2021届湖南省郴州市高三三模数学（文字版、含答案）练习题

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参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩B等于（　　）
A．（2，3） B．[2，3） C．[2，6） D．（﹣1，2]
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝[2，6）．
故选：C．
2．若复数z满足z（1+i）＝1﹣i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
解：由z（1+i）＝1﹣i，得z＝，
∴．
故选：A．
3．设非零向量，满足||＝4||，cos＜，＞＝，•（﹣）＝30，则||＝（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】利用向量的数量积，结合已知条件，转化求解即可．
解：非零向量，满足||＝4||，cos＜，＞＝，•（﹣）＝30，可得＝﹣＝30，
解得||＝．
故选：A．
4．地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：
安全出口编号
m1，m2
m2，m3
m3，m4
m1，m3
疏散乘客时间（s）
120
140
190
160
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（　　）
A．m1 B．m2 C．m3 D．m4
【分析】分别比较有相同安全出口的编号的时间，得到各个安全出口的疏散乘客的快慢，再比较即可．
解：由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，所以m2比m4疏散乘客快，
由同时开放m3，m4 疏散1000名乘客所需的时间为190s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m1比m4疏散乘客快，
由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m2比m1疏散乘客快，
由同时开放m1，m2疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以m1比m3疏散乘客快，
综上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，
所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是m2，
故选：B．
5．函数f（x）＝的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数值的对应性以及极限思想进行排除即可．
解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不对称，排除C，
当x→+∞，f（x）→+0，排除D，
f（x）＞0恒成立，排除A，
故选：B．
6．习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业．为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}（单位：万元，n∈N*），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知a12+a22＝72．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（　　）
A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元
【分析】依题意写出五年累计总投入资金，然后利用基本不等式求最值．
解：由题意，五年累计总投入资金为：
a1+a2+a3+a4+a5+5×3a1＝5a3+15a1＝5（a3+3a1）＝10（a1+a2），
而＝120，
当且仅当a1＝a2时等号成立，
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元．
故选：C．
7．设点M（，3）在圆x2+y2＝r2（r＞0）外，若圆O上存在点N，使得∠OMN＝，则实数r的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，结合x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N使得∠OMN＝，可得当MN与圆相切时，∠OMN取得最大值，由此求得r的范围，再结合M（）在圆外求得r的范围，取交集得答案．
解：如图所示，

∵x2+y2＝r2（r＞0）上存在点N使得∠OMN＝，
则∠OMN的最大值大于或者等于时，一定存在点N，使得，
当MN与圆相切时，∠OMN取得最大值，
此时，sin，
解得：r＝|ON|≥，
又M（）在圆外，∴r＜，
综上可得，＜．
故选：D．
8．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【分析】可以得出a＝ln34π，b＝ln43π，c＝lnπ12，显然43π＜π12＜34π，从而根据对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
解：a＝ln34π，b＝ln43π，c＝lnπ12，
，且2π＜π2，
∴，
，且27π＞π3，
∴，
∴43π＜π12＜34π，
∴b＜c＜a．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．PM2.5是评估空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75g/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图为某地区2021年2月1日到2月12日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计图，则下列叙述正确的是（　　）

A．该地区这12天中空气质量超标的日期为2月6日
B．该地区这12天PM2.5日均值的中位数为51μg/m3
C．该地区这12天PM2.5日均值的平均数为53μg/m3
D．该地区从2月6日到2月11日的PM2.5日均值持续减少
【分析】根据题意，分析折线图中对应的数据，再判断选项中的命题是否正确即可．
解：对于A，这12天中只有2月6日的PM2.5日均值大于75ug/m3，所以2月6日空气质量超标，A正确；
对于B，这12天的PM2.5日均值按从小到大顺序排列后，位于第6和第7的日均值为50和53，
所以中位数是＝51.5（ug/m3），B错误；
对于C，计算平均数为×（55+45+56+65+68+82+53+46+42+36+38+50）＝53（ug/m3），所以C正确；
对于D，2月11日的PM2.5日均值大于2月10日的PM2.5日均值，所以D错误．
故选：AC．
10．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2．则使函数f（x）在区间[0，3]上至少取得两次最大值的充分不必要条件是（　　）
A．ω≥2 B．ω≥3 C．ω≥4 D．ω≥5
【分析】由三角函数的最大值可得a的值，进而可得函数f（x）的解析式，结合已知条件确定ω的取值范围，最后根据充要条件的定义可得答案．
解：∵f（x）＝sinωx+acosωx＝sin（ωx+φ），tanφ＝a，f（x）的最大值为2，
∴＝2，
解得a＝或a＝﹣（舍去），
∴f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），
当ωx+＝2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值，
当x＞0时，取得前两个最大值时，k分别为0和1，
当k＝1时，由ωx+＝2kπ，
得x＝≤3，所以，
故选：BCD．
11．如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（　　）

A．异面直线AC与MN所成的角为定值
B．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
C．三棱锥N﹣ACM与B﹣ACD体积之比值为定值
D．四面体ABCD的外接球体积为
【分析】对于A，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，且AC⊥OD，从而AC⊥平面OBD，异面直线AC与BD所成的角为90°，再由MN∥BD，得异面直线AC与MN所成的角为定值；对于B，若直线AD与直线BC垂直，则推导出△OBD是以OB和OD这腰长的等腰三角形，与题意不符；对于C，M，N分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，从而△ACD与△ACN面积比为2：1，B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2：1，推导出三棱锥N﹣ACM与B﹣ACD体积之比值为定值；对于D，外接球球心O在AC中点，由题意解得外接球半径R＝，由此能求出四面体ABCD的外接球体积．
解：对于A，取AC中点O，连接OB，OD，则AC⊥OB，且AC⊥OD，
∴AC⊥平面OBD，∴AC⊥BD，异面直线AC与BD所成的角为90°，
又MN∥BD，∴异面直线AC与MN所成的角为定值，故A正确；
对于B，若直线AD与直线BC垂直，
∵直线AB与直线BC也垂直，则直线BC⊥平面ABD，
∴直线BC⊥直线BD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥OB，
而△OBD是以OB和OD为腰长的等腰三角形，与题意不符，故B错误；
对于C，M，N分别为正方形ABCD的边BC、CD的中点，
∴△ACD与△ACN面积比为2：1，
B到面ACD的距离与M到面ACN的距离之比为2：1，
三棱锥N﹣ACM与B﹣ACD体积之比值为定值，故C正确；
对于D，外接球球心O在AC中点，由题意解得外接球半径R＝，
∴四面体ABCD的外接球体积为V＝＝，故D正确．
故选：ACD．

12．已知函数f（x）＝e|x|sinx，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）是周期为π的奇函数
B．f（x）在（）上为增函数
C．f（x）在（﹣10π，10π）内有20个极值点
D．若f（x）≤ax在[0，]上恒成立，则a≥
【分析】根据函数的奇偶性判断A，求出函数的导数，判断函数的单调性，判断B，令导函数为0，得到极值点的个数判断C，由a≥，设g（x）＝，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围，从而判断D．
解：∵f（x）的定义域是R，f（﹣x）＝e|﹣x|sin（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数，但f（x+π）＝e|x+π|sin（x+π）＝﹣e|x+π|sinx≠f（x），
∴f（x）不是周期为π的函数，故A错误；
当x∈（﹣，0）时，f（x）＝e﹣xsinx，f′（x）＝e﹣x（cosx﹣sinx）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（0，）时，f（x）＝exsinx，
f′（x）＝ex（sinx+cosx）＞0，f（x）单调递增，
且f（x）在（﹣，）连续，故f（x）在（﹣，）单调递增，故选项B正确；
当x∈[0，10π）时，f（x）＝exsinx，f′（x）＝ex（sinx+cosx），
令f′（x）＝0，得x＝﹣+kπ（k＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10），
当x∈（﹣10π，0）时，f（x）＝e﹣xsinx，f′（x）＝e﹣x（cosx﹣sinx），
令f′（x）＝0，得x＝+kπ（k＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，﹣9，﹣10），
故f（x）在（﹣10π，10π）内有20个极值点，故选项C正确；
当x＝0时，f（x）＝0≥0＝ax，则a∈R，
当x∈（0，]时，f（x）≤ax⇔a≥，
设g（x）＝，则g′（x）＝，
令h（x）＝xsinx+xcosx﹣sinx，x∈（0，]，
∴h′（x）＝sinx+x（cosx﹣sinx）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（0）＝1，
∴g′（x）＞0，g（x）在（0，]单调递增，
∴g（x）max＝g（）＝＝，故选项D正确，
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，侧面积为4，则该棱锥的体积为　　．
【分析】画出几何体的直观图，结合侧面积求解底面边长以及棱锥的高，然后求解棱锥的体积．
解：设正四棱锥底面边长为2a，且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则四棱锥的高为：a，侧面积为4，所以每个侧面的面积为：，
∴×＝，所以a＝1，
∴正四棱锥的高为：，所以该棱锥的体积为：＝．
故答案为：．

14．若（x﹣）6的展开式中x3的系数是﹣3，则它的展开式中的常数项为　　．
【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为3，求出r的值，由此求出a的值，进而可以求解．
解：展开式的通项为T＝C，
令6﹣3r＝3，解得r＝1，
所以x3的系数为C，解得a＝2，
所以二项式（x﹣）6的常数项为（﹣）＝，
故答案为：．
15．已知直线y＝kx与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为　　．
【分析】取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AF'BF为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．
解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，
取双曲线的右焦点F'，连接AF'，BF'，
可得四边形AF'BF为平行四边形，
可得|AF'|＝|BF|＝m，设A在第一象限，可得3m﹣m＝2a，即m＝a，
由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，
可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），
化为c2＝3a2，则e＝＝．
故答案为：．

16．托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为　9　．
【分析】在△ABD中设AB＝a，由yxdlqcBD，运用托勒密定理，结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，计算可得所求四边形ABCD的面积．
解：在△ABD中，AB＝a，由余弦定理可得BD＝a，
由托勒密定理可得a（BD+CD）＝ACa，
即BC+CD＝AC，又∠ABD＝∠ACDB＝30°，∠ABD＝∠ACD＝30°，
所以四边形ABCD的面积S＝
＝（BC+CD）•AC＝＝9．
故答案为：9．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．在条件①asinB＝bcos（A﹣），②cos2（+A）+cosA＝，③sin＝sinA中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，•＝3，a＝3，b＞c，_____，求b﹣c．
【分析】若选择条件①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求A的值，利用平面向量数量积的运算可求bc的值，根据余弦定理即可求解．
若选择条件②，利用诱导公式化简已知等式可得cos2A﹣cosA+＝0，解得cosA＝，结合范围A∈（0，π），可得A的值，下同选①．
若选择条件③，利用三角函数恒等变换化简已知等式可得sin＝，进而可求＝，可得A的值，下同选①．
解：若选择条件①，因为asinB＝bcos（A﹣），
由正弦定理，可得sinAsinB＝sinBcos（A﹣），
因为sinB≠0，所以sinA＝cos（A﹣）＝cosA+sinA，可得tanA＝，
因为0＜A＜π，可得A＝，
因为•＝3，所以bccosA＝3，
所以bc＝6，
又由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b﹣c）2+bc，b＞c，
所以b﹣c＝．
若选择条件②，因为cos2（+A）+cosA＝，
所以cos2A﹣cosA+＝0，可得cosA＝，
因为A∈（0，π），所以A＝．
下同选①．
若选择条件③，sin＝sinA，
因为B+C＝π﹣A，所以sin＝sinA，所以cos＝2sincos，
因为A∈（0，π），所以，所以cos≠0，
所以sin＝，所以＝，所以A＝．
下同选①．
18．已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且数列{}是以1为公差的等差数列．
（1）求数列{}的前n项和Tn；
（2）设等比数列{cn}的首项为2，公比为q（q＞0），其前n项和为Pn，若存在正整数m，使得是Sm与P3的等比中项，求q的值．
【分析】（1）先由题设求得Sn，然后由an＝求得an，进而求得，再利用裂项相消法求得其前n项和即可；
（2）先由（1）和题设条件得到：，再由m∈N*得到q的方程，求解出q的值即可．
解：（1）由题设可得：＝+n﹣1＝n，即Sn＝n2，
又当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，
当n＝1时，a1＝1也适合上式，
∴an＝2n﹣1，＝＝（﹣），
∴Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝；
（2）由（1）可知：Sn＝n2，
由S3＝Sm•P3得：9＝m2（2+2q+2q2），
∴，
∵q＞0，∴＞2，
∵m∈N*，∴m＝1或2，
当m＝1时，2q2+2q+2＝9，解得：q＝（舍负），
当m＝2时，2q2+2q+2＝，解得：q＝（舍负），
∴q＝或．
19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝CD，∠DAB＝60°，点E，F分别为CD，AP的中点．
（1）证明：PC∥面BEF；
（2）若PA⊥PD，且PA＝PD，面PA⊥面ABCD，求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．

【分析】（1）连接AC，交BE于点H，连接FH，推导出△ABH≌△CEH，从而AH＝CH，FH∥PC，由此能证明PC∥面FBE．
（2）取AD中点O，连接PO，OB，以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BE﹣F的余弦值．
解：（1）证明：连接AC，交BE于点H，连接FH，
∵AB＝CE，∠HAB＝∠HCE，∠BHA＝∠CHA，
∴△ABH≌△CEH，∴AH＝CH，∴FH∥PC，
∵FH⊂面FBE，PC⊄平面FBE，
∴PC∥面FBE．
（2）取AD中点O，连接PO，OB，
由PA＝PD，∴PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，
由∠DAB＝60°，AD＝AB，∴OB⊥AD，
以OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AD＝2，则A（1，0，0），B（0，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1），F（），
，＝（），
＝（0，0，1）为面BEC的一个法向量，
设面FBE的法向量为＝（x，y，z），
则，取y＝，得＝（0，，6），
cos＜＞＝＝＝，
∵二面角C﹣BE﹣F为钝角，
∴二面角C﹣BE﹣F的余弦值为﹣．
20．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了大年初三上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．
（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
若T～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜T≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜T≤σ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜T≤μ+3σ）＝0.9973．

【分析】（1）将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．
（2）抽样比为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．
（3）根据频率分布直方图估计出方差，再结合（1）求出的期望，得到μ，σ2再根据其对称性处理即可．
解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.005+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20＝64，即10：04
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这一区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10＝4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P





所以E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．
（3）由（1）得μ＝64，
σ2＝（30﹣64）2×0.1+（50﹣64）2×0.3+（70﹣64）2×0.4+（90﹣64）2×0.2＝324，
所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，
由T～N（64，182），得，P（64﹣18≤T≤64+2×18）＝+＝0.8186，
所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．
21．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆E上的一动点，且|PF1|的最小值是1，当PF1垂直长轴时，|PF1|＝．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在斜率为﹣1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相交于C、D两点，且|CD|•|AB|＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由|PF1|的最小值为1，得a﹣c＝1，由当PF1垂直长轴时，由|PF1|＝，得＝，结合a2＝b2+c2，求出a，b，即可求出椭圆E的方程．
（2）假设存在斜率为﹣1的直线l，设为y＝﹣x+m，以线段F1F2为直径的圆为x2+y2＝1，圆心（0，0）到直线l的距离d＜1，再结合|CD||AB|＝，解得m，进而得到l的方程．
解：（1）由题意，点P在椭圆上的一个动点，且|PF1|的最小值为1，得a﹣c＝1，
因为当PF1垂直长轴时，|PF1|＝，所以＝，即2b2＝3a，
又由a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆C的标准方程为+＝1．
（2）假设存在斜率为﹣1的直线l，设为y＝﹣x+m，
由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0），
所以以线段F1F2为直径的圆为x2+y2＝1，
由题意，圆心（0，0）到直线l的距离d＝＜1，得|m|＜，
所以|AB|＝2＝2＝×，
联立，得7x2﹣8mx+4m2﹣12＝0，
由题意，△＝（﹣8m）2﹣4×7×（4m2﹣12）＝336﹣48m2＝48（7﹣m2）＞0，
解得m2＜7，又|m|＜，所以m2＜2，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则x1+x2＝，x1x2＝，
所以|CD|＝|x2﹣x1|＝×
＝×＝，
若|CD||AB|＝，
则×××＝，
所以m4﹣9m2+8＝0，解得m2＝1，或m2＝8，
又m2＜2，所以m2＝1，即m＝±1，
故存在符合条件的直线l，其方程为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+1．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x﹣y＝0垂直，求函数y＝f（x）在（0，1]最大值；
（2）当a＝1时，设函数f（x）的两个零点为x1，x2，试证明：x1+x2＞2．
【分析】（1）利用导数求得函数f（x）的单调性，从而求得极大值；
（2）可得0＜x1＜1＜x2，构造F（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），0＜x＜1，利用导数可得F（x）在（0，1）递增，F（x）＜F（1）＝0在（0，）恒成立，即可得f（x2）＜f（2﹣x1），结合f（x）在（1，+∞）单调递减，即可证明x1+x2＞2．．
解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax2+1的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣ax，
y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x﹣y＝0垂直，
1﹣a＝﹣1⇒a＝2，
由f′（x）＝﹣2x＝0，x＝（负值舍去），
所以函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）单调递减，
故f（x）有最大值f）＝ln+．
（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x2+1．f′（x）＝．
函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
且f（1）＞0，f（e）＜0，f（）＜0，
故函数f（x）的两个零点为x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，
令F（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），0＜x＜1，
F′（x）＝f′（x）+f′（2﹣x）＝+＝＞0在（0，1）恒成立，
∴F（x）在（0，1）递增，F（x）＜F（1）＝0在（0，）恒成立，
∴f（x1）＜f（2﹣x1），又f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＜f（2﹣x1），
∵x2＞1，2﹣x1＞1，又f（x在（1，+∞）单调递减，
∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．