江苏省无锡市宜兴市树人中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份江苏省无锡市宜兴市树人中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共34页。试卷主要包含了二象限B. 第一等内容，欢迎下载使用。
 江苏省无锡市宜兴市树人中学2021-2022学年九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一．选择题（本题共10小题，共30分）下列各对数中，互为相反数的是A. 与 B. 与
C. 与 D. 与函数的自变量的取值范围是A.  B. 且
C.  D. 下列运算正确的是A.  B.  C.  D. 分解因式的结果是A.  B.
C.  D. 已知一组数据：，，，，，这组数据的众数和中位数分别是A. ， B. ， C. ， D. ，若正比例函数，当的值减小，的值就减小，则当的值增加时，的值A. 增加 B. 减小 C. 增加 D. 减小某种商品的进价为元，出售时的标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至少可打A. 折 B. 折 C. 折 D. 折若点满足，则点所在象限是A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 不能确定如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：：，，则的长度为
A.  B.  C.  D. 已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
其中正确结论的序号是 B.  C.  D. 二．填空题（本题共8小题，共24分）某旅游风景区，年元旦期间旅游收入约元，将用科学记数法表示为______．已知一元二次方程的两个根为，，则______．命题“如，那么”的逆命题是______命题．填“真”或“假”某个函数具有性质：当时，随的增大而增大，这个函数的表达式可以是______只要写出一个符合题意的答案即可．如图，为的直径，为弦，，如果，那么______




  已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______．如图，和均为等边三角形，，，且，，三点在同一条直线上，点为的圆心，则图中阴影部分的面积之和为______．
若二次函数的图象经过点，与轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一动点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______．三．计算题（本题共2小题，共18分）计算：
；
．






 解方程：

．






 四．解答题（本题共7小题，共68分）如图，，，点是上一点，且，延长交于点．
求证：≌；
如果，，求的度数．
  






 已知不等式组
求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．






 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况每个学生必须选一项且只能选一项，并根据调查结果绘制了如图统计图．

根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
本次抽样调查中的学生人数是______；
补全条形统计图；
若该校共有名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．






 定义：平面内，如果一个四边形的四个顶点到某一点的距离都相等，则称这一点为该四边形的外心．
下列四边形：平行四边形、矩形、菱形中，一定有外心的是______；
已知四边形有外心，且，，三点的位置如图所示，请用尺规确定该四边形的外心，并画出一个满足条件的四边形；
如图，已知四边形有外心，且，，求的长．







 如图，是的切线，点为切点．点为上一点，，．
求阴影部分的面积；
连接，求的值．







 小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为元千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为元时，那么每天可售出千克；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少千克．
求该超市销售这种水果，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式；
一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润元最大是多少？
为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售千克这种水果就捐赠元利润给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价元千克的增大而增大，求的取值范围．






 如图，抛物线与轴分别交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，且．
求该抛物线的函数表达式；
如图，点是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接、、，当时，求的值；
如图，的角平分线交轴于点，过点的直线与射线，分别于，，已知当直线绕点旋转时，为定值，请直接写出该定值．







 如图，射线上有一点，点是射线上异于的一点，过作，且，过点作，交射线于在射线取点，使得，连接并延长，交射线于点设．
当在点右侧时，求、的长；用关于的代数式表示，
求当为何值时，是等腰三角形；
设的长度为，请求出关于函数表达式，并写出自变量的取值范围．








答案和解析 1.【答案】
 【解析】解：、只有符号不同的两个数互为相反数，故A错误；
B、都是，故B错误；
C、只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、互为倒数，故D错误；
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 2.【答案】
 【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 3.【答案】
 【解析】 【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握．
根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】
解：，选项A不符合题意；
B.，选项B不符合题意；
C.，选项C不符合题意；
D.，选项D符合题意．
故选D．  4.【答案】
 【解析】解：．
故选：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 5.【答案】
 【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
第个数是，
所以中位数是，
在这组数据中出现次数最多的是，
即众数是，
故选：．
把这组数据按照从小到大的顺序排列，第个数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是，得到这组数据的众数．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
 6.【答案】
 【解析】解：依题意，得：，
解得：，
．
故选：．
由“当的值减小，的值就减小”，即可求出值，再利用一次函数的性质可求出当的值增加时的变化．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，求出值是解题的关键．
 7.【答案】
 【解析】 【分析】
本题考查一元一次不等式的应用有关知识，设打折，根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围．
【解答】
解：设打折销售，根据题意可得：
，
解得：，
故要保持利润率不低于，则至少可打折．
故选B．  8.【答案】
 【解析】解：，
，
，
、同号，
点在第一象限或第三象限．
故选：．
利用完全平方公式展开得到，再根据同号得正判断出、同号，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了点的坐标，求出、异号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 9.【答案】
 【解析】解：设，，则，
将沿翻折，得到，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：．
设，，则，由折叠的性质得出，，，由勾股定理求出，设，则，由勾股定理得出方程求出的值，则可得出答案．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 10.【答案】
 【解析】解：不妨假设．
如图中，，满足，

，
，故错误．
当，，满足，
则，故错误．
，
，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，
，故正确．
如图中，，满足，但是，故错误．

故选：．
不妨假设，利用图象法一一判断即可．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 11.【答案】
 【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 12.【答案】
 【解析】解：，分别是一元二次方程的两个根，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求得答案即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 13.【答案】假
 【解析】解：命题“如，那么”的逆命题是如果，那么，
是假命题，
故答案为：假．
根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可．
本题考查的是命题的逆命题、以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 14.【答案】
 【解析】解：中开口向上，对称轴为，
当时随着的增大而增大，
故答案为：答案不唯一．
根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．
本题考查了二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．
 15.【答案】
 【解析】解：为的直径，，
，
．
故答案为：．
由为的直径，为弦，，根据垂径定理的即可求得，然后由圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
 16.【答案】且
 【解析】解：方程两边同时乘以得，，
解得．
为正数，
，解得．
，
，即．
的取值范围是且．
故答案为且．
先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可．
本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
 17.【答案】
 【解析】解：和为正三角形，
，，，
，
≌，
，
又，，
≌，
，
连接，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
由正三角形的性质得到、，，进而得到，得证≌，然后得到，得证≌，即可得到，连接，结合得到为等边三角形，从而得到，进而得到，从而得到和的面积相等，即有阴影部分的面积即为扇形的面积，最后由和扇形的面积公式求得阴影部分的面积．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是通过证明≌、≌得到．
 18.【答案】或
 【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为：，
当，
二次函数的图象经过点，
，
，，
，
，
，
，
当时，过点作垂直于对称轴与，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或
故答案为：或
根据题意得到抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为：，分两种情况讨论，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查的是二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中．
 19.【答案】解：原式

；

原式

．
 【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用平方差公式以及合并同类项运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
 20.【答案】解：原方程变形为：，
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解为；

，
，
，
，．
 【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；
先求出的值，再代入公式求出即可．
本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解的关键．
 21.【答案】证明：，
，
，，
≌；
解：，
，
，
又，
，
，
．
 【解析】根据可证明≌；
求出，则求出，可求出答案．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
 22.【答案】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
它的所有整数解为：，，，；

画树状图得：

共有种等可能的结果，积为正数的有种情况，
积为正数的概率为：．
 【解析】首先分别解不等式，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及不等式组的整数解．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】
 【解析】解：本次抽样调查中的学生人数是：人，
即本次抽样调查中的学生人数是人，
故答案为：；
选”舞蹈”的人数为人，
选“打球”的人数为人，
补全条形统计图为：
，补全图形并标注数字；
人，
所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数为人．
用选“阅读”的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
先计算出选“舞蹈”的人数，再计算出选“打球”的人数，然后补全条形统计图；
用乘以样本中选“打球”的人数所占的百分比可估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、样本、总体、个体之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，掌握基本概念．
 24.【答案】解：矩形；
如图，点即为四边形的外心，满足条件的四边形如图所示．

如图，作四边形的外接圆，连接，作于点，

则，
，
，
，，
，
，
，
则．
 【解析】 解：矩形对角线相等且互相平分，
矩形对角线交点到四顶点的距离相等，即对角线交点是矩形的外心，
故答案为：矩形；
见答案；
见答案．
【分析】
根据平行四边形、矩形和菱形在对角线上的性质求解可得；
连接、，作两线段的中垂线，交于点，以为圆心、为半径作圆，在上取一点，顺次连接即可得；
作出四边形的外接圆，连接，作于点，依据圆周角定理和圆心角定理得出，由垂径定理得，据此利用正弦函数的定义可得答案．
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形的性质，四边形外接圆的性质，圆周角定理和圆心角定理及垂径定理等知识点．  25.【答案】解：过作于，

是的切线，点为切点，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
阴影部分的面积
；
过作于，

，，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
．
 【解析】过作于，根据切线的性质得出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，，求出，再求出答案即可；
过作于，求出和，根据勾股定理求出，再求出答案即可．
本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，求扇形的面积，切线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 26.【答案】解：由题意，可得



，
当时，随的增大而增大，
当时，最大值元，
答：当售价为元千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润最大为元．
设扣除捐赠后的日销售利润为元，
，
当时，随的增大而增大，
，
，
，
即的取值范围为．
 【解析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
依据题意易得出每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系式
根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
设扣除捐赠后的日销售利润为元，则得，利用对称轴的位置即可求的取值范围．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 27.【答案】解：设，
，
，
，， ，
该抛物线的对称轴为直线，
，
将， ，代入得：
，
联立解得：，已舍去，
该抛物线的解析式为；
取中点，作于，连接，过作于，过作轴于，如图：

由得抛物线顶点坐标为，
而，，
，，，
，，
，
，
，
，
为中点，
为中点，
，
，
，
，
，
，即，
设，则
解得与重合，舍去或，
的值为；
过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，如图：

轴，轴，轴，
，
∽，∽，
，，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
由可知：，，
，
．
 【解析】设，则，可得该抛物线的对称轴为直线，有，将， 代入即可求出该抛物线的解析式为；
取中点，作于，连接，过作于，过作轴于，由抛物线顶点坐标为，，，可得，，从而为中点，，由面积法得，故，即知，即，设，得，即可得的值为；
过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，由，得∽，∽，有，，故，即得，根据平分，可得，从而，同理可得，又，，即得．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标特征、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
 28.【答案】解：，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，在点右侧，
，
，
；
当在点的右侧时，

，
必在线段上，
，
是钝角，若为等腰三角形，只可能，过作于，如图，
，
，
，
；
当在线段上时，同理可知若为等腰三角形，只可能，
当时，过作于，如图，

，，
，
，
，
，
，
当时，如图，

，
，
则，
，
综上所述，当或或时，是等腰三角形；
分三种情况：当在点的右侧时，即时，
，
，
，
，
，，
，，
，，，
，，
，
，
，
，
；

如图所示，当在线段上时，且时，即时，

同理可得，，
，
，
，
，
；
当在线段上时，且时，即时，

同理可得，，
，
，
，
，
，
综上，．
 【解析】由已知条件可得：，根据勾股定理得：，由且在点右侧，可以依次表示、、的长；
分两种情况：当在点的右侧时，，当在线段上时，又分两种情况：当时，如图，当时，如图，由，作等腰三角形的高线，由等腰三角形三线合一得：，利用同角的三角函数列比例式可求得的值；
分三种情况：当在点的右侧时，即时，当在线段上时，且时，当在线段上时，且时，解直角三角形求解即可．
此题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能够利用数形结合思想求解．