数学七年级下册第七章 平面直角坐标系综合与测试学案

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人教版七年级数学下册《第七章平面直角坐标系》复习专题训练
专题训练七：数形结合---点的坐标与图形的面积

专题概述
★★在平面直角坐标系中，与面积有关的问题都需要用坐标表示出三角形或四边形的顶点，从而求出对应的面积，当图形是不规则的图形时，有时还需要用到分割法、补形法将图形转化为规则图形，再借助有关图形的面积公式求解.








类型一：已知点的坐标求图形的面积

◎【典例一】◎如图，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为点A（﹣3，1），B（1，﹣3），
C（3，4），求三角形ABC的面积．

【分析】将三角形ABC补成长方形CGFE,然后根据S△ABC＝S四边形EFGC﹣S△AEC﹣S△AFB﹣S△BGC计算即可解决问题；
【解答】解：如图，将三角形ABC补成长方形CGFE,过点A作EF∥y轴，与过点C作x轴的平行线交于点E,与过点B作x轴的平行线交于点F，过点C作y轴的平行线于FB交于点G.
∵A（﹣3，1），B（1，﹣3），C（3，4），
∴EF=CG=7，EC=FG=6，EA=3，FA=4，FB=4，BG=2，
∴S△ABC＝S四边形EFGC﹣S△AEC﹣S△AFB﹣S△BGCF
＝6×7﹣×3×6﹣×4×4﹣×2×7
＝42﹣9﹣8﹣7
＝18．

■【变式1】已知点A（0，3），B（﹣3，4），C（﹣5，0）．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出四边形OABC；
（2）求四边形OABC的面积．

【分析】（1）根据A，B，C的坐标作出各个点即可．
（2）连接OB，四边形面积转化为三角形面积求解即可．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCO即为所求．

（2）连接OB．
由题意，∵A（0，3），B（﹣3，4），C（﹣5，0）
∴AO=3，CO=4
S四边形ABCO＝S△ABO+S△BCO＝×3×3+×5×4＝．

■【变式2】已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．

【分析】由图可得：四边形ABCD的面积＝长方形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣
△BFC的面积﹣△CGD的面积，即可解答．
【解答】解：如图，

S四边形ABCD＝S长方形EFGH﹣S△AEB﹣S△AHD﹣S△BFC﹣S△CDG
＝
＝25．

●方法归纳●
1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解.
2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积．






类型二：已知图形的面积求点的坐标


◎【典例二】◎47．已知点A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3），求
（1）A，B两点之间的距离及点C到x轴的距离．
（2）三角形ABC的面积．
（3）若点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用C点坐标得出点C到x轴的距离；
（2）根据三角形的面积求解可得；
（3）利用△ABP的面积为6，得出P到AB的距离进而得出答案．
【解答】解：如右图所示，

∵A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到x的距离是|﹣3|＝3；
（2）△ABC的面积是：＝18；
（3）∵点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，
∴P到AB的距离为：6÷（×6）＝2，
故点P的坐标为：（0，1），（0，5）．
■【变式3】（2021秋•龙岗区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO；
（2）连接AC，求S△ABC；
（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB＝8？若存在，请求点P坐标．

【分析】（1）把四边形ABCO的面积看成△BOC，△ABO的面积和即可．
（2）根据S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC，求解即可．
（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．
【解答】解：（1）连接OB．
∵S四边形ABCO＝S△OBC+S△AOB＝×2×3+×4×4＝11．
（2）S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC＝11﹣×2×4＝7．
（3）设P（m，0），则有×|m﹣4|×4＝8，
∴m＝0或8，
∴P（0，0）或（8，0）．


■【变式4】如图A（﹣4，0），B（6，0），C（2，4），D（﹣3，2）．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求△BCD的面积；
（3）在y轴上找一点P，使△APB的面积等于四边形ABCD的一半．求P点坐标．

【分析】（1）作DE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，根据梯形的面积公式和三角形面积公式以及四边形ABCD的面积＝S△ADE+S四边形CDEF+S△BCF进行计算；
（2）利用四边形ABCD的面积减去三角形ABD的面积即可；
（3）首先求得OP的长，进一步确定P点坐标．
【解答】解：（1）如图，

作DE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
∵A（﹣4，0），B（6，0），C（2，4），D（﹣3，2），
∴AE＝1，EF＝5，BF＝4，AB＝10，DE＝2，CF＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ADE+S四边形CDEF+S△BCF
＝×1×2+×（2+4）×5+×4×4
＝24；
（2）△BCD的面积＝四边形ABCD的面积﹣三角形ABD的面积
＝24﹣×10×2
＝14；
（3）∵△APB的面积＝×AB×OP＝×24，
∴OP＝2.4，
∴P点坐标为（0，2.4）或（0，﹣2.4）．

●方法归纳●
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.



复 习 专 题 突 破 练

基础练

1．（2021春•曲阳县期末）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（　　）
A．平行于x轴 B．平行于y轴 C．经过原点 D．无法确定
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等解答．
【解答】解：∵A（2，3）、B（﹣4，3）的纵坐标都是3，
∴直线AB平行于x轴．
故选：A．
2．已知点P（﹣1，4），则点P到x轴距离为　 　，到y轴距离为　 　．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：点P（﹣1，4）到x轴距离为4，到y轴距离为1．
故答案为：4；1．
3．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣3，﹣2），则三角形ABC面积为　 　．
【分析】首先画出坐标系，找出A、B、C三点位置，再根据三角形的面积公式计算面积．
【解答】解：如图所示：
△ABC面积为：AB•2＝3×2＝3．
故答案为：3．

4．已知点A（a，0）和点B（0，5）两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（　 　）
A．a＝4 B．a＝4或a＝﹣4 C．a＝﹣4 D．a＝2
【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意．
【解答】解：直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，
那么5×|OA|÷2＝10，
解得：OA＝4，
所以a＝4或a＝﹣4．
故选：B．

5．（2021秋•江州区期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）平移△ABC，使点B平移到对应点B'（﹣3，0），画出△A'B'C'；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C'内对应点P'的坐标为 　 　；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据平移的性质即可平移△ABC，使点B平移到对应点B'（﹣3，0），进而可以画出△A'B'C'；
（2）结合（1）根据平移的性质即可得点P（a，b）平移后△A'B'C'内对应点P'的坐标为；
（3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）∵B（3，﹣4），将点B左移6个单位，上移4个单位顶点点B′（﹣3，0），
∴P'（a﹣6，b+4）；
故答案为：（a﹣6，b+4）；
（3）S△ABC＝4×4﹣2×4﹣2×3﹣1×4＝7．
6．（2021秋•亳州月考）在平面直角坐标系中，A（﹣5，0），B（3，0），点C在y轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标．
【分析】根据三角形的面积求出OC的长，再分点C在y轴的正半轴上和点C在y轴的负半轴上，求出点C的坐标即可．
【解答】解：∵点A（﹣5，0），B（3，0），都在x轴上，
∴AB＝8，
∵△ABC的面积为12，点C在y轴上，
∴△ABC的面积＝AB•OC＝12，
解得OC＝3，
若点C在y轴的正半轴上，则点C的坐标为（0，3），
若点C在y轴的负半轴上，则点C的坐标为（0，﹣3），
综上所述，点C的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
7．（2021秋•青神县期末）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长为一个长度单位，点A、B、C都在格点上．
（1）画出线段BC；
（2）将线段BC向上平移三个单位，得到线段DE，在图中画出线段DE；
（3）三角形ADE的面积＝　 　．

【分析】（1）根据线段定义即可画出线段BC；
（2）根据平移的性质即可将线段BC向上平移三个单位，得到线段DE，在图中画出线段DE；
（3）根据割补法利用网格即可求出三角形ADE的面积．
【解答】解：（1）如图，线段BC即为所求；
（2）如图，线段DE即为所求；

（3）三角形ADE的面积＝8×2＝8．
故答案为：8．





提升练

8． 如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣3，2），
C（﹣4，0），D（0，0），求四边形ABCD的面积．

【分析】把四边形ABCD分成两个直角三角形和一个直角梯形，然后根据点的坐标和三角形面积公式与梯形面积公式进行计算即可．
【解答】解：四边形ABCD的面积＝×1×2+×（2+3）×2+×1×3＝1+5+1.5＝7.5．
故四边形ABCD的面积为7.5．
9.（2021春•广宁县期末）如图所示，直角坐标系中△ABC的顶点都在网格点上，其中C点坐标为（4，1）．
完成下面问题．
（1）点A，B的坐标为A （ 　　），B（ 　　）；
（2）将△ABC平移后得到△A′B′C′，点A的对应点A′坐标为（0，3），则B的对应点B′坐标为（ 　 　），△ABC的面积＝　 　；
（3）画出将△ABC各点横纵坐标都乘以﹣1后的△A2B2C2；
（4）在x轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积，则P的坐标为 　 　．

【分析】（1）根据平面直角坐标系得出点A，B的坐标即可；
（2）根据平移的性质得出对应点的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可；
（3）根据横纵坐标都乘以﹣1得出各个点的坐标画出图形即可；
（4）根据三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）由图可知：A（2，2），B（1，0），
故答案为：2，2；1，0；
（2）∵点A的对应点A′坐标为（0，3），
即2﹣2＝0，2+1＝3，
即向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴B的对应点B′坐标为（1﹣2，0+1），
即B（﹣1，1），
△ABC的面积＝；
故答案为：﹣1，1；2.5；
（3）如图，△A2B2C2即为所求．

（4）∵△ABC的面积＝2.5，
x轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积，
设P（x，0），则BP＝|x﹣1|，
×|x﹣1|×1＝2.5，
解得x＝6或﹣4，
∴点P的坐标为（6，0）或（﹣4，0）．
故答案为：（6，0）或（﹣4，0）．





10.如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）
（1）求；
（2）求；
（3）在x轴上是否存在一点P，使=10？若存在，请求点P坐标．

【分析】（1）过点B作BD作BD⊥OA与点D，把四边形分割为直角梯形和直角三角形，即可解答；
（2）△ABC的面积＝四边形ABCO的面积﹣△AOC的面积；
（3）存在，设点P（x，0），则PA＝|x﹣4|，根据S△PAB＝10，所以，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥OA与点D，

∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2）
∴OC＝2；，OD＝3，BD＝4，AD＝4﹣3＝1，
∴S四边形ABCO＝S梯形CODB+S△ABD＝＝9+2＝11．
（2）如图2，连接AC，

S△ABC＝S四边形ABCO﹣S△AOC＝11﹣＝11﹣4＝7．
（3）存在，设点P（x，0），
则PA＝|x﹣4|，
∵S△PAB＝10，
∴，
∴|x﹣4|＝5，
解得：x＝9或x＝﹣1，
∴点P的坐标为（9，0）或（﹣1，0）．
11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（　 　，　 　）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为　 　．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为　 　．

【分析】（1）根据平移变换的性质作出图形即可．
（2）利用分割法求四边形面积即可．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．C（4，1）．
故答案为4，1．
（2）四边形ABCD的面积＝8×8﹣2××4×5﹣2××3×4＝32．
故答案为32．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCE＝S平行四边形ABCD＝16，
∴×CE×BF＝16，
∴BF＝．
故答案为．

培优练

12．（2021•雨花区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）三点，
（1）求三角形ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积．
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A，B，C坐标在直角坐标系中表示出来，由三角形面积公式即可求解，（2）因为P在第二象限，将四边形ABOP的面积表示成三角形APO和三角形AOB的面积和，即可求解，（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，即3﹣m＝6，得m＝﹣3，即可进行求解．
【解答】解：（1）已知点A（0，2），B（3，0），C（3，4），
过A点作BC边上的高，交BC于点H，
则三角形ABC的面积为：S＝BC•AH＝×4×3＝6；
（2）四边形ABOP的面积可以看作是△APO和△AOB的面积和，
∵P在第二象限，∴m＜0，SAPOB＝S△AOB+SAPO＝+×（﹣m）×2＝3﹣m．
故四边形ABOP的面积为3﹣m；
（3）当四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等时，
即3﹣m＝6，得m＝﹣3，
此时P点坐标为：（﹣3，），
存在P点，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等．

13．（2021春•黄陂区期中）在平面直角坐标系中，点A（m，n）满足n＝﹣+．

（1）直接写出点A的坐标；
（2）如图1，将线段OA沿y轴向下平移a个单位后得到线段BC（点O与点B对应），过点C作CD⊥y轴于点D，若4OD＝3BD，求a的值；
（3）如图2，点E（0，5）在y轴上，连接AE，将线段OA沿y轴向上平移3个单位后得到线段FG（点O与点F对应），FG交AE于点P，y轴上是否存在点Q，使S△APQ＝6，若存在，请求Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用算术平方根的性质求出m的值即可解决问题．
（2）分两种情形，①当点D位于x轴上方时，②当点D位于x轴下方时，根据4OD＝3BD，构建方程即可解决问题．
（3）连接AG，过点P作x轴的平行线，交AG于点M，交y轴于点N，由三角形的面积得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（m，n）满足n＝﹣+．
∴m﹣4≥0，4﹣m≥0，
∴m＝4，
∴n＝＝2，
∴A（4，2）．
（2）∵将线段OA沿y轴向下平移a个单位后得到线段BC，A（4，2），
∴B（0，﹣a），C（4，2﹣a），D（0，2﹣a），
∴OD＝|2﹣a|，BD＝2，
①当点D位于x轴上方时，

∵4OD＝3BD，
∴4（2﹣a）＝3×2，
解得a＝；
②当点D位于x轴下方时，

∵4OD＝3BD，
∴4（a﹣2）＝3×2，
解得a＝．
综合以上可得a＝或；
（3）连接AG，过点P作x轴的平行线，交AG于点M，交y轴于点N，

由题意有AG＝3，EF＝2，MN＝4，EO＝5，
∴S△EPF＝EF•PN＝PN，S△APG＝AG•PM＝（4﹣PN），
∴S四边形AGFO＝3×4＝12，S△AEO＝×5×4＝10，
∴S四边形AGFO﹣S△AEO＝S△APG﹣S△PEF＝2，
即（4﹣PN）﹣PN＝2，
解得PN＝，
设Q（0，n），EQ＝|5﹣n|，
∴S△APQ＝S△AEQ﹣S△AEQ＝EQ•PN＝6，
即×EQ＝6，
解得EQ＝5，
即|5﹣n|＝5，
解得n＝0或n＝10，
综合以上可得点Q的坐标为（0，0）或（0，10）．