的值不变，
故答案为：三，分式的基本性质或填为：分式的分子分母都乘或除以同一个不为的整式，分式的值不变；
第五步，括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：五，括号前面是“”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．
任务二：





．
根据分式的基本性质解答即可；
根据去括号法则解答即可；
根据分式的加减运算法则计算即可得到答案．
此题考查的是分式的运算法则，掌握其法则是解决此题关键．
 

21.【答案】

证明：连接，如图：

是边上的高，是边上的中线，
，是的中点，
，
，
，
，
是的中点，
．
 

【解析】

连接，根据直角三角形的性质得到，再根据，得到，从而可得，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质．解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，明确在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
 

22.【答案】

解：依题意，得，
则有或
解不等式组得：无解；
解不等式组得：，
不等式的解集是：，
当时，分式的值为负．
 

【解析】

由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集．
本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，虽然题目较长，不过考查的知识点不是很难．
 

23.【答案】

证明：连接，如图所示：
是、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
在中，
为中点，
，
在中，为中点，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
 

【解析】

连接，首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，在中，，得到，可证出结论．
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

24.【答案】

  答案不唯一
 

【解析】

解：选择的条件是：，，结论是：，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
如图，连接，

在和中，
，
≌，
．
故答案为：，答案不唯一．
选择的，为条件，证明≌，即可得结论．
此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据证明≌解答．
 

25.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
由题意知是的平分线，
，
，
，
；

解：，
如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，，
，即，
，
，
由旋转知：，
是等边三角形，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
≌，
，，
，
即，
是等边三角形，
．

解：，
理由：如图，连接，

在▱中，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
在中，，
．
 

【解析】

由平行四边形性质知，，据此得，由角平分线的定义知，可得，即，即可得证；
如图，连接，，先证得是等边三角形，再证明≌，得出，，再证得是等边三角形，即可得出结论；
如图，连接，证明≌，进而得出，利用等腰直角三角形可得，再运用勾股定理即可．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，角平分线定义，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键．
 

26.【答案】

【解析】

解：，
故答案为：；
作的角平分线交于，

，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，解得．
当时，点运动到的角平分线上；
故答案为：；
根据题意分种情况讨论：
当点在上运动时，
；；
当点在上运动时，
；；
当点在上运动时，
；；
当时，点在、边上运动，
根据题意分情况讨论：
当点在上，点到四边形相邻两边距离相等，
点到边的距离为，
点到边的距离也为，
即，
，解得；
当点在上，点到边的距离为，
点到边的距离也为，

，
，
，解得；
当点在上，如图，过点作于点，
点到、边的距离相等，
即，
，
，
，
解得．

综上所述：或或时，点到四边形相邻两边距离相等．
根据题意可得，进而可得结果；
根据，可得四边形是矩形，根据角平分线定义可得，得，进而可得的值；
根据题意分种情况讨论：当点在上运动时，当点在上运动时，当点在上运动时，分别用含的代数式表示的面积即可；
当时，点在、边上运动，根据题意分情况讨论：当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，当点在上，点到边的距离为，点到边的距离也为，当点在上，点到边的距离为，但点到、边的距离都小于，进而可得当或时，点到四边形相邻两边距离相等．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．